第18讲 函数的应用（二） - 人教A版必修第一册-2026年普通高中学业水平考试过关复习讲义

第18讲 函数应用（二） . 学 考 要 求 理解方程的根与函数的零点之间的关系，了解用二分法求方程的近似解.运用模型思想解决实际问题. . 知 识 必 备 1．函数的零点 （1）概念：对于一般函数，我们把使 的实数叫做函数的零点. （2）函数的零点、函数的图象与轴的交点、对应方程的根的关系： 2．函数零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是____________的一条曲线，且有____________，那么函数在区间内____________零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 3．用二分法求方程的近似解 对于在区间上______且______的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间______，使区间的两个端点逐步逼近______，进而得到零点近似值的方法叫作二分法. 4．用二分法求函数零点近似值的步骤： 给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证. （2）求区间的____________. （3）计算，并进一步确定零点所在的区间： （i）若(此时)，则就是函数的零点; （ii）若(此时零点)，则令_______; （iii）若(此时零点)，则令________. （iiii）判断是否达到精确度：若________，则得到零点近似值(或)，否则重复第（ii）至(iiii)步. 5．三种常见函数模型的增长差异 函数 性质 在（0，＋∞）上的增减性 _________ _________ _______ 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 的增长速度最终都会大大超过的增长速度；总存在一个，当时，恒有 增长结果 存在一个，当时，有 . 典 例 探 究 题型一：求函数的零点 例题1：（1）函数的零点是__________. （2）函数的零点为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型二：零点存在性定理的判断零点所在区间 例题2：函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 题型三：根据零点所在的区间求参数范围 例题3：已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四：求函数零点或方程根的个数 例题4：（1）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 （2）函数零点个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 题型五：根据函数零点的个数求参数范围 例题5：已知若函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六：利用给定函数模型解决实际问题 例题6：14．心理学家有时间用函数测定在时间（单位：min）内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时表示在时间内该生能够记忆的单词个数.已知该生在5min内能够记忆20个单词，则的值约为（，）（   ） A．0.021 B．0.221 C．0.461 D．0.661 题型七：建立拟合函数模型解决实际问题 例题7：某大学毕业生团队主动创业，计划销售轻食，每个月的店租和水电等成本为2万元，且每销售1份轻食，需再投入成本5元.已知该团队轻食的月销售量为万份，该团队每个月保底能够销售5000份轻食，且当时，月销售收入为万元；当时，月销售收入为万元. (1)求该团队的月销售利润（万元）与月销售量为x（万份）之间的函数解析式； (2)当月销售量为何值时，该团队的月销售利润最小？最小利润为多少万元？ . 过 关 检 测 1、 选择题 1．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 2．函数在区间上的零点个数为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知在药熏过程中，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与时间t（单位：h）的关系如图所示，函数关系式为（a为常数）.据测定，当室内每立方米空气中的含药量降到0.25mg以下时，学生方可进教室.从药熏开始，至少经过小时后，学生才能回到教室，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2、 填空题 4．用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为______． 5．若函数在区间上存在一个零点，则实数m的取值范围是_____. 3、 解答题 6．已知函数 . （1）当时，求函数的零点； （2）若函数为偶函数，求实数的值； （3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．函数的零点是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 3．用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是 . 4．若函数则函数的零点为______． 3、 解答题 5．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量（单位：微克）随着时间（单位：小时）变化的关系近似满足如图所示图象．该图象由曲线段和直线段构成，其中曲线段是函数（是常数）的图象． (1)写出服药后每毫升血液中的含药量与时间之间的函数关系式； (2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于2微克时，治疗有效．服药后多少小时开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到0.1小时） （参考数值：） 6．（2024年湖南）已知函数，，且为偶函数． (1)若，求的值； (2)求实数的值； (3)若对任意的，存在，使得恒成立，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 函数应用（二） . 学 考 要 求 理解方程的根与函数的零点之间的关系，了解用二分法求方程的近似解.运用模型思想解决实际问题. . 知 识 必 备 1．函数的零点 （1）概念：对于一般函数，我们把使 的实数叫做函数的零点. （2）函数的零点、函数的图象与轴的交点、对应方程的根的关系： 【答案】，轴， 2．函数零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是____________的一条曲线，且有____________，那么函数在区间内____________零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 【答案】 连续不断 至少有一个 3．用二分法求方程的近似解 对于在区间上______且______的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间______，使区间的两个端点逐步逼近______，进而得到零点近似值的方法叫作二分法. 【答案】 连续不断 一分为二 零点 4．用二分法求函数零点近似值的步骤： 给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证. （2）求区间的____________. （3）计算，并进一步确定零点所在的区间： （i）若(此时)，则就是函数的零点; （ii）若(此时零点)，则令_______; （iii）若(此时零点)，则令________. （iiii）判断是否达到精确度：若________，则得到零点近似值(或)，否则重复第（ii）至(iiii)步. 【答案】 中点 5．三种常见函数模型的增长差异 函数 性质 在（0，＋∞）上的增减性 _________ _________ _______ 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 的增长速度最终都会大大超过的增长速度；总存在一个，当时，恒有 增长结果 存在一个，当时，有 【答案】 单调递增 单调递增 单调递增 . 典 例 探 究 题型一：求函数的零点 例题1：（1）函数的零点是__________. 所以函数的零点是0. （2）函数的零点为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【解析】由，即，易知与方程组只有一组解， 由函数为增函数，函数为减函数， 则两函数有且仅有一个交点，即方程存在唯一解， 当时，，所以函数的零点为. 故选：C. 题型二：零点存在性定理的判断零点所在区间 例题2：函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【解析】，， 所以，所以函数的零点所在的区间是. 题型三：根据零点所在的区间求参数范围 例题3：已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理求解即可. 【解析】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 要使函数在上存在零点， 则，解得， 则实数的取值范围为. 题型四：求函数零点或方程根的个数 例题4：（1）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由对数函数的性质及零点定义求解即可. 【解析】因为，，且函数在上单调递增，令，解得，所以函数只有一个零点. 故选：B. （2）函数零点个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【解析】由得： 或 解得或． 因此函数共有2个零点． 故选：B. 题型五：根据函数零点的个数求参数范围 例题5：已知若函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】由函数在上单调递增，且值域为， 故必有唯一解， 故当时，有两不同根， 即有两不同非正根， 即有，解得， 由，则，解得， 故. 故选：D. 题型六：利用给定函数模型解决实际问题 例题6：14．心理学家有时间用函数测定在时间（单位：min）内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时表示在时间内该生能够记忆的单词个数.已知该生在5min内能够记忆20个单词，则的值约为（，）（   ） A．0.021 B．0.221 C．0.461 D．0.661 【解析】由题意得：，即， 则，两边同取对数可得：， 即，解得， 故选：A. 题型七：建立拟合函数模型解决实际问题 例题7：某大学毕业生团队主动创业，计划销售轻食，每个月的店租和水电等成本为2万元，且每销售1份轻食，需再投入成本5元.已知该团队轻食的月销售量为万份，该团队每个月保底能够销售5000份轻食，且当时，月销售收入为万元；当时，月销售收入为万元. (1)求该团队的月销售利润（万元）与月销售量为x（万份）之间的函数解析式； (2)当月销售量为何值时，该团队的月销售利润最小？最小利润为多少万元？ 【解析】（1）由题意， 当时，， 当时，， ∴； （2）当时，， 当且仅当，即时取等， 当时，单调递增， 故， 由于，故当月销售量为万份时，该团队的月销售利润最小，最小值为2万元 . 过 关 检 测 1、 选择题 1．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断的单调性，再利用零点存在定理即可求解. 【解析】由题意有：在单调递增，又， 所以存在，使得， 故选：B 2．函数在区间上的零点个数为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】令，解得，当时，分别计算出对应的值，找出符合的值即可得解. 【解析】令，解得. 当时，，符合条件； 当时， ，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，不符合条件； 当时，，不符合条件. 综上，在区间上，有三个解， 即函数的零点个数为3. 故选：D 3．为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知在药熏过程中，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与时间t（单位：h）的关系如图所示，函数关系式为（a为常数）.据测定，当室内每立方米空气中的含药量降到0.25mg以下时，学生方可进教室.从药熏开始，至少经过小时后，学生才能回到教室，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由函数图象特殊点代入解析式求解， 【解析】当时，，代入解析式得，得， 令，解得，即，， 故选；C 2、 填空题 4．用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为______． 【解析】区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过次此操作后，区间长度变为． 因为用二分法求函数在区间上的零点近似解， 要求精确度为0.01，所以． 因为，，所以，即所需二分区间的次数最少为7． 故答案为：7. 5．若函数在区间上存在一个零点，则实数m的取值范围是_____. 【解析】由函数在区间上存在一个零点，则. 即，解之得， 故答案为： 3、 解答题 6．已知函数 . （1）当时，求函数的零点； （2）若函数为偶函数，求实数的值； （3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 令即，由指数函数的性质可得，解得， 所以当时，函数的零点为0； （2）因为函数为偶函数，所以即， 所以， 又不恒为0，所以即； （3）因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 由可得在上恒成立， 令，所以在上恒成立， 设，， 由可得当时，， 由可得当时，， 所以， 所以实数的取值范围为. . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．函数的零点是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】令，即， 可得，即， 所以函数的零点是0. 故选：A. 2．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（    ） A． B． C． D． 【解析】由图象可知，BD选项中函数无零点，AC选项中函数有零点，C选项中函数零点两侧函数值符号相同，A选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A选项中函数零点可以用二分法求近似值，C选项不能用二分法求零点. 故选：A 2、 填空题 3．用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是 . 【答案】[2，2．5] 【解析】设f（x）=x3-2x-5， f（2）=-1＜0，f（3）=16＞0， f（2.5）=-10=＞0， f（x）零点所在的区间为[2，2.5]， 方程x3-2x-5=0有根的区间是，故填写 4．若函数则函数的零点为______． 【答案】和1 【分析】根据题意，分类讨论取不同范围的值时，解方程的根即可求解. 【解析】函数的零点即方程的根． 当时，方程，即， 解得或， 因为，舍去，所以； 当时，方程，即，解得，符合题意． 综上，函数的零点为和1． 故答案为：和1. 3、 解答题 5．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量（单位：微克）随着时间（单位：小时）变化的关系近似满足如图所示图象．该图象由曲线段和直线段构成，其中曲线段是函数（是常数）的图象． (1)写出服药后每毫升血液中的含药量与时间之间的函数关系式； (2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于2微克时，治疗有效．服药后多少小时开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到0.1小时） （参考数值：） 【答案】(1)； (2)服药后1.6小时开始有治疗效果，治疗效果能持续3.4小时. 【分析】（1）根据给定条件，利用待定系数法求出函数关系. （2）分段求解不等式即可得解. 【解析】（1）当时，，此时函数图象过点，则，解得； 当时，设函数解析式为，依题意，，解得， 所以所求函数关系式为. （2）由，即，解得，而，则， 由，解得，, 所以服药后1.6小时开始有治疗效果，治疗效果能持续3.4小时. 6．已知函数，，且为偶函数． (1)若，求的值； (2)求实数的值； (3)若对任意的，存在，使得恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）， ， 解得：； （2）为偶函数， ， 恒成立， 所以； （3）由（2）知：， 对任意的，存在，使得恒成立， 将问题转化为：， 当时，即或， 开口向上，对称轴为， 在上单调递增， ， 在上单调递增， ， ， 即， 解得：， ； 当时，即或， 为常函数， ， 在上单调递增， ， ， 即， 解得：， 所以； 当时，即， 开口向下，对称轴为， 在上单调递减， ， 在上单调递增， ， ， 即， 解得：， ； 综上所述：实数的取值范围为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $