第22讲 三角函数图象与性质 - 人教A版必修第一册-2026年普通高中学业水平考试过关复习讲义

第22讲 三角函数的图象与性质 . 学 考 要 求 （1）掌握正弦、余弦函数的图象和性质，会用“五点法”作图； （2）理解正切函数的图象及性质. . 知 识 必 备 1．正弦函数与余弦函数的图象和性质 名称 性质 图象 定义域 ____________ R 值域 _____________ _____________ 最值 当且仅当_____________时，的最大值_____________； 当且仅当_____________时，的最小值_____________ 当且仅当_____________时，的最大值_____________； 当且仅当_____________时，的最小值_____________ 奇偶性 _____________ _____________ 周期性 最小正周期： 最小正周期： 单调性 _____________上递增； _____________上递减 _____________上递增； _____________上递减 零点 _____________ _____________ 对称轴 ， _____________ 对称中心 ， _____________ 关键五点 _______，，______，，_______ ，______，，______， 【答案】 ， ， ， ， ， 1 ， ， ， ， ，1， ， ，奇函数 ，偶函数， ， ， ， ， ， ， ，, , , , , 2．正切函数的图象与性质 函数 图像 定义域 ，且_____________， 值域 周期 最小正周期为____________ 奇偶性 ____________ 单调性 在区间_______________（）内严格增 对称中心 ____________（） 零点 【答案】 奇函数 . 典 例 探 究 题型一：五点法画正弦（型）函数的图象 例题1：（1）用“五点法”作出下列函数的简图. (1)； (2). 【解析】（1）取值列表如下： x 0 π 2π 0 1 0 0 描点、连线，作出函数的图象： （2）取值列表如下： x 0 π 2π 1 0 0 1 描点、连线，作出函数的图象： （2）已知，用“五点法”作出在上简图． 【解析】∵，∴，列表如下： 0 0 2 0 描点，连线，在上的图象如下： 题型二：解三角不等式 例题2：（1）在上，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【解析】在[0，2π]上，函数的定义域满足， 即，结合图象，知道． 故选：B. （2）满足的x的集合是（    ） A． B． C． D．或 【解析】，故，， 解得：，， 所以满足的x的集合是. 故选：A 题型三：求三角函数定义域、值域、最小正周期、单调区间 例题3：求函数的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性． 【解析】由，得， 即函数的定义域为， 由可知，函数的值域为，函数的周期， 函数的定义域关于原点不对称， 函数为非奇非偶函数， 由，， 得，，此时函数为增函数， 函数在区间， 上为减函数． 题型四：比较三角值的大小 例题4：下列关系式中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【解析】，， ∴，即. 故选：C 题型五：由正弦（型）函数的奇偶性求参数 例题5：（1）若函数是奇函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【解析】若函数是奇函数， 则，得 故选：C （2）若函数为奇函数，则______． 【解析】因为函数为奇函数， 所以， 又因为， 所以或. 故答案为： . 过 关 检 测 1、 选择题 1．用“五点法”画函数的图象时，应描出的五个点的横坐标依次是（    ） A． B． C． D． 【解析】所描出的五个点的横坐标与函数的五个点的横坐标相同，即，．故选：C 2．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【解析】由正弦型函数的最小正周期公式为 ， 所以函数 的最小正周期为. 故选：C 3．已知函数，则（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递减 【解析】若，则， 结合正弦函数单调性可知函数在上有增有减，不单调； 若，则， 结合正弦函数单调性可知函数在上单调递增. 故选：B 4．满足的三角形的内角A的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为A为三角形的内角，所以． 又，结合正切曲线得． 故选：D 5．函数的简图是（    ） A． B． C． D． 【解析】由知，其图象和的图象相同， 故选：B 6．函数图象的一条对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】令， 得：， 所以函数图象的对称轴方程为：. 令得：， 令得：， 令得：， 故只有选项C正确. 故选：C 2、 填空题 7．函数的定义域为______. 【解析】由题意得：，即， 所以. 故答案为：， 8．若，且，则的取值范围是_____． 【解析】由余弦函数的性质知：，可得. 故答案为： 3、 解答题 9．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）由，则最小正周期. （2）由，即， 设，，， 当时，即，整理得到， 由，当且仅当，即时等号成立， 故； 当时，不等式恒成立； 当时，即，整理得到， ，当且仅当，即时等号成立， 故. 综上所述：，即. . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．函数的简图为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为当时，， 所以排除B，C，D， 故选：A． 2．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【解析】函数的最小正周期为：. 故选：A． 3．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【解析】令，则， 显然开口向上且对称轴为，则在上单调递减， 由，，故，即. 故选：C 4．已知函数的定义域为（），值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】当时，. 由题意可得，解得. 故选：D. 2、 填空题 5．请写出一个同时满足以下三个条件的函数______． ①，②，③不是常数函数． 【解析】分析函数的性质， 条件①，函数为奇函数， 条件②，函数周期为， 可考虑三角函数，函数解析式可以为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 6．设函数.若为偶函数，则___________． 【解析】由题知，且为偶函数， 所以， 解得， 又，所以． 故答案为：3． 3、 解答题 7．已知函数． (1)写出函数的最小正周期以及单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值，并写出取得最小值时的值； (3)时，函数有零点，求的取值范围． 【解析】（1）函数的最小正周期为：； 由，， 得函数的单调递减区间为：，. （2）因为，所以 ， 所以当时，取得最小值为. （3）当时，，. 方程有解，所以. 即函数有零点，得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22讲 三角函数的图象与性质 . 学 考 要 求 （1）掌握正弦、余弦函数的图象和性质，会用“五点法”作图； （2）理解正切函数的图象及性质. . 知 识 必 备 1．正弦函数与余弦函数的图象和性质 名称 性质 图象 定义域 ____________ R 值域 _____________ _____________ 最值 当且仅当_____________时，的最大值_____________； 当且仅当_____________时，的最小值_____________ 当且仅当_____________时，的最大值_____________； 当且仅当_____________时，的最小值_____________ 奇偶性 _____________ _____________ 周期性 最小正周期： 最小正周期： 单调性 _____________上递增； _____________上递减 _____________上递增； _____________上递减 零点 _____________ _____________ 对称轴 ， _____________ 对称中心 ， _____________ 关键五点 _______，，______，，_______ ，______，，______， 2．正切函数的图象与性质 函数 图像 定义域 ，且_____________， 值域 周期 最小正周期为____________ 奇偶性 ____________ 单调性 在区间_______________（）内严格增 对称中心 ____________（） 零点 . 典 例 探 究 题型一：五点法画正弦（型）函数的图象 例题1：（1）用“五点法”作出下列函数的简图. (1)； (2). （2）已知，用“五点法”作出在上简图． 题型二：解三角不等式 例题2：（1）在上，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． （2）满足的x的集合是（    ） A． B． C． D．或 题型三：求三角函数定义域、值域、最小正周期、单调区间 例题3：求函数的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性． 题型四：比较三角值的大小 例题4：下列关系式中正确的是（    ）． A． B． C． D． 题型五：由正弦（型）函数的奇偶性求参数 例题5：（1）若函数是奇函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． （2）若函数为奇函数，则______． . 过 关 检 测 1、 选择题 1．用“五点法”画函数的图象时，应描出的五个点的横坐标依次是（    ） A． B． C． D． 2．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递减 4．满足的三角形的内角A的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．函数的简图是（    ） A． B． C． D． 6．函数图象的一条对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 7．函数的定义域为______. 8．若，且，则的取值范围是_____． 3、 解答题 9．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若，求实数的取值范围. . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．函数的简图为（    ） A． B． C． D． 2．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 3．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为（），值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 5．请写出一个同时满足以下三个条件的函数______． ①，②，③不是常数函数． 6．设函数.若为偶函数，则___________． 3、 解答题 7．已知函数． (1)写出函数的最小正周期以及单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值，并写出取得最小值时的值； (3)时，函数有零点，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $