第24讲 函数y=Asin(ωx +φ) - 人教A版必修第一册-2026年普通高中学业水平考试过关复习讲义

第24讲 函数y=Asin(ωx +φ) . 学 考 要 求 掌握函数y=Asin(ωx +φ)的图象及其实际意义. . 知 识 必 备 1．函数的有关概念 （1）A是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为该振动的__________.A越大，振动的幅度越大. （2）单摆或弹簧往复振动一次所需的时间称为该振动的__________（即最小正周期）.越大，振动的周期越小. （3）在单位时间内振动的次数称为该振动的频率，而相应地称为__________.越大，振动的频率越大. （4）称为该振动的__________.当时的相位称为__________. 【答案】 振幅 周期 圆频率 相位 初始相位 2．A（）对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的A倍，横坐标不变而得到，函数的值域为__________，最大值为__________，最小值为__________. 【答案】 3．（）对的图像的影响 函数的图像，可以看作是把的图像上所有点的横坐标__________或__________到原来的__________倍，纵坐标不变而得到. 【答案】 缩短 伸长 4．对，的图像的影响 的图像可以看作是把正弦曲线上所有的点向__________或向__________平移__________个单位长度而得到. 【答案】 左 右 5．图像变化的两种操作思路 思路一： _________________________________， 得到，_________________________， 得到，________________________， 得到. 思路二： _________________________________， 得到，_______________________， 得到，______________________， 得到. 【答案】 （振幅变换）横坐标不变，纵坐标变为原来的倍 （周期变换）纵坐标不变，横坐标变为原来的 （平移变换）图像整体向左移个单位长度 （平移变换）图像整体向左移个单位长度 （周期变换）纵坐标不变，横坐标变为原来的 （振幅变换）横坐标不变，纵坐标变为原来的倍. 6．“五点法”作的图象的步骤： （1）列表（填写下表）. 0 x _____ _____ _____ _____ _____ y _____ _____ _____ _____ _____ （2）描点，五个点分别是___________，___________，___________，___________，___________. （3）连线. 【答案】 0 0 0 7.函数的图象性质 函数 定义域 值域 ①_________ 最值 由，解得 由，解得 最小正周期 ②_________ 奇偶性 当③_________，且时，函数为奇函数； 当④_________时，函数为偶函数 单调性 当时，函数⑤_________ 当时，函数⑥_________ 对称性 由解得对称轴；由解得对称中心横坐标，对称中心纵坐标为⑦_________ 【答案】①；②；③；④；⑤单调递增；⑥单调递减；⑦B . 典 例 探 究 题型一：描述正（余）弦型函数图象的变换过程 例题1：（1）只需要把函数的图象（   ），即可得到函数的图象. A．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 B．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 C．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度 D．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度 【解析】要得到函数的图象，需要把函数的图象各点的横坐标缩短到原来的， 再向左平移个单位长度得到. 故选：B． （2）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【解析】因为，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度. 故选：C． （3）将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的解析式为（   ） A． B． C． D． 【解析】将函数图象向左平移个单位长度得到的函数图象. 故选：C． 题型二：求图象变化前（后）的解析式 例题2：将函数图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，再把所得的图像向右平移个单位长度，则所得新函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题可知：. 故选：B 题型三：部分三角函数的图象求解析式 例题3：已知函数（，）的部分图象如图所示，则函数的表达式为______. 【解析】由图象可知，则，所以，得， 所以， 将代入，得，即， 所以，解得，又，则， 所以. 故答案为：. 题型四：函数y=Asin(ωx +φ)的单调区间、对称轴、对称中心、值域 例题4：（1）已知函数．求函数的单调递减区间及其图象的对称中心 【解析】（1）令，，得，， 因此函数的单调递减区间是，． 令，，得，，因此函数图象的对称中心是，． （2）求函数的单调区间. 【解析】因为，所以， 令，所以在区间单调递增，在单调递减. 而，， 所以函数，在单调递增，在单调递减. （3）已知函数.求出函数的对称轴方程 【解析】对于函数，令，解得， 所以函数的对称轴方程为， （4）已知函数. 当时，求函数的值域. 【解析】当时，， 因为，所以， 故函数的值域为. . 过 关 检 测 1、 选择题 1．为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（   ） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 【解析】把余弦曲线上所有的点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 得的图象，A正确，BCD错误. 故选：A 2．将函数图象上每个点向右平移个单位长度，再将所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【解析】解：把函数的图象向右平移 个单位长度，得， 把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变， 得到的图象. 故选：C. 3．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则 A． B． C． D． 【解析】试题分析：由图可知，，∴，又， ∴，∴，又．∴. 4．已知函数的图象关于直线对称，则的取值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】，由题意可得， 解得，当时，. 故选：C 2、 填空题 5．函数的递减区间为______. 【解析】由，得，， 又因为，所以，即函数的递减区间为. 故答案为：. 6．将函数的图象向左平移个单位，得到函数.图象，若函数为奇函数，则的最小值是_____. 【解析】的图象向左平移个单位， 得到函数， 因为为奇函数，所以，解得， 又，故当时，取得最小值，最小值为1. 故答案为：1 3、 解答题 7．已知函数（）的最小正周期为. (1)求的值和函数的对称轴方程； (2)当时，求的值域； (3)若，求的值. 【解析】（1）∵函数最小正周期，∴， 令，则， ∴函数的对称轴方程为. （2）当时，， ∴，∴. （3），∴， . . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．函数的最大值为5，则A的值为（    ） A．5 B．-5 C．4 D．-4 【解析】因为，所以， 所以函数的值域为， 所以函数的最大值为A，则由题. 2．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【解析】因为， 为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平行移动个单位长度. 故选：D. 3．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且为偶函数，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【解析】依题意，函数， 由函数为偶函数，得，而，则， 所以实数的值为. 故选：B. 4．将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，下列各点是的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【解析】向右平移个单位长度，得到， A选项，，故A正确； B选项，，B错误； C选项，，故C错误； D选项，，D错误. 故选：A 2、 填空题 5．函数的对称轴方程是_____________． 【解析】令，解得， 故答案为：. 6．设（其中），若函数既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是__________. 【解析】（其中）既没有最大值，也没有最小值， 且，可得；或且，可得； 结合正弦函数的性质，易知其它区间不符合. 故答案为：. 3、 解答题 7．已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值. 【解析】（1）由图可知：函数的周期， 又，所以. 又因为，即， 则，即. 且，可知，所以. （2）由的图象向右平移个单位长度后得， 因为，令， 当，即时，取最小值； 当，即时，取最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24讲 函数y=Asin(ωx +φ) . 学 考 要 求 掌握函数y=Asin(ωx +φ)的图象及其实际意义. . 知 识 必 备 1．函数的有关概念 （1）A是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为该振动的__________.A越大，振动的幅度越大. （2）单摆或弹簧往复振动一次所需的时间称为该振动的__________（即最小正周期）.越大，振动的周期越小. （3）在单位时间内振动的次数称为该振动的频率，而相应地称为__________.越大，振动的频率越大. （4）称为该振动的__________.当时的相位称为__________. 2．A（）对的图象的影响 函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的A倍，横坐标不变而得到，函数的值域为__________，最大值为__________，最小值为__________. 3．（）对的图像的影响 函数的图像，可以看作是把的图像上所有点的横坐标__________或__________到原来的__________倍，纵坐标不变而得到. 4．对，的图像的影响 的图像可以看作是把正弦曲线上所有的点向__________或向__________平移__________个单位长度而得到. 5．图像变化的两种操作思路 思路一： _________________________________， 得到，_________________________， 得到，________________________， 得到. 思路二： _________________________________， 得到，_______________________， 得到，______________________， 得到. 6．“五点法”作的图象的步骤： （1）列表（填写下表）. 0 x _____ _____ _____ _____ _____ y _____ _____ _____ _____ _____ （2）描点，五个点分别是___________，___________，___________，___________，___________. （3）连线. 7.函数的图象性质 函数 定义域 值域 ①_________ 最值 由，解得 由，解得 最小正周期 ②_________ 奇偶性 当③_________，且时，函数为奇函数； 当④_________时，函数为偶函数 单调性 当时，函数⑤_________ 当时，函数⑥_________ 对称性 由解得对称轴；由解得对称中心横坐标，对称中心纵坐标为⑦_________ . 典 例 探 究 题型一：描述正（余）弦型函数图象的变换过程 例题1：（1）只需要把函数的图象（   ），即可得到函数的图象. A．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 B．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 C．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度 D．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度 （2）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 （3）将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的解析式为（   ） A． B． C． D． 题型二：求图象变化前（后）的解析式 例题2：将函数图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，再把所得的图像向右平移个单位长度，则所得新函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 题型三：部分三角函数的图象求解析式 例题3：已知函数（，）的部分图象如图所示，则函数的表达式为______. 题型四：函数y=Asin(ωx +φ)的单调区间、对称轴、对称中心、值域 例题4：（1）已知函数．求函数的单调递减区间及其图象的对称中心 （2）求函数的单调区间. （3）已知函数.求出函数的对称轴方程 （4）已知函数. 当时，求函数的值域. . 过 关 检 测 1、 选择题 1．为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（   ） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 2．将函数图象上每个点向右平移个单位长度，再将所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则 A． B． C． D． 4．已知函数的图象关于直线对称，则的取值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2、 填空题 5．函数的递减区间为______. 6．将函数的图象向左平移个单位，得到函数.图象，若函数为奇函数，则的最小值是_____. 3、 解答题 7．已知函数（）的最小正周期为. (1)求的值和函数的对称轴方程； (2)当时，求的值域； (3)若，求的值. . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．函数的最大值为5，则A的值为（    ） A．5 B．-5 C．4 D．-4 2．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 3．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且为偶函数，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，下列各点是的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 5．函数的对称轴方程是_____________． 6．设（其中），若函数既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是__________. 3、 解答题 7．已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $