第11讲 函数的奇偶性 - 人教A版必修第一册-2026年普通高中学业水平考试过关复习讲义

第11讲 函数的奇偶性 . 学 考 要 求 理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性，关注奇偶性相关知识的综合应用. . 知 识 必 备 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有_________，且_____________________，则称函数是偶函数 关于________对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有________，且_____________________，则称函数是奇函数 关于________对称 2． 函数的奇偶性的判断（证明）方法： 方法一：_________，证明过程如下： 第一步：求函数的定义域，若定义域不关于________对称，则下结论：该函数为非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，则进行第二步; 第二步：等价变形的解析式，判断与的关系； 第三步：若________，则该函数为偶函数，若________，则该函数为奇函数. 方法二：_________：图象关于_________对称，则为偶函数，图象关于_________对称，则为奇函数. . 典 例 探 究 题型一：判断或证明函数的奇偶性 例题1：（1）下列函数中，是偶函数的为（    ） A． B． C． D． （2）已知函数的图象经过． (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性，并说明理由． 题型二：由奇偶性求参数 例题2：若函数是定义在上的偶函数，则 =（  ） A．-1 B．1 C．2 D．-2 题型三：由奇偶性的对称性作图、求值 例题3：（1）如图，给出了偶函数的局部图象，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． （2）已知函数为偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 题型四：由奇偶性求函数解析式 例题4：函数是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，函数的解析式________． 题型五：由函数奇偶性解不等式 例题5：（1）定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集是______. （2）设定义在上的奇函数在区间上是减函数，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． （3）定义在上的奇函数在上是减函数，若，则实数的取值范围为___________. . 过 关 检 测 1、 选择题 1．下列函数中是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下图的四个函数图象中为奇函数图象且的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数是偶函数，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2、 填空题 4．已知为定义域为的奇函数，当时，；当时，___________． 5．已知奇函数在上是减函数，若，则的解集为______． 3、 解答题 6．已知函数满足，. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性并给出证明. . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．是（   ） A．奇函数，增函数 B．偶函数，增函数 C．奇函数，减函数 D．偶函数，减函数 2．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D．2 3．已知奇函数的定义域为，且在上单调递增，若实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 4．定义在上的函数是奇函数，其部分图象如图所示： 则与的大小关系为_________（填“>”“<”或“=”）. 5．已知函数为定义在上的奇函数，写出函数的图象的一个对称中心______. 3、 解答题 6．已知定义在的函数在单调递减，且. (1)若是奇函数，求m的取值范围； (2)若是偶函数，求m的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 函数的奇偶性 . 学 考 要 求 理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性，关注奇偶性相关知识的综合应用. . 知 识 必 备 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有_________，且_____________________，则称函数是偶函数 关于________对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有________，且_____________________，则称函数是奇函数 关于________对称 【答案】 轴 原点 2． 函数的奇偶性的判断（证明）方法： 方法一：_________，证明过程如下： 第一步：求函数的定义域，若定义域不关于________对称，则下结论：该函数为非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，则进行第二步; 第二步：等价变形的解析式，判断与的关系； 第三步：若________，则该函数为偶函数，若________，则该函数为奇函数. 方法二：_________：图象关于_________对称，则为偶函数，图象关于_________对称，则为奇函数. 【答案】 定义法 原点 图象法 轴 原点中心 . 典 例 探 究 题型一：判断或证明函数的奇偶性 例题1：（1）下列函数中，是偶函数的为（    ） A． B． C． D． 【解析】函数的定义域为，函数为非奇非偶函数，A错误； 的定义域为R，，则，故该函数为偶函数，B正确； 的定义域为R，令，则，函数不是偶函数，C错误； 的定义域为R，其图象为直线，不关于y轴对称，故函数不是偶函数，D错误， 故选：B （2）已知函数的图象经过． (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性，并说明理由． 【解析】（1）因为函数的图象经过， 所以，解得， 所以； （2）函数为上的奇函数. 由（1）可知， 由于，其定义域关于原点对称， ， 所以为奇函数. 题型二：由奇偶性求参数 例题2：若函数是定义在上的偶函数，则 =（  ） A．-1 B．1 C．2 D．-2 【解析】若函数是定义在上的偶函数，则，解得， 所以. 故选：B. 题型三：由奇偶性的对称性作图、求值 例题3：（1）如图，给出了偶函数的局部图象，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意知，函数为偶函数，可得， 结合函数在上的图象，可得， 所以. 故选：A. （2）已知函数为偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【解析】因为函数为偶函数，所以，当时，， 则. 故选：D. 题型四：由奇偶性求函数解析式 例题4：函数是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，函数的解析式________． 【解析】因为函数是定义域为R的奇函数， 所以. 当时，， 则. 因为， 所以时，. 故答案为：. 题型五：由函数奇偶性解不等式 例题5：（1）定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集是______. 【解析】为R上的偶函数，且在上单调递减， 由，得， 解得. 所以原不等式的解集为. 故答案为： （2）设定义在上的奇函数在区间上是减函数，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解析】由已知函数为奇函数，且在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 又， 则，解得， 即， 故选：C. （3）定义在上的奇函数在上是减函数，若，则实数的取值范围为___________. 【解析】解：是定义在上的奇函数，且在上是减函数 在定义域上是减函数，且 ，即 故可知，即可解得 实数的取值范围为. 故答案为： . 过 关 检 测 1、 选择题 1．下列函数中是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【解析】对于A，令，所以的定义域为，， 所以为偶函数，故A正确； 对于B，令，所以的定义域为，， 所以为奇函数，故B错误； 对于C，的定义域为，所以为非奇非偶函数，故C错误； 对于D，令，且， 所以为非奇非偶函数，故D错误. 2．下图的四个函数图象中为奇函数图象且的是（    ） A． B． C． D． 【解析】奇函数的函数图象关于原点对称，偶函数的函数图象关于轴对称； 结合选项可知，A、C的图象关于轴对称，为偶函数，故排除A、C； B、D的图象关于原点对称，为奇函数，但只有D的，故B错误、D正确. 故选：D 3．已知函数是偶函数，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【解析】由是偶函数，则， 满足二次函数的对称轴， 故选：B 2、 填空题 4．已知为定义域为的奇函数，当时，；当时，___________． 【解析】设，则，代入时解析式可得， 又为奇函数，所以，所以，即. 故答案为：. 5．已知奇函数在上是减函数，若，则的解集为______． 【解析】由题意知，奇函数在单调递减，， 所以函数在单调递减，且，如图， 由图可知，的解集为或. 故答案为：或. 3、 解答题 6．已知函数满足，. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性并给出证明. 【答案】(1)， (2)为奇函数，证明详见解析. 【分析】（1）由已知得关于，的方程组，即可求解. （2）求出，结合奇偶性的定义即可得出结论. 【解析】（1）由得，；由得，； 联立解得，，. （2）为奇函数. 证明：由（1）知，，定义域为， 则，所以， 所以为奇函数. . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．是（   ） A．奇函数，增函数 B．偶函数，增函数 C．奇函数，减函数 D．偶函数，减函数 【解析】根据幂函数性质知是奇函数，增函数. 故选：A 2．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D．2 【解析】因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以. 故选：A 3．已知奇函数的定义域为，且在上单调递增，若实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意得 ∵奇函数的定义域为，且在上单调递增 ∴在定义域内单调递增． 若实数满足，即 故有，解得，所以的取值范围为. 故选：D 2、 填空题 4．定义在上的函数是奇函数，其部分图象如图所示： 则与的大小关系为_________（填“>”“<”或“=”）. 【解析】因为是奇函数，所以其图象关于原点对称，如图所示： 观察图象，知． 故答案为：＞． 5．已知函数为定义在上的奇函数，写出函数的图象的一个对称中心______. 【解析】根据题意，函数为定义在上的奇函数，其对称中心为， 将的图象向右平移1个单位得，再向下平移2个单位可得的图象， 所以函数的图象的一个对称中心为； 故答案为：. 3、 解答题 6．已知定义在的函数在单调递减，且. (1)若是奇函数，求m的取值范围； (2)若是偶函数，求m的取值范围. 【解析】（1）若是奇函数，则在上单调递减，故，解得：，故m的取值范围为； （2）若是偶函数，因为在上单调递减，故在上单调递增，由得：，故，解得：， 故m的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $