第9讲 函数的零点与方程的解复习讲义-2026年高一寒假数学人教A版必修第一册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 第9讲 函数的零点与方程的解（复习） 知识点1：函数的零点 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 方程、函数、图象之间的关系： 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点． 知识点2：函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 知识点3：二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解． 知识点4：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 考点一 判断零点所在的区间 【例1】若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　A　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞) 【变式1-1】已知函数f(x)＝lnx－的零点为x0，则x0所在的区间是( C ) A. (0，1)　　　　　 B. (1，2)　　　　　　 C. (2，3)　　　　 D. (3，4) 【变式1-2】已知方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围为________． 考点二 判断零点的个数 【例2】定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且在区间[2，4)上则函数的零点的个数为 5 【变式2-1】已知函数f(x)＝则f(x)的零点个数为(　C　) A．0　　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 【变式2-2】函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(　C　) A.0 B.1 C.2 D.3 考点三 与零点有关的参数的范围 【例3】已知函数，则使函数有零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】函数的零点就是方程的根，作出的图象如图，观察它与直线y=m的交点，得知当时，或m＞1时有交点，即函数g（x）=f（x）﹣m有零点．故选D． 【变式3-1】已知函数，方程有三个实数解，则的取值范围是__________． 【答案】【解析】方程有三个实数解，等价于函数和图象有三个交点，因此先画出函数图象，图象如下图： 通过图象可知当时，函数和函数有三个交点,的取值范围是. 【变式3-2】（多选题）已知函数若方程有三个实数根，且，则下列结论正确的为（ ） A． B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】 作出函数的图象与直线，它们的交点的横坐标即为，由图可得它们的性质，同时可得出的范围，判断B．由根的性质判断AC，解不等式判断D． 【详解】 方程的争即为函数的图象与直线的交点的横坐标，作出函数的图象和直线，如图，由图可知：， ，，A正确； 由于，∴，B错误； 由得，∴，∴，C正确； 由，时，，，时，，， 综上，D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛上：本题考查方程根的分布问题，方程的根可以转化函数图象与直线的交点的横坐标，作出函数图象与直线可以直观形象地得出根的性质，同时也得出了函数的性质，由此求解判断各选项． 1.已知函数f(x)＝为奇函数，g(x)＝ln x－2f(x)，则函数g(x)的零点所在区间为(　C　) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 2.函数f(x)＝的零点个数为(　B　) A．3 B．2 C．7 D．0 3.函数，方程有且只有一个实根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】由分段函数解析式画出的图象，即问题相当于与只有一个交点，结合图象即可确定的范围. 【详解】由函数解析式可得其图象如下： ∴方程有且只有一个实根，即与只有一个交点， 由图知：当或时，与只有一个交点. 故选：C 4.关于x的方程在（－∞，1]上有解，则实数a的取值范围是（ ） A．[－2，－1）∪（0，1] B．[－3，－2）∪[0，1] C．[－2，－1）∪[0，1] D．[－3，－2）∪（0，1] 【答案】D【分析】根据方程在（－∞，1]上有解，则由的范围是函数的值域求解.【详解】当x∈（－∞，1]时，，因为关于x的方程在（－∞，1]上有解，所以，即，解得或， 所以实数a的取值范围是[－3，－2）∪（0，1]，故选：D 5.若函数y＝x＋log2(a－2x)＋2在R上有零点，则实数a的最小值为________. 【答案】：1【解析】令x＋log2(a－2x)＋2＝0，则a－2x＝2－(x＋2).依题意，关于x的方程a＝2x＋2－(x＋2)有解.又2x＋2－(x＋2)≥2＝1.当且仅当x＝－1时，等号成立.∴a≥1，故a的最小值为1. 6.已知函数f(x)＝－cos x，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为___3_____． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 第9讲 函数的零点与方程的解（复习） 知识点1：函数的零点 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 方程、函数、图象之间的关系： 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点． 知识点2：函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 知识点3：二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解． 知识点4：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 考点一 判断零点所在的区间 【例1】若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞) 【变式1-1】已知函数f(x)＝lnx－的零点为x0，则x0所在的区间是( ) A. (0，1)　　　　　 B. (1，2)　　　　　　 C. (2，3)　　　　 D. (3，4) 【变式1-2】已知方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围为________． 考点二 判断零点的个数 【例2】定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且在区间[2，4)上则函数的零点的个数为 【变式2-1】已知函数f(x)＝则f(x)的零点个数为(　　) A．0　　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 【变式2-2】函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 考点三 与零点有关的参数的范围 【例3】已知函数，则使函数有零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知函数，方程有三个实数解，则的取值范围是__________． 【变式3-2】（多选题）已知函数若方程有三个实数根，且，则下列结论正确的为（ ） A． B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．不等式的解集为 1.已知函数f(x)＝为奇函数，g(x)＝ln x－2f(x)，则函数g(x)的零点所在区间为(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 2.函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．3 B．2 C．7 D．0 3.函数，方程有且只有一个实根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4.关于x的方程在（－∞，1]上有解，则实数a的取值范围是（ ） A．[－2，－1）∪（0，1] B．[－3，－2）∪[0，1] C．[－2，－1）∪[0，1] D．[－3，－2）∪（0，1] 5.若函数y＝x＋log2(a－2x)＋2在R上有零点，则实数a的最小值为________. 6.已知函数f(x)＝－cos x，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为_______． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $