第12讲 函数的应用（培优讲义）新高一数学人教A版

第12讲 函数的应用（培优讲义） 1 知识点01 二次函数模型 2 知识点02 分段函数模型 2 2 题型1 利用二次函数模型解决实际问题 2 7 题型1 分段函数模型的应用 7 题型2 分式函数模型的应用 11 14 14 课标要点 1.读懂简单利润、面积应用题，列出二次函数解析式； 2.能区分分段场景，写出两段式函数； 3.会利用二次函数顶点求无区间限制的最值。 知识点01 二次函数模型 · 适用场景：生活中存在最值、抛物线变化规律的实际问题（面积、利润、运动轨迹、造价等） · 核心考点： 根据实际题意建立二次函数解析式 结合自变量实际取值范围求最大值、最小值 利用二次函数单调性、顶点解决最优方案问题 · 配套基础练习，夯实建模基础。 知识点02 分段函数模型 · 适用场景：自变量在不同区间对应不同对应法则的实际问题（打车计费、阶梯收费、商品分段定价、薪资提成等） · 核心考点： 按区间划分，分段写出函数表达式 给定自变量求函数值，给定函数值反求自变量 结合实际场景判断分段区间边界 题型1 利用二次函数模型解决实际问题 1．某科技企业为增加产能，第1年年初投入560万元购买了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，该台设备可使该企业每年的销售收入为360万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； (2)若第3年年初企业再投入560万元购买了一台该设备，该设备使用第年与第1台设备使用第年的材料费、维修费、人工工资等一样，且该台设备同样可使该企业每年的销售收入为360万元，若，求这两台设备的年平均盈利额最大时的值. 【答案】(1)，从第3年开始盈利 (2)7 【分析】（1）根据利润=销售收入-总成本求出，再解一元二次不等式可得答案； （2）先求出前年的总盈利再求出，结合双勾函数的性质即可得结果. 【详解】（1）由题意得， 令，得，而， 所以该设备从第3年开始使企业盈利. （2）当时，第 1 台设备使用了年，第 2 台设备使用了年， 前年的总盈利为 ， 则年平均盈利额， 由双勾函数的性质可得在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，，而， 所以当时，取得最大值， 这两台设备的年平均盈利额最大时. 2．某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用.该设备使用后，每年的总收入预计为40万元，设备使用 年后该设备的总维修保养费用为 万元，盈利总额为万元. (1)求 关于 的函数关系式； (2)求该设备使用几年后的年平均盈利额最大？最大值为多少万元？（年平均盈利额 = 盈利总额 ÷ 使用年数） 【答案】(1) (2)使用7年后年平均盈利额最大，最大值为22万元 【分析】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式； （2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，当且仅当时等号成立，即， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 3．某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出投入成本，出厂价，年销售量，利用年利润公式求解即可. （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加得到，计算得解. 【详解】（1）投入成本为，出厂价为，年销售量为， 则， 整理得． （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有， 即，解得， 所以投入成本增加的比例应在范围内． 4．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围． 【答案】(1)，定义域为 (2) 【分析】（1）求出售价降低成后每件售价的价钱，销售量增加成后售出商品的数量，列出关于的函数，利用售价不能低于成本价得到的不等式，从而得到函数的定义域. （2）列出关于的不等式，计算得解. 【详解】（1）售价降低成后，每件售价为元， 销售量增加成后售出商品的数量为件， 则． 因为售价不能低于成本价，所以． 所以，定义域为． （2）由题意得，化简得， 解得，所以的取值范围是． 5．某工厂拟在年底用万元购买一台新设备，并在年初立即投入生产使用.调研发现该设备使用年所需要的各种支出费用总和为万元，据以往销售方的大数据估计，，预计该设备每年的生产总收入为万元.设使用年后该设备的盈利额为万元（盈利额等于总收入减去购买成本及各种使用支出费用）. (1)写出与之间的函数关系式； (2)当时，工厂要求该设备在使用年后获得最大的年平均盈利额，并将其出售. （i）求购买该设备的最低价； （ii）若选择以最低价购买该设备，且该设备的年折旧率为（固定资产使用年后，价值的损耗与前一年价值的比率），求使用年后的总获利. 参考数据：. 【答案】(1) (2)（i）万元；（ii）万元 【分析】（1）由条件可知，代入的表示可得结果； （2）（i）令，根据对勾函数的单调性分析出的取值范围，则结果可求；（ii）根据的值以及设备的剩余价值可计算出总获利. 【详解】（1）由条件可知，，， 所以， 所以. （2）（i）因为，令， 由对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为在时取得最大值，所以， 所以且，解得， 所以购买该设备的最低价为万元； （ii）当时，， 使用年后设备的剩余价值为万元， 所以使用年后的总获利为万元. 方法技巧 ① 配方找顶点； ② 判断顶点横坐标是否在定义域内： 顶点在区间内：顶点取最值； 顶点不在区间内：最值在区间端点。 题型1 分段函数模型的应用 1．某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 【答案】BC 【分析】根据题意列出分段函数解析式判断A，分段函数分段求最值再比较判断B，令，解分段函数不等式即可判断CD. 【详解】对A，当时，；当时，； 故，A错误； 对B，当时，，故当时，取到最大值； 当时，，故当年产量为475台时年利润最大，最大为万元，B正确； 对C、D，不亏本即，当时，，解得； 当时，，解得； 故时，企业才不亏本，企业不亏本的最大年产量为4800台，故C正确，D错误. 故选：BC. 2．为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量为万件时，所获利润最大，最大利润为（万元） 【分析】（1）直接根据题中所给的利润关系及相应成本可得函数解析式； （2）根据分段函数的性质，分别求出函数在两段上的最大值，再比较可得最大利润. 【详解】（1）因为年产量（万件），年销售收入为万元，固定成本为万元， 且年利润年销售收入固定成本流动成本， 当时，流动成本， 所以； 当时，流动成本， 所以. 因此，年利润的函数解析式为. （2）分当时，由基本不等式，当且仅当，​即时取等号，满足， 因此，（万元） 当时，是开口向下的二次函数， 对称轴为，且在定义域内，所以当时，利润函数取得最大值. 比较得，因此当年产量为万件时，利润最大，最大利润为（万元）. 3．为帮助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫，当地市政府继续为其提供30万元无息贷款，用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费，已知一年内生产该产品万件的销售收入为万元，且，该企业在经营过程中每月还要支付给职工每月3万元的最低工资保障. (1)写出该企业的年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？并求出企业最早在几年后能偿还所有贷款？ 【答案】(1) (2)年产量为9万件时，企业获得的年利润最大，为24万元；该企业最早5年后能偿还所有贷款 【分析】（1）年利润等于销售收入减去生产成本与职工工资，并分情况讨论，由此可求年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）分情况考虑年利润，结合二次函数与基本不等式即可求得年利润的最大值，并以此值根据题意建立不等式，即可求得企业最早在几年后能偿还所有贷款. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）由（1）得当时，， 所以当时，该企业获得的利润最大，为14万元， 当时，， 当且仅当时，该企业获得的利润最大，为24万元， 故年产量为9万件时，企业获得年利润最大，为24万元， 由题意设最早年后还清所有贷款，则有，解得， 所以该企业最早5年后还清贷款. 4．新余市作为“中国新能源之都”，新能源产业在我国市场版图中占据重要一席；我市某光伏企业计划在2025年利用新技术生产一款光伏储能新设备，通过市场分析，生产此款设备全年需投入固定成本200万元，且年产量（单位：千台）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每台设备售价为0.5万元，且全年内生产的设备当年能全部销售完. (1)求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千台）的函数关系式（利润=销售额成本）： (2)当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1) (2)30千台，最大利润是6560万元 【分析】（1）根据已知条件，结合利润=销售额-固定成本-可变成本的公式，分两种情况讨论，即可求解； （2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及利用函数的单调性可求得分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解． 【详解】（1）销售额为万元， 当时， ， 当时，， 所以； （2）当时，， 当时，万元， 当时，单调递减， 所以时，万元. 综上，当2025年年产量为30千台时，企业所获利润最大，最大利润是6560万元. 方法技巧 · 分段边界重复点两段解析式计算结果必须相等，保证函数连续； · 生产类分段：低产量多为二次函数，高产量多为分式对勾函数； · 不亏本问题：令，分段解不等式，取解集并集。 题型2 分式函数模型的应用 1．为响应黄河流域生态保护和高质量发展战略部署，河南某新材料科技公司成功研发了一种用于绿色建筑的复合环保板材，并计划在省内推广.已知该产品年固定研发成本为50万元，每生产1万吨需另外投入生产成本80万元（含原材料､人工､能耗等）.设该公司一年生产该板材万吨且全部售完，其总销售收入（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润总销售收入总成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大？并求出最大年利润. 【答案】(1) (2)当年产量为15万吨时，年利润最大，最大年利润为1200万元 【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式； （2）分别利用二次函数，基本不等式求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论． 【详解】（1）由， 可得， （2）当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元， 时，， 显然，， 由基本不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立，万元， ， 当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大年利润为1200万元. 2．某公司进行软件革新，需对现有的软件模型进行性能评估．该模型的综合性能（单位：分）与使用时长（单位：小时）有如下函数关系：，若． (1)求的值； (2)当使用时长取何值时，该模型的综合性能达到最大值． 【答案】(1) (2)20小时. 【分析】（1）将给定函数值代入建立方程组求解. （2）由（1）求出，再利用二次函数、及基本不等式分段求出最大值，再比较大小得解. 【详解】（1）函数，由， 得，解得， 所以. （2）由（1）得， 当时，，即当时，取最大值80； 当时，， 当且仅当，即时取等号，而， 所以使用时长取20小时时，该模型的综合性能达到最大值98. 3．鱼灯是黄山市传统民俗工艺品，深受广大游客喜爱.某厂家欲生产一款鱼灯，经过市场调研发现，生产该款鱼灯需投入固定成本10万元，每生产万盏鱼灯另需投入变动成本万元.若这款鱼灯的售价为80元／盏，且该厂家2026年生产的万盏鱼灯均能售完. (1)求该厂家2026年利润（单位：万元）的函数解析式； (2)求该厂家2026年产量为多少万盏时所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)6万盏时所获年利润最大，最大年利润是110万元 【分析】（1）根据题设条件，求解分段函数的表达式即可； （2）利用二次函数和基本不等式求分段函数在各段的最大值，比较大小，即可求解. 【详解】（1）由题意知，鱼灯的售价为80元／盏，则2026年生产的万盏鱼灯售万元， 当时， ， 当时， ， 所以，. （2）当时时，， 所以时，取到最大值108. 当时，， 当且仅当时，取到最大值110. 综上可得：该厂家2026年的产量为6万盏时，所获年利润最大，最大年利润是110万元. 方法技巧 · · 模型识别：形如； · 基本不等式求最值：，当且仅当取等； · 关键检验：解出的x必须落在实际定义域内；若不在，则利用单调性求区间端点最值； 1．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【答案】B 【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 1．某工艺品销售店为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况调研，发现销售收入与时间关系因销售方式不同而不同.该工艺品在过去一个月（以30天计）内网上销售日收入（单位：元）与时间（单位：天）满足关系式；线下门店销售日收入（单位：元）与时间t（单位：天）满足关系式：，两种销售方式互不干扰，同时销售. (1)求过去一个月内有多少天销售日收入不低于6000元； (2)求这一个月内该工艺品在哪一天销售日收入最大，最大值是多少? 【答案】(1)27 (2)，最大值为6900元 【分析】（1）由解不等式即可求解； （2）由和分别计算最值即可求解. 【详解】（1）依题意有， ∴ ∴当时，，解得； ∴当时，，即， 又在单调递减，在单调递增， 当时，， 当时，， 即当时，恒成立， ∴. 综上有，共27天高于6000元. （2）由（1）知当时， ∵时取最小值，∴时取最大值，. 当时， 当且仅当时，取得最大值6900， 综上可知：当时有最大值，最大值为6900元. 2．在环保科技展览会上，某公司推出了一种新型环保材料供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场.已知该种材料年固定研发成本为50万元，每生产一吨需另投入90元.设该公司一年内生产该材料万吨且全部售完，总销售收入为（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大?并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为1600万元. 【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式，（2）分别求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论． 【详解】（1）由， 可得， （2）当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元， 时，， ，，， 由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，万元， ， 当年产量为万吨时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为1600万元. 3．某地为了改善中小型企业经营困难的情况，特推进中小型企业加快产业升级，着力从政府专项基金补贴扶持，产量升级和政府指导价三个方向助力中小型企业．某企业A在产业升级前后的数据如下表： A企业 产量万件 投入成本万元 销售单价元/件 产业升级前 2 45 30 完成产业升级后， 获补贴x万元， 产量 为升级后产量 若该企业在政府指导价下出售产品，能将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本． (1)当该企业没有政府补贴时，收益是多少万元？ (2)企业向政府申请多少专项基金补贴时，所获收益最大，最大收益是多少万元？ 【答案】(1)万元 (2)当政府补贴为万元时，所获收益最大，最大收益为33万元 【分析】（1）根据题意补贴为0，再结合收益销售金额成本，列出算式，即可求解； （2）设获政府补贴万元时，收益为万元，求得，结合基本不等式，得到的最大值，及其相应的值，即可得到答案. 【详解】（1）解：由题意得，当该企业没有政府补贴时，收益销售金额成本， 即：万元； （2）解：设获政府补贴万元时，收益为万元， 则，其中， 所以， 当且仅当，即，即时等号成立， 所以不是申请的政府补贴越多，收益越大，当政府补贴为万元时，所获收益最大，最大收益为33万元． 4．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. (1)试用表示的长，并求的取值范围； (2)求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. 【答案】(1)； (2)，且时元. 【分析】（1）设，根据十字形地域的面积得出的关系式，即可求解； （2）由（1）可求得，从而可求出各个图形的面积，将花坛、地坪、草坪的各个区域造价相加，求得总造价，再利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】（1）设，由两个相同的矩形和构成的面积为， 得，解得，由，得， 所以. （2）由（1）知，则， 矩形的面积为，正方形为， 所以 ，由及，得， 所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值118000元. 5．某小区为了改善居民生活环境，准备把一个矩形花坛扩建成更大的矩形花坛（如图所示），其中点，分别在，的延长线上，对角线过点.已知m，m，设m.    (1)试用表示矩形花坛的面积； (2)若因场地限制，矩形花坛的面积不能超过250m2，则最长为多少米？最短为多少米？ (3)若花坛新扩建部分（不含原矩形花坛）的修建费用为80元/m2，另外为了美观，还需对矩形花坛的边缘进行装饰，装饰费用为100元/m，试问当的长为多少米时，扩建花坛的总费用最少？最少为多少元？（结果可保留根号） 【答案】(1) (2)最长为25米，最短为米 (3)的长为米时，总费用最少，最少为元 【分析】（1）根据给定图形，借助相似求出，进而求出矩形面积. （2）由（1）列出不等式，求解不等式即可得解. （3）求出总费用的函数关系，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由的长为m，得m， 而与相似，则，于是， 所以矩形花坛的面积. （2）依题意，，则，而，整理得，解得， 函数在上随增大而减小，于是， 所以最长为25米，最短为米. （3）矩形花坛的装饰费用， 新扩建部分的修建费用， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的长为米时，总费用最少，最少为元. 6．某化工厂引进一条龙先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y万元与年产量x吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨. (1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求最低平均成本； (2)若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润. 【答案】(1)年产量为80吨时，平均成本最低为14万元/吨； (2)年产量为100吨时，最大利润为900万元. 【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得； （2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值. 【详解】（1），， 当且仅当时，即取等号，符合题意； ∴年产量为80吨时，平均成本最低为14万元/吨. （2）， 又，当时，. 答：年产量为100吨时，最大利润为900万元. 7．在研究“人在雨中行走，如何让被淋雨的程度尽可能低”时，可以将人体视为一个长方体.如图，长方体在雨中沿面（面积为）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿移动方向的分速度为.移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①或的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与成正比，比例系数为；②其它面的淋雨量之和，其值为，记移动距离为d，y为移动过程中的总淋雨量. (1)求总淋雨量的表达式（用含有v、d、S、c的表达式表示）； (2)已知且，设，试根据的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少. 【答案】(1)，其中. (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，得到移动时单位时间内淋雨量为，进而求得总淋雨量的表达式； （2）由（1）知，得到，分类讨论，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）解：由题意知，移动时单位时间内淋雨量为， 所以总淋雨量的表达式，其中. （2）解：当且，设， 由（1）得，总淋雨量的表达式， 当时，可得； 当时，可得， 所以， 当时，函数是关于的减函数，所以当时，； 当时，函数是关于的函数，在上为减函数，在上为增函数， 所以当时，， 综上，当时，；若时，. 8．某工厂拟建一个平面图为矩形，面积为200平方米，高度为米的三段污水处理池（如图）．由于受地形限制，其长、宽都不超过18米，已知污水处理池的外壁的建造费为400元/平方米，污水处理池中两道隔墙（与宽边平行）的建造费为248元/平方米，污水处理池底的建造费为80元/平方米．设污水处理池的长为米，总造价为元．    (1)求的解析式； (2)污水处理池的长与宽各是多少米时，总造价最低？并求出这个最低造价． 【答案】(1)； (2)污水处理池长为米，宽为米，其总造价最低，最低造价为元. 【分析】（1）污水处理池长为米，可得其宽为米，由其长、宽都不超过米可求得的取值范围，根据题意可得出函数的表达式； （2）利用基本不等式可求得函数的最小值，利用等号成立的条件可求得水池的长与宽，进而得解. 【详解】（1）依题意污水处理池的长为米，则宽为米， 由题意可得，解得， 所以， 即； （2）因为， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时， 因此，当污水处理池的长为米，宽为米，其总造价最低，最低造价为元. 9．如图，互相垂直的两条小路，旁有一长方形花坛，其中，．现欲经过点C修一条直路l，l交小路，分别为点P，Q．计划准备将长方形花坛扩建成一个更大的三角形花坛，要求的长不小于且不大于．记三角形花坛的面积为． (1)设，试用x表示，并求x的取值范围； (2)当长是多少时，S取最大和最小值？最大和最小值是多少？ 【答案】(1)， (2)时，S最小值为；当时，S最大值为 【分析】（1）根据题意，由两三角形相似求出，即得，由得范围求出x的范围即可； （2）依题列出S的表达式，整理后利用对勾函数的单调性即可求得其最小值． 【详解】（1）依题意可得∽，则有， 即，可得，因此． 又要求的长不小于且不大于，即， 解得，即，． （2）由图知， 所以， 单调递减；单调递增； 由对勾函数可得： 当时，S取得最小值2400， 当时，S取值2500， 当时，S取值3750， 因此当时，S取得最小值，最小值为． 因此当时，S取得最大值，最大值为． 10．某乡镇获得乡村振兴补贴资金60万元，计划分别用于农产品加工厂建设和电商服务站搭建两个项目.农产品加工厂建设项目一年投放资金万元可获得收益（单位：万元），电商服务站搭建项目一年投放资金万元可获得收益（单位：万元）. (1)设分配给农产品加工厂建设项目的资金为万元，投资两个项目一年经济收益总和为万元，试将表示成关于的函数； (2)求出的最大值，并求出此时对两个项目的投资分别为多少万元. 【答案】(1) (2)的最大值为，此时分配给农产品加工厂建设项目的资金为40万元，分配给电商服务站搭建项目的资金为万元. 【分析】（1）根据题意列式化简即可； （2）将函数配凑为，利用基本不等式即可求得最大值，并根据取等条件得到两个项目分配的资金. 【详解】（1）分配给农产品加工厂建设项目的资金为万元，则分配给电商服务站搭建项目的资金为万元， . （2）由（1） ， 当且仅当，即时取等号，的最大值为. 此时分配给农产品加工厂建设项目的资金为40万元，分配给电商服务站搭建项目的资金为万元. 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 函数的应用（培优讲义） 2 知识点01 二次函数模型 2 知识点02 分段函数模型 2 2 题型1 利用二次函数模型解决实际问题 2 4 题型1 分段函数模型的应用 4 题型2 分式函数模型的应用 5 6 7 课标要点 1.读懂简单利润、面积应用题，列出二次函数解析式； 2.能区分分段场景，写出两段式函数； 3.会利用二次函数顶点求无区间限制的最值。 知识点01 二次函数模型 · 适用场景：生活中存在最值、抛物线变化规律的实际问题（面积、利润、运动轨迹、造价等） · 核心考点： 根据实际题意建立二次函数解析式 结合自变量实际取值范围求最大值、最小值 利用二次函数单调性、顶点解决最优方案问题 · 配套基础练习，夯实建模基础。 知识点02 分段函数模型 · 适用场景：自变量在不同区间对应不同对应法则的实际问题（打车计费、阶梯收费、商品分段定价、薪资提成等） · 核心考点： 按区间划分，分段写出函数表达式 给定自变量求函数值，给定函数值反求自变量 结合实际场景判断分段区间边界 题型1 利用二次函数模型解决实际问题 1．某科技企业为增加产能，第1年年初投入560万元购买了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，该台设备可使该企业每年的销售收入为360万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； (2)若第3年年初企业再投入560万元购买了一台该设备，该设备使用第年与第1台设备使用第年的材料费、维修费、人工工资等一样，且该台设备同样可使该企业每年的销售收入为360万元，若，求这两台设备的年平均盈利额最大时的值. 2．某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用.该设备使用后，每年的总收入预计为40万元，设备使用 年后该设备的总维修保养费用为 万元，盈利总额为万元. (1)求 关于 的函数关系式； (2)求该设备使用几年后的年平均盈利额最大？最大值为多少万元？（年平均盈利额 = 盈利总额 ÷ 使用年数） 3．某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 4．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围． 5．某工厂拟在年底用万元购买一台新设备，并在年初立即投入生产使用.调研发现该设备使用年所需要的各种支出费用总和为万元，据以往销售方的大数据估计，，预计该设备每年的生产总收入为万元.设使用年后该设备的盈利额为万元（盈利额等于总收入减去购买成本及各种使用支出费用）. (1)写出与之间的函数关系式； (2)当时，工厂要求该设备在使用年后获得最大的年平均盈利额，并将其出售. （i）求购买该设备的最低价； （ii）若选择以最低价购买该设备，且该设备的年折旧率为（固定资产使用年后，价值的损耗与前一年价值的比率），求使用年后的总获利. 参考数据：. 方法技巧 ① 配方找顶点； ② 判断顶点横坐标是否在定义域内： 顶点在区间内：顶点取最值； 顶点不在区间内：最值在区间端点。 题型1 分段函数模型的应用 1．某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 2．为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.在年产量不足万件时，（万元）；在年产量不小于万件时，（万元）.每件产品售价为元. 假设小王生产的产品当年全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入固定成本流动成本） (2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 3．为帮助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫，当地市政府继续为其提供30万元无息贷款，用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费，已知一年内生产该产品万件的销售收入为万元，且，该企业在经营过程中每月还要支付给职工每月3万元的最低工资保障. (1)写出该企业的年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？并求出企业最早在几年后能偿还所有贷款？ 4．新余市作为“中国新能源之都”，新能源产业在我国市场版图中占据重要一席；我市某光伏企业计划在2025年利用新技术生产一款光伏储能新设备，通过市场分析，生产此款设备全年需投入固定成本200万元，且年产量（单位：千台）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每台设备售价为0.5万元，且全年内生产的设备当年能全部销售完. (1)求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千台）的函数关系式（利润=销售额成本）： (2)当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大?最大利润是多少? 方法技巧 · 分段边界重复点两段解析式计算结果必须相等，保证函数连续； · 生产类分段：低产量多为二次函数，高产量多为分式对勾函数； · 不亏本问题：令，分段解不等式，取解集并集。 题型2 分式函数模型的应用 1．为响应黄河流域生态保护和高质量发展战略部署，河南某新材料科技公司成功研发了一种用于绿色建筑的复合环保板材，并计划在省内推广.已知该产品年固定研发成本为50万元，每生产1万吨需另外投入生产成本80万元（含原材料､人工､能耗等）.设该公司一年生产该板材万吨且全部售完，其总销售收入（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润总销售收入总成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大？并求出最大年利润. 2．某公司进行软件革新，需对现有的软件模型进行性能评估．该模型的综合性能（单位：分）与使用时长（单位：小时）有如下函数关系：，若． (1)求的值； (2)当使用时长取何值时，该模型的综合性能达到最大值． 3．鱼灯是黄山市传统民俗工艺品，深受广大游客喜爱.某厂家欲生产一款鱼灯，经过市场调研发现，生产该款鱼灯需投入固定成本10万元，每生产万盏鱼灯另需投入变动成本万元.若这款鱼灯的售价为80元／盏，且该厂家2026年生产的万盏鱼灯均能售完. (1)求该厂家2026年利润（单位：万元）的函数解析式； (2)求该厂家2026年产量为多少万盏时所获年利润最大？最大年利润是多少？ 方法技巧 · · 模型识别：形如； · 基本不等式求最值：，当且仅当取等； · 关键检验：解出的x必须落在实际定义域内；若不在，则利用单调性求区间端点最值； 1．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 1．某工艺品销售店为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况调研，发现销售收入与时间关系因销售方式不同而不同.该工艺品在过去一个月（以30天计）内网上销售日收入（单位：元）与时间（单位：天）满足关系式；线下门店销售日收入（单位：元）与时间t（单位：天）满足关系式：，两种销售方式互不干扰，同时销售. (1)求过去一个月内有多少天销售日收入不低于6000元； (2)求这一个月内该工艺品在哪一天销售日收入最大，最大值是多少? 2．在环保科技展览会上，某公司推出了一种新型环保材料供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场.已知该种材料年固定研发成本为50万元，每生产一吨需另投入90元.设该公司一年内生产该材料万吨且全部售完，总销售收入为（万元）与年产量（万吨）满足如下关系式：. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万吨）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当年产量为多少万吨时，该公司获得的年利润最大?并求出最大利润. 3．某地为了改善中小型企业经营困难的情况，特推进中小型企业加快产业升级，着力从政府专项基金补贴扶持，产量升级和政府指导价三个方向助力中小型企业．某企业A在产业升级前后的数据如下表： A企业 产量万件 投入成本万元 销售单价元/件 产业升级前 2 45 30 完成产业升级后， 获补贴x万元， 产量 为升级后产量 若该企业在政府指导价下出售产品，能将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本． (1)当该企业没有政府补贴时，收益是多少万元？ (2)企业向政府申请多少专项基金补贴时，所获收益最大，最大收益是多少万元？ 4．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. (1)试用表示的长，并求的取值范围； (2)求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. 5．某小区为了改善居民生活环境，准备把一个矩形花坛扩建成更大的矩形花坛（如图所示），其中点，分别在，的延长线上，对角线过点.已知m，m，设m.    (1)试用表示矩形花坛的面积； (2)若因场地限制，矩形花坛的面积不能超过250m2，则最长为多少米？最短为多少米？ (3)若花坛新扩建部分（不含原矩形花坛）的修建费用为80元/m2，另外为了美观，还需对矩形花坛的边缘进行装饰，装饰费用为100元/m，试问当的长为多少米时，扩建花坛的总费用最少？最少为多少元？（结果可保留根号） 6．某化工厂引进一条龙先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y万元与年产量x吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨. (1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求最低平均成本； (2)若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润. 7．在研究“人在雨中行走，如何让被淋雨的程度尽可能低”时，可以将人体视为一个长方体.如图，长方体在雨中沿面（面积为）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿移动方向的分速度为.移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①或的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与成正比，比例系数为；②其它面的淋雨量之和，其值为，记移动距离为d，y为移动过程中的总淋雨量. (1)求总淋雨量的表达式（用含有v、d、S、c的表达式表示）； (2)已知且，设，试根据的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少. 8．某工厂拟建一个平面图为矩形，面积为200平方米，高度为米的三段污水处理池（如图）．由于受地形限制，其长、宽都不超过18米，已知污水处理池的外壁的建造费为400元/平方米，污水处理池中两道隔墙（与宽边平行）的建造费为248元/平方米，污水处理池底的建造费为80元/平方米．设污水处理池的长为米，总造价为元．    (1)求的解析式； (2)污水处理池的长与宽各是多少米时，总造价最低？并求出这个最低造价． 9．如图，互相垂直的两条小路，旁有一长方形花坛，其中，．现欲经过点C修一条直路l，l交小路，分别为点P，Q．计划准备将长方形花坛扩建成一个更大的三角形花坛，要求的长不小于且不大于．记三角形花坛的面积为． (1)设，试用x表示，并求x的取值范围； (2)当长是多少时，S取最大和最小值？最大和最小值是多少？ 10．某乡镇获得乡村振兴补贴资金60万元，计划分别用于农产品加工厂建设和电商服务站搭建两个项目.农产品加工厂建设项目一年投放资金万元可获得收益（单位：万元），电商服务站搭建项目一年投放资金万元可获得收益（单位：万元）. (1)设分配给农产品加工厂建设项目的资金为万元，投资两个项目一年经济收益总和为万元，试将表示成关于的函数； (2)求出的最大值，并求出此时对两个项目的投资分别为多少万元. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $