第3讲 基本不等式复习讲义-2026年高一寒假数学人教A版必修第一册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 第3讲 基本不等式（复习） 知识点1：重要不等式： ∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点2：基本不等式（均值不等式） （1）当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数， 即≤，当且仅当a＝b时，等号成立． （2）基本不等式的变形: ①; ②. （3）最值定理简记：“一正、二定、三相等”. 已知x＞0，y＞0，则 若x＋y为定值s，则当且仅当x＝y时，积xy有最大值(简记：和定积最大)； 若xy为定值t，则当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值(简记：积定和最小)． 考点一 直接运用公式 【例1-1】已知，函数的最小值是 （ ） A．5 B．4 C．8 D．6 由均值不等，，当且仅当时不等式取，故选B。 【例1-2】若0＜x＜，则函数y＝x(12－5x)的最大值为________． 因为0＜x＜，所以y＝5x (12－5x)≤＝，当且仅当5x＝12－5x，即x＝时取等号．故填 【例1-3】若实数，满足，则的最小值为______． 因为，所以，当时取“”，所以的最小值为4，故答案为4. 【变式1-1】已知，，，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D【解析】因为，，，所以有，当且仅当时取等号，故本题选D. 【变式1-2】函数的最小值为(   ) A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C【解析】，，函，当且仅当时取等号，因此函数的最小值为8答案选C 考点二 条件型 【例2-1】已知正数、满足，则的最小值为（ ） A．8 B．12 C．10 D．9 正数、满足，根据不等式性质得到： 等号成立的条件为 故答案为：D. 【例2-2】若正数满足，则的最大值为（　　） A． B． C． D． ∵正数满足， ∴，解得， ∴，当且仅当时，等号成立，∴的最大值为．故选：B． 【变式2-1】已知，则的最小值是（　　） A． B． C．5 D．4 【答案】A【解析】∵a＞0，b＞0，a+b＝2，∴y（）（a+b）（1+4）（5+2），当且仅当b＝2a时等号成立，故选：A． 【变式2-2】设，且，则的最小值为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 当且仅当，即时成立，故选D。 考点三 配凑型 【例3-1】已知，则的最小值是_______. 因为，所以， 所以（当且仅当时，等号成立）. 【例3-2】已知，则函数的值域为________． 设由知，，， 故， ∵ （当且仅当时，等号成立）． ∴函数的值域为． 【例3-3】已知正数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． （3），所以，， 则， 所以，， 当且仅当，即当时，等号成立， 因此，的最小值为，故选：． 【变式3-1】当时，的最大值为__________. 【答案】-3.【解析】当时， 故答案为：-3 【变式3-2】已知正数，满足，则的最小值为________. 【答案】【解析】由，可得且， 则，（当且仅当即时取“=”）.故的最小值为. 考点四 利用基本不等式求参数 【例4】已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B【解析】因为，，，所以.因为不等式恒成立，所以，整理得，解得，即. 【变式4-1】若两个正实数满足,且恒成立，则实数的取值范围是（　） A． B． C． D． 【答案】D【解析】由基本不等式得， 当且仅当，由于，，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，由题意可得，即， 解得，因此，实数的取值范围是，故选：D. 【变式4-2】已知，，且，若不等式恒成立，则实数的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】由得：，即， ， （当且仅当，即时取等号）（当且仅当时取等号）本题正确选项： 1、当时，不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A【解析】∵，∴，∴ 当且仅当，即时取等号，∵当时，不等式恒成立， ∴只需．∴的取值范围为：．故选：A． 2．已知正数，满足，则的最小值（ ） A．6 B． C．10 D． 因为，所以所以，当且仅当，时取等.故选：D 3．（多选）下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【详解】易知C正确；对A，因为，所以，则，当且仅当时取“=”，正确；对B，若，则，错误；对D，因为，，所以，则，当且仅当时取“=”，正确. 故选：ACD. 4．（多选）下列说法中正确的有（ ） A．不等式恒成立 B．存在，使得不等式成立 C．若，，则 D．若正实数，满足，则 解：不等式恒成立的条件是，，故A不正确；当为负数时，不等式成立.故B正确；由基本不等式可知C正确；对于， 当且仅当，即，时取等号，故D正确.故选：BCD. 5.函数（）的最小值是___C______ A． B． C． D． 6、已知，，若不等式恒成立，则的最大值为______． 【答案】9.【解析】由得恒成立，而，故，所以的最大值为. 7、（1）已知，且，求的最小值。 （2）已知是正数，且满足，求的最小值。 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1），， 由基本不等式可得， 当且仅当，即当时，等号成立，所以，的最小值为； （2）由基本不等式可得， 当且仅当，即当时，等号成立，所以，的最小值为. 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 第3讲基本不等式（复习） 知识导图 a∈R、b∈R,a2+≥2ab,当且仅当a=b时取“=” ab sa+b 2 a>0、b>,a+b22Nab,当且仅当a=b时取“=”9 公式 as(aty 2 a +b 式 a>0、b>0是5a5sas 2≤V2 a b 已知x>0,y>0,划 最值 定理 者灯为能值则当组仅当可时，积理有最大值广博记：和坐积大： 若灯为定值飞则当且仅当x=y时，和x+y有最小值2简记：积定和最小. 知识梳理 一一 知识点1：重要不等式： a,b∈R,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时，等号成立. 知识点2：基本不等式（均值不等式） (1)当a,b是任意正实数时，a,b的几何平均数不大于它们的算术平均数， 即ab≤a十b2,当且仅当a=b时，等号成立 (2)基本不等式的变形： ①a+b≥2Wab; ②ab≤（学）月 (3)最值定理简记：“一正、二定、三相等” 第1页共6页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 已知x>0,y>0,则 若x+y为定值，则当且仅当=y时，积y有最大值手（简记：和定积最大： 若xy为定值t,则当且仅当x=y时，和x十y有最小值2Vt(简记：积定和最小). 考点突破 考点一直接运用公式 【例1：1】已知x>0,函数y=4+x的最小值是() A.5 B.4 C.8 D.6 【例1-2】若0<x< E5,则函数y=x12-5的最大值为 【例1-3】若实数x,y满足y=1,则2+4y2的最小值为 【变式1-1】已知x,y∈0，+0)，x+y=1,则xy的最大值为() 1 A.1 B. 2 3 D.4 【变式12】函数y=x+1+5x>1)的最小值为() x-1 A.6 B.7 C.8 D.9 第2页共6页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 考点二条件型 11 【例2-1】已知正数x、y满足4x+y=1,则二+二的最小值为() x y A.8 B.12 C.10 D.9 【例22】若正数xy满足x+4y-y=0,则4 的最大值为() x+y 2-5 0.7 4 A. 【变式2-1】已知a>0,b>0,a+b=2,则y= +4的最小值是(） a b 2 7 b:2 C.5 D.4 【变式22】设a>0,6>0,且a+b=4,则4+的最小值为() ab A.8 B.4 C.2 D.1 考点三配凑型 【例3-1】已知>-1，则3x+3的最小值是 x+1 第3页共6页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 【例32】已知x>-1,则函数y=+7x+10的值城为 x+1 【例3-3】已知正数x、y满足x+y=1,则+，4 的最小值为() x I+v A.2 .1 D.5 3 【变式31】当x≤-1时，f)=x+1的最大值为 x+1 1 1 【变式3-2】已知正数x,y满足x+y=5,则 十 的最小值为 x+1y+2 考点四利用基本不等式求参数 【创4已知m>0,y>0,当x+y=2时，不等式2+≥4恒成立，则m的取值范用是 x y A.[V2,+∞ B.[2,+o0 c.(0,2 D.(0,2] 第4页共6页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 【变式41】若两个正实数，y满足2+1，且x+2y>m㎡+2m恒成立，则实数m的取值范围是() x y A.(-0,-2U[4,+∞）B.(-0,-4)U[2,+0）C.(-2,4)D.（-4,2) 【变式4-2】已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,若不等式a≤x+y恒成立，则实数a的范围是() A.（-00,12] B.（-0,14] C.(-0,16] D.(-0,18] 课后巩固 1.当x>4时，不等式x+4 ≥m恒成立，则m的取值范围是() x-4 A.m≤8 B.m<8 C.m≥8 D.m>8 2.己知正数a,b满足a+b=2ab,则2a+6b的最小值() A.6 B.4+√3 C.10 D.4+2V5 3.(多选)下列命题正确的是() 第5页共6页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ A.若a+0,则a2+4≥4 4、 B.若a<0,则a+-≥-4 a2 a C.若a>0,b>0,则a+b≥2ab D.若a<0,b<0,则+≥2 b a 4.(多选)下列说法中正确的有() A.不等式a+b≥2√ab恒成立 B.存在a,使得不等式a+1s2成立 C.若a,be0,+w,则2+9≥2 a b D.若正实数x,y满足x+2y=1,则2+≥8 x y 5.函数f=+x+1(x>1)的最小值是 x-1 A.2W3 B.2 C.3+25 D.5 6.已知4>0，b>0,若不等式2+≥，m恒成立，则m的最大值为一 21. a b 2a+b 7.(1)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,求2°+g5的最小值。 (2)已知a,b是正数，且满足a+b=1,求上+4的最小值。 a b 第6页共6页