第21讲 诱导公式 - 人教A版必修第一册-2026年普通高中学业水平考试过关复习讲义

第21讲诱导公式 》学考要求 理解正弦、余弦、正切函数的诱导公式，能利用诱导公式化简求值. 知识必备 同角三角函数的基 平方关系： 本关系 商数关系： 《+罗+2kmk∈Z sin(a+k.2m)= 可以把求任意角的三角函数值转化 公式一 cos(a+k·2m)= 为求0~2π角的三角函数值 tan(a+k.2n)= sin(n+a)= 公式二 cos(π+= 将π2π的角转化为0~π的角求值 同角三 tan(n+a)= 角函数 sin(-a)= 基本 公式三 cos(-a)= 将负角转化为正角求值 关系及 诱导公 tan(-a)= 诱导公 式 sin(n-a)= 式 公式四 cos(π-a) 将罗~π的角转化为0~罗的角求值 tan(n-a)= sin(号-a) 公式五 cos(号-a) 实现正弦函数与余弦函数的相互转化 sin(+a)= 将受T的角的三角函数值转化为求 公式六 cos(罗+a) 0~5的角的三角函数值 口诀 奇变偶不变，符号看象限 典例探究 题型一：诱导公式求值 例题1：(1)sin受= 包 (2)sin2竖+tan2-() A.昌 B.-克 c.B+2 2 0.5-2 (3)sin(-)= 题型二：诱导公式化简（后再求值） 例题2：①已知知f〔a)=39·化简f(a)并求r(-9)的能， 题型三：给值求值 例题3：(1)若cos(a+晋)=号，求cos(平-&) (2)已知sin(x+晋)=寺，则sin(钙-x)+sin2(号-x)的值是 〉过关检测 一、选择题 1.sin(-330)=() A-县 B县 c.- D. 2.下列三角函数值的符号为负的是() A.sin150° B.sin() c.cos(-200°)D.tan 3.已知角x的终边上一点P(3,4),则cos(π-a)=() A.寻 B.- c. D.- 2 4.“ac+B=π"是"sina=sinB"成立的()条件 A.充分不必要B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 二、填空题 5.已知cos(晋-a)=青，则sin(等-a)= 三、解答题 6.己知关于x的方程10x2-2W10x+m=0的两个不等实根分别是sin6和cos6. (1)求m的值： 2诺8E(0,π），求-年可的值 sin受-0) 课后巩固 一、选择题 1.已知cos=专，则sin(心+)=() A县 ®，-县 c.支 D.-克 2.设a=cos225°，b=sin120°，c=-sin750°，则a,b,c的大小关系为() A.a>b>c B.b>c>a C.a>c>b D.c>a>b cos+a) 3.已知角c的终边经过点P(-1,3),则og+0sa=（） A. B.- c. D.- 包 二、填空题 4.已知tan(π+a)=-2,则盟器= 5.已知a为第三象限角，f(a)=a-co停+aan(-巴 tn(-a-r)sin(-a-π) 三、解答题 6.已知f(a)=os+r2r-学-a sin(3nt-a)sin(+a)cos(a-it)' (1)化简f(&) 2sin'a-1 (2)若f(c)=2,求a+2ca的值 4第21讲诱导公式 学考要求 理解正弦、余弦、正切函数的诱导公式，能利用诱导公式化简求值， 〉知识必备 同角三角函数的基 平方关系： 本关系 商数关系： a≠罗+2kT(keZ sin(a+k.2m)= 可以把求任意角的三角函数值转化 公式一 cos(a+k·2m)= 为求0~2π角的三角函数值 tan(a+k.2n)= sin(n+a)= 公式二 cos(π+= 将π2π的角转化为0~π的角求值 同角三 tan(n+a)= 角函数 sin(-a)= 基本 公式三 cos(-a)= 将负角转化为正角求值 关系及 诱导公 tan(-c）= 诱导公 式 sin(n-a)= 式 公式四 cos(T-a)= 将罗~π的角转化为0~罗的角求值 tan(π-= sin(号-a） 公式五 cos(号-a) 实现正弦函数与余弦函数的相互转化 sin(受+a) 将受T的角的三角函数值转化为求 公式六 cos(号+a) 0~5的角的三角函数值 口诀 奇变偶不变，符号看象限 【答案】sin2a+cos2a=1:器=tana;sina;cosa;t ana;-sina;-cosa;tana;-sina; cosa;-tana;sing; -cosa;-tana;cosa;sina;cosa;-sina 典例探究 题型一：诱导公式求值 例题1：(1)sin琴= 【解析】sin号=sin(2m-哥)=-sin号=- 2 故答案为： (2)sin2竖+tam2-() A. B.- c.5+2 【解析lsin2要+tam号=sin(肾+6π)+an(经+3π)=sin号+tan音=号+1=.放答案为： 2 (3)sin(-要)= 【解析】sin(-)=sim(-10m+)=sin晋=sin(π-)=sin管=专.故答案为：o.5 题型二：诱导公式化简（后再求值） 例题2：（1)已知知f(a)=.-c经-a Fco要+--na,化简f(a)并求f(-)的值： in-)COS(-acos(号-a） 【解析】f(a)=eo号+-a -sina(-cosa)'sina sinasina(-cosa) -sinacos2asina sina sina(-cosa) =cosa,a≠钙，k∈Z: 所以f(-4)=cos(-4)=cos4=cos(12m-变)=cos(-罗) =c0s罗=cos(元-晋)=-cos=-支； 题型三：给值求值 例题3：(1)若cos(a+)=号，求cos(平-) 【详解】cos（要-a)=cos[π-(a+晋)]=-cos(ax+)=-号.故答案为：-号 (2)已知sin(x+晋)=3，则sin(-x)+sin2(胃-x)的值是 【解析】解：：sin(x+晋)=寺，则sin(-x)+sin2(号-x) =sin[π-(x+晋)]+sin2[号-（晋+x)]=sin(x+晋）+cos2(x+)=青+1-青=号 故答案为：号 过关检测 一、选择题 1.sin(-330)=() A.- B号 c.-克 D. 【解析】sin(-330=sin(-330°+360)=sin30°=专.故选：D 2.下列三角函数值的符号为负的是() A.sin150。 B.sin(-钙) C.cos(-200)D.tan 【解析】因为150°角是第二象限角，所以sin150°>0，A错误； 因为-琴角的终边，在y轴正半轴上，所以sin(-要)=1>0，B错误； 因为-200°角是第二象限角，所以c0s(-200·)<0,C正确： 因为琴=2π+等，所以琴角的终边在第一象限，所以tan琴>0，D错误. 故选：C 3.已知角a的终边上一点P(3,4),则cos(π-)=() A.号 B.-周 c. D.- 【解折】因为cosa=中=，所以c0sm-)=-c0sa=-寻.故选：B 4.“a《+B=π"是"sinc=sinB"成立的()条件 A.充分不必要B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 【解析】由a+B=T,则a=π-B,，所以sina=sin(T-B)=sinB,故充分性成立； 由sina=sinB,不一定得到x+B=T,如a=琴，B=背，满足sina=sinB, 此时《-B=2m,《+B=要，故必要性不成立， 所以“a+B=π"是"sina=sin"成立的充分不必要条件. 故选：A 二、填空题 5.已知cos(君-a)=青，则sin(弯-a)= 包 【解析】因为cos(晋-a)=青，所以sin(受-a)=sin[罗+（晋-a)]=cos(晋-a)=青 三、解答题 6.已知关于x的方程10x2-2√10x+m=0的两个不等实根分别是sin日和cos6. (1)求m的值： sinr-tan日sin-日) 2)若6e(0,π)，求--产可的值 【解析】(1)因为关于x的方程10x2-2W10x+m=0的两个不等实根分别是sin6和cos6 所以△=40-40m>0,即m<1, sin8+cos0=,sin0cos日=器， (sin0+cos0)2=1+2sin6.cos6=号， 从而sin8cos6=-最， 则m=-3; sin(π-0tan8 in誓-9 sinetane c0s28 (2) tanπ+十1 co-0)-co+0) tan0+1 cos0+sin sin cos0 sine cose+sin= Cos0 器+1 sin0+cose 一 cos9+sin日 sin20-cos0 sine+cose =sine-cos0. 因为(sin6-cos8)2=1-2sin6cos6-号 因为8∈(0，π)且sin6·cos6=-品， 所以sin6>0,cos0<0, 所以sin6-cos0>0. 所以sin日-cos8= 2W10 5 课后巩固 一、选择题 1.已知cosc=克，则sin(c+)=() A.县 6.-9 C. D.- 【解析】因为cosa=专， 所以sin(&+)=cosc= 故选：C 2.设a=cos225°，b=sin120°，c=-sin750°，则a,b,c的大小关系为() A.a>b>c B.b>c>a C.a>c>b D.c>a>b 【解折】由题意可得1=60s2250=-605450=-号。 b=5in1200=cos300=与，c=-sin7500=-sin300=-,故b>c>a, 故选：B cosr+a） 3.已知角α的终边经过点P(-1,3),则+sa=（） A.克 B.-克 C. D.- 【解析】利用诱导公式化简： COST+a) -cosa cosa cos+a)-cosa --sina cosa-sinaicosa 己知角ax的终边经过点(-1,3)，可得cosx≠0，且tanc=-3, 分子分母同时除以cosa: na+co8a=ana+=-号 osa 故选：B 二、填空题 4.已知tan(π+a)=-2,则盟器 【解析】由诱导公式可得tan(π+)=tan=-2,因此， sina-4cosa sina+cosa tna-4=6. tana+1 故答案为：6. 5.已知a为第三象限角，f(a)=aco停+an(-a tn(-a-π)sn(-a-r) 【解析】f(a)=a得+n-9=-oman9=-cosa, tan(-a-π)sin(--T) -tana sina 故答案为：-cosa. 三、解答题 5 6.已知f(a)=0+asn2m-吵sn登-a sin(3nt-a)sin(+a)cos(a-t)' (1)化简f() 2诺f(a)=2求o。的值 【解析】(1)由题意得f(a)=+n2-m学-d sin(3t-a)sin+a)cos(a-t) (-sinaX-sinaX-costana. sinacosa-cosa) (2)由题意得f(a)=2,则tan=2, 2sin'a-1= sin a+2cosa 2n型=品=器=最= sin a+2cosa sin'a+2cos2a 6