第15讲 指数函数 - 人教A版必修第一册-2026年普通高中学业水平考试过关复习讲义

第15讲 指数函数 . 学 考 要 求 掌握指数函数的图象及其性质，并能利用图像和性质解决相关问题. . 知 识 必 备 1．指数函数的图象和性质 （，且） 底数 图象 性质 定义域 R 值域 ______ 最值 ______ 过定点 函数图象过定点________，即 函数值的变化 当时，______； 当时，______ 当时，______； 当时，______ 单调性 在R上是______ 在R上是______ 奇偶性 ______ 对称性 与的图象关于y轴对称 【答案】 无最值 增函数 减函数 非奇非偶函数 . 典 例 探 究 题型一：根据函数是指数函数求参数 例题1：函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 【解析】因为函数是指数函数，所以且， 即且，解得. 故选：A. 题型二：求指数函数解析式 例题2：若指数函数的图象过点，则的解析式为______. 【解析】由题意设，且， ∵的图象过点，∴，解得， 则的解析式为. 故答案为：. 题型三：指数型函数图象过定点问题 例题3：且的图象恒过定点_________． 【解析】令，得，则， 即且的图象恒过定点. 故答案为：. 题型四：求指数函数在区间内的值域 例题4：已知函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解析】因为是增函数，所以当时，，即， 所以的取值范围为. 故选：D. 题型五：比较指数幂的大小 例题5：已知，则两个数的大小关系是__________. 【解析】函数在R上单调递减，而，因此， 所以两个数的大小关系是. 故答案为： 题型六：由指数（型）的单调性求参数 例题6：指数函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】由于指数函数是上的减函数， 故有，求得， 则实数的取值范围为. 故选：C． . 过 关 检 测 1、 选择题 1．下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【解析】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D 2．若函数在上的最小值与最大值的和等于24，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【解析】因为函数在上是增函数， 所以， 则，所以. 故选：C. 3．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】∵函数在上单调递减， ∴，∴ 故选：C． 2、 填空题 4．已知函数且的图象过定点，则点的坐标是__________. 【解析】由函数解析式可得：当且仅当时，的值与无关， 故定点的横坐标为，故纵坐标为，故. 故答案为：. 5．比大小：_____；_____ 【解析】由在上单调递减，，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 由，即. 故答案为：， 3、 解答题 6．函数，. (1)求函数的定义域； (2)若为奇函数，求m的值； (3)当时，不等在恒成立，求k的取值范围. 【解析】（1）依题意可得，解得， 所以的定义域为. （2）若为奇函数，所以， ，所以， 所以，所以. （3）当时，, 所以不等式在恒成立，即， 即，令， ， 因为，所以， 所以， 当且仅当取等， 所以. 故k的取值范围为. . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．函数的图象是（    ） A．   B．     C．   D．   【解析】因为函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位长度得到的， 而的图象过点，且在上是增函数， 所以的图象过点，且在上是增函数， 故选：A 2．在区间上，的最大值是其最小值的4倍，则实数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】因为区间上单调递增，又，， 所以，解得. 故选：C. 3．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【解析】解：因为函数在区间上单调递减，在上单调递增， 函数在定义域内是单调递减函数， 所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”得的单调递减区间为. 故选：D 2、 填空题 4．若，则中最大的数是__________. 【解析】由函数在上单调递增，故， 即有，故中最大的数是. 故答案为：. 5．若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为____________. 【解析】解:由题知, 若函数单调递减，其图象不经过第一象限,必有图象与y轴交点不在y轴正半轴上， 只需即可, 即, 解得: . 故答案为: 3、 解答题 6．已知定义域是的函数是奇函数. (1)求的值 (2)先判断函数单调性并证明； (3)若对于任意，不等式恒成立，求的范围. 【解析】（1）因为是定义域为R的奇函数， 所以 解得， 经检验：符合题意. （2）在上单调递增，证明如下： 由可知， 任取实数，且， 则， 因为，所以，且， 所以， 即时，， 所以在上单调递增. （3）因为是奇函数，所以等价于， 由（2）知在上单调递增， 所以在上恒成立； 等价于在上恒成立， 由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增； 因为时，；时，； 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 指数函数 . 学 考 要 求 掌握指数函数的图象及其性质，并能利用图像和性质解决相关问题. . 知 识 必 备 1．指数函数的图象和性质 （，且） 底数 图象 性质 定义域 R 值域 ______ 最值 ______ 过定点 函数图象过定点________，即 函数值的变化 当时，______； 当时，______ 当时，______； 当时，______ 单调性 在R上是______ 在R上是______ 奇偶性 ______ 对称性 与的图象关于y轴对称 . 典 例 探 究 题型一：根据函数是指数函数求参数 例题1：函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 题型二：求指数函数解析式 例题2：若指数函数的图象过点，则的解析式为______. 题型三：指数型函数图象过定点问题 例题3：且的图象恒过定点_________． 题型四：求指数函数在区间内的值域 例题4：已知函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型五：比较指数幂的大小 例题5：已知，则两个数的大小关系是__________. 题型六：由指数（型）的单调性求参数 例题6：指数函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． . 过 关 检 测 1、 选择题 1．下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若函数在上的最小值与最大值的和等于24，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 4．已知函数且的图象过定点，则点的坐标是__________. 5．比大小：_____；_____ 3、 解答题 6．函数，. (1)求函数的定义域； (2)若为奇函数，求m的值； (3)当时，不等在恒成立，求k的取值范围. . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．函数的图象是（    ） A．   B． C． D．   2．在区间上，的最大值是其最小值的4倍，则实数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 4．若，则中最大的数是__________. 5．若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为____________. 3、 解答题 6．已知定义域是的函数是奇函数. (1)求的值 (2)先判断函数单调性并证明； (3)若对于任意，不等式恒成立，求的范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $