专题09 三角函数的图象与性质寒假讲义-2026年高一数学人教A版必修第一册

专题09三角函数的图象与性质 高一寒假数学复习资料 专题09三角函数的图象与性质 思维导图 考点10解答题 考点01求三角函数的定义域与解三角不等式 考点09三角函数的实际应用 考点02求三角函数的值域 考点08三角函数图象与性质的综合应用 三角函数的图象与性质 考点03三角函数单调性的应用 考点07三角函数零点问题 考点04三角函数周期性的应用 考点06利用三角函数图象分析求参数范围 考点05三角函数的奇偶性及对称性的应用 一、 知识回顾： 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 ()在正弦函数=sim,x∈0,2如的图象中，五个关键点是：(0.0，及)，0.（受-1），2,0. (2)在余弦函数y=cosx,x∈[0，.2可的图象中，五个关键点是：0,1)，（ 0,,-10,2m,1. 2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中k∈Z 函数 v=sinx V=COSx y=tanx 1 3T 图象 定义域 R R 4+贤 值域 [-1,1] [-1,1] R 周期性 2元 2π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 2分2m+到 [2m-元，2 (m-受km+9 递减区间 2+号2+劉 [2机，2kr十U 无 对称中心 (kπ，0) m+受0 停0 对称轴方程 一板号 x=kit 无 1/30 专题09三角函数的图象与性质 高一寒假数学复习资料 (二)函数y=Asin(ox十p) 1.y=Asin(ox十p)的有关概念 y=Asin(ox+o) 振幅 周期 频率 相位 初相 (A>0,o>0) A r日 品 ωx+0 2. 用五点法画y=Asin(ox十p)A>0,0>0) 0x十0 0 3亚 2π 兀迎 兀一0 3π2 2兀-9 0 2000 200 y=Asin(ωx+0) 0 A 0 -A 0 3.三角函数的图象变换 由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(ox十p)(A>0,w>0)的图象的两种方法 法一 法二 画出y=sin x的图象 画出y=sinx的图象 向左(p>0)或 平移|p|个单位 横坐标变为 向右(p<0) 原来的0倍 得到ysin(x+p)的图象 得到y=sin wx的图象 2 横坐标变为 原来的品倍 向左(p>0)或 平移个单位 向右(p<0) 0 步 得到y-sin(wx+p)的图象 得到y=sin(wx+p)的图象 3 纵坐标变为原来的A倍 纵坐标变为原来的A倍 得到y=Asin(wx+p)的图象 得到y=Asin(wx+p)的图象 4 二、考点聚焦： 目目 考点01 求三角函数的定义域与解三角不等式 【经典例题】 1.(2425高一上·湖南湘潭·期末)已知x是三角形的一个内角，则不等式cosx>- 2的解集为() π π 2元 A B. 06 c.0,3 D. 3,π 2/30 专题09三角函数的图象与性质 高一寒假数学复习资料 2.(24-25高一上·云南昆明云南师范大学附属中学.期末)函数f(x)=Vsinx-cosx的定义域是() 【变式训练】 1.(23-24商一上：山西太原期末)a>平是ima>5的（) 2 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 π 2.已知x∈0， 2 则函数y=g(2sinx+1)的定义域为一 3.Q425有-下辽宁沈阳东北有才学校商中部月考属数心)=n2如经小-]的定义线为一 【巩固练习】 1.(25-26高一上河北石家庄七县联合体期末)设8∈R,则0<0<匹"是“sim6<的（) 6 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2.25-26商一上江苏盐城中学)尼知A是△ABC的内角，则“4<是“sm4<5的() 4 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.在[0,2]内，函数fx)=V1-2cos+nsir-5 的定义域是() 2 3π5π 「元3π A B 、43 4’3 D.43 目目 考点02 求三角函数的值域 3/30 专题09三角函数的图象与性质 高一寒假数学复习资料 【经典例题】 1.425窝一上云南红河、文山州制末通数f)=一6m2+爱引-年的位城为（) a[a-i-cnb-周 ?25店-上云民联阴表运数)m1[》 则f(x)的最小值为 3.23-24高-上湖北武汉期末已知8∈0,2 则函数y=sin0-cos0+2 sin Ocos0的值域为() A.[-1] s.1-反 c 【变式训练】 1.已知函数f句-9mo,则/付的位域为() 1。 B.[1] e判 D.[-1,2] 2.Q526商三上河南顶尖计划二月考尼知两数了-2n+o（2+写引，若f〔写引-2，则fy 在区间0，上的值域为() 2 n. e . 3.(25-26高一上广东期末)已知函数f(x)=2cos2x-sinr,x∈[0，，则函数f(x)的最大值为() B.5 C.2 8 D.17 8 4.已知sinx cosy= ,则血y的取值范围是() 1 4/30 专题09三角函数的图象与性质 高一寒假数学复习资料 (胡引周 a[ 到 5.(Q425高一上山西期末若函数f()=3sinr-4cosx的定义域为0引， 则f(x)的值域为 6.若命题x∈R,sinx-√3cosx≥m”为真命题，则实数m的取值范围为() A.(-m,-2)B.（←0，-2] C.(←,2) D.(-0,2] 7.(23-24高一上·湖南衡阳衡阳县·期末)函数f(x)=six+cosx+sin x cosx(x∈R)的最大值为() 1 .2万 C.1+2 D.1+V2 2 8,已知酒数)=or行cm任小2aix的技大位为4则正安数a的位为《） A.5 B.2 C.-2或2 D.2或V5 【巩固练习】 1.(25-26高一上·天津武清区崔黄口中学)已知函数f(x)=3sma0x+ +(®>0)的最小正周期为元，则 3 (x)在区间 兀兀 上的最小值是() 12'6 A.3V3 2 B.-2 3 C.0 D. 2 2.(25-26高一上·黑龙江大庆大庆中学·期末)对于x∈R,f(x)=cos2x+sinx-1的最大值为() A.-1 B C.0 D. 3.(24-25高一上安徽准南期末)函数f)=2c0s(3机+)-c0s2x的最大值为() 2 A B.1 C.3 D.4 5/30 专题09三角函数的图象与性质 高一寒假数学复习资料 4.(24-25高一上·吉林长春吉大附中实验学校·期末)已知函数f(x)=cos2x-5sin2x+2,则f(x)在 【设的植城为《) Ar9 B.2川 c D9 5.(23-24高一上·江苏苏南八校)已知k<-4,则函数f(x)=-1+2cos2x+k(-sinx)的最大值为() A.-1 B.1 C.2k-1 D.2k+1 6.(25-26高一上·复旦附中·期末)已知a,B∈R满足sina=sin(a+B),则3 sin2a-4cos2B的最大值 为 目目 考点03 三角函数单调性的应用 【经典例题】 1.(24-25高一上·青海名校联盟·期末)函数f(x)=sin2x-V3cos2x的单调递减区间是() A. kt5,k(kZ) B. 12 12 12 C. ,11π 5π 12 (k∈Z) D (k∈Z) 12 、π 2.25-26高一上浙江杭州高级中学期末)已知实数v0,2)则x>y是“s血x>血y的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.(2425高一上·云南昭通盐津县云天化中学教研联盟·期末)己知a=log,tanl,b=log4cosl, c=logssinl,则() A.bzazc B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c 4.已知函数f)=cos2om+sin- 0的一个专点是受且在（名总上单调，则a=《) 7 B:4 C.o 11 4 D.4 【变式训练】 6/30 专题O9三角函数的图象与性质 高一寒假数学复习资料 1.函数v=+到(-元的单调递增区间为 的单调递增区间为 3.(24-25高一上·山西部分地期末)（多选）已知α是第四象限角，则() A.sina<0 B.cosa<0 C.sin(cosa)>0 D.cos(sina)>0 4。已定义在R上的偶画致代满足在区Q内单词造省.若ma管n=cos冬1=个引则 8 f(m),f(n),f(t)的大小关系为() A.f(m)<f(n)<f(t)B.f(m)<f(t)<f(n)C.f(n)<f(t)<f(m)D.f(t)<f(m)<f(n) 5.(25-26高一上·山西长治第二中学期末)已知函数f(x)=2sin(@x+p)(o>0,0<p<π)为偶函数，在区 间0， 33 上单调递减，且在该区间内没有零点，则⊙的取值范围为() 「357 B.0.2 c.22 6.已知函数f田=si血(@x+@>0,0<<孕的图象经过点(0，，若)在区间(0，至上具有单调性， 则⊙的取值范围是() eB周 7/30 专题09三角函数的图象与性质 高一寒假数学复习资料 Asinx,0x 7.(23-24高一上·内蒙古赤峰期末)己知函数f(x)= 2在[0，+∞)上单调递增，则A的取值 范围是() 1 A.(0,+0) B. c别 D.3+ 8.已知函数f(x)=sin2x+cos2x在 3元 -m,m上单调递增，则m的最大值为() A B.元 C. 7π 8 D. 【巩固练习】 1.(Q5-26高一上：广东茂名广东实验中学附属茂名学校)函数v=sm+2)x∈R在（） 上单调递增B.[0,上单调递减C.【-π，0]上单调递减D.[-兀，上单调递增 2.(25-26高一上·浙江·期末)下列选项中满足最小正周期为兀， 且在0， 上单调递减的函数为() A.y=cosx B.y=sin 2x C.y=tan x D.y=sin(2x+π) 32s26商-上江苏南京师范大学稀园中学)房通数42nG)的单调道藏K同是 4.已知函激=sn(m+o0.心)在引上单调。)f智)-() 则() A-0B- c.o>周.=0 5.(25-26高一上·安徽·期末)若a=sin 3π，b=31,c=cos2,则a,b,c的大小关系为() A.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.c>a>b 6.25:26商一上吉林东北师范大学附属中学期未尼知西数f()=max智(@>0)在0》上单词 递减，则0的取值范围为() c.到 D[割 8/30 专题09三角函数的图象与性质 高一寒假数学复习资料 7.2526商一上重庆南开中学校)已知函数f国)-mm+写)， 其中w>0. 若网在区间G到上 单调递增，则⊙的取值范围是() A.(0,3] .( D.(0,] 8&.若酒数f-2ns+写到在区间a上是减晒数.且fo)-1,fo)=-1,8-a=于则0-() 2 A.3 B.1 c. D.2 目目 考点04 三角函数周期性的应用 【经典例题】 1.(24-25高一下北京师范大学附属实验中学·期中)下列函数中，最小正周期为的是() A.y=cosx B.y=cosx C.y=cos2x D.y=cos4x 2.(25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末)已知函数f(x)=sin+cosr(a>0)的最大值为5，则f(x)的 最小正周期为() A.月 B. C.√5π D.5 5 3.(25-26高一上四川德阳期末)已知函数y=3 sinox+ 的最小正周期为兀，则正数⊙的值等于() 3 A.1 B.2 C. D.4 4.(24-25高一上云南昆明盘龙区期末已知函数/)-=2 tam ax- 的最小正周期为兀，则⊙=() 6 A.-1或1 B.-2或2 C.1 D.2 9/30 专题09三角函数的图象与性质 高一寒假数学复习资料 【变式训练】 1.(25-26高一上·山东济南外国语学校·月考)下列函数中，f(x)的最小正周期是2π的是() A.f(x)=sinx+cosx B.f(x)=sinxcosx C.f(x)=sin'x+cos'x D.f(x)=sin'x-cos'x 2.(2425高一上云南昆明东川区期末)函数y=m4x+ —x+3的最小正周期为()· A.4 B.π C.8 D. 2 4 3.(25-26高一上河北易县中学期末)在函数①y=sin2x,②y=cos2x,③y=cos2x,④ ”=m2x+到中，最小正周期为的所有函效的序号为() A.①②④ B.①②③ C.②④ D.③④ 4.(25-26高一上广东河源龙川一中期末涵数f)=sm子2x十s(2)的最小正周期是() A.π B.2π c. D. 5.(25-26高三上·江苏扬州七校第二次联考·月考)函数∫(x)=tnr(ω>0)的图象的相邻两支截直线 y=2所得线段长为5，则 、3 的值是() A.-5 B.V3 3 C.1 D.5 6.(25-26高三上山东名校考试联盟)若函数f(x)=tanx(ω>0)图象与直线y=1相邻两交点间的距离为 3,则函数f(cosx)的值域为() A【tal.tcaB.【mm】c59 D.[5] 10/30null专题09 三角函数的图象与性质 高一寒假数学复习资料 专题09 三角函数的图象与性质 思维导图 一、知识回顾： 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 （二） 函数y=Asin(ωx＋φ) 1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相 (A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ ωx＋φ 2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) ωx＋φ 0 π 2π x － － － y＝Asin(ωx＋φ) 0 0 －A 0 3．三角函数的图象变换 由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 二、考点聚焦： 地 城 考点01 求三角函数的定义域与解三角不等式 【经典例题】 1．(24-25高一上·湖南湘潭·期末)已知是三角形的一个内角，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·云南昆明云南师范大学附属中学·期末)函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．(23-24高一上·山西太原·期末)是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，则函数的定义域为 ． 3．(24-25高一下·辽宁沈阳东北育才学校高中部·月考)函数的定义域为 ． 【巩固练习】 1．(25-26高一上·河北石家庄七县联合体·期末)设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．(25-26高一上·江苏盐城中学·)已知是的内角，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 求三角函数的值域 【经典例题】 1．(24-25高一上·云南红河州、文山州·期末)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·云南昆明·期末)函数，则的最小值为 ． 3．(23-24高一上·湖北武汉·期末)已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 2．(25-26高三上·河南顶尖计划二·月考)已知函数，若，则在区间上的值域为（　　） A． B． C． D． 3．(25-26高一上·广东·期末)已知函数，，则函数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 4．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·山西·期末)若函数的定义域为，则的值域为 ． 6．若命题“”为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．(23-24高一上·湖南衡阳衡阳县·期末)函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的最大值为4，则正实数的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．2或 【巩固练习】 1．(25-26高一上·天津武清区崔黄口中学·)已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 2．(25-26高一上·黑龙江大庆大庆中学·期末)对于的最大值为（   ） A．－1 B． C．0 D． 3．(24-25高一上·安徽淮南·期末)函数的最大值为（   ） A． B．1 C．3 D．4 4．(24-25高一上·吉林长春吉大附中实验学校·期末)已知函数，则在的值域为（   ） A． B． C． D． 5．(23-24高一上·江苏苏南八校·)已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．(25-26高一上·复旦附中·期末)已知，满足，则的最大值为 ． 地 城 考点03 三角函数单调性的应用 【经典例题】 1．(24-25高一上·青海名校联盟·期末)函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．(25-26高一上·浙江杭州高级中学·期末)已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(24-25高一上·云南昭通盐津县云天化中学教研联盟·期末)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的一个零点是，且在上单调，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．函数的单调递增区间为 ． 2．函数的单调递增区间为 . 3．(24-25高一上·山西部分地·期末) （多选）已知是第四象限角，则（   ） A． B． C． D． 4．已知定义在上的偶函数满足在区间内单调递增．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．(25-26高一上·山西长治第二中学·期末)已知函数为偶函数，在区间上单调递减，且在该区间内没有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的图象经过点，若在区间上具有单调性，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．(23-24高一上·内蒙古赤峰·期末)已知函数在上单调递增，则A的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在上单调递增，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．(25-26高一上·广东茂名广东实验中学附属茂名学校·)函数在（    ） A．上单调递增 B．上单调递减 C．上单调递减 D．上单调递增 2．(25-26高一上·浙江·期末)下列选项中满足最小正周期为，且在上单调递减的函数为（    ） A． B． C． D． 3．(25-26高一上·江苏南京师范大学附属中学·)若函数的单调递减区间是 . 4．已知函数，在上单调，，则（   ） A． B． C． D． 5．(25-26高一上·安徽·期末)若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．(25-26高一上·吉林东北师范大学附属中学·期末)已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．(25-26高一上·重庆南开中学校·)已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若函数在区间上是减函数，且，，，则（ ） A． B．1 C． D．2 地 城 考点04 三角函数周期性的应用 【经典例题】 1．(24-25高一下·北京师范大学附属实验中学·期中)下列函数中，最小正周期为的是（   ） A． B． C． D． 2．(25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末)已知函数的最大值为，则的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 3．(25-26高一上·四川德阳·期末)已知函数的最小正周期为，则正数的值等于（    ） A．1 B．2 C． D．4 4．(24-25高一上·云南昆明盘龙区·期末)已知函数的最小正周期为，则（   ） A．或1 B．-2或2 C．1 D．2 【变式训练】 1．(25-26高一上·山东济南外国语学校·月考)下列函数中，的最小正周期是的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·云南昆明东川区·期末)函数的最小正周期为（   ）． A．4 B． C．8 D． 3．(25-26高一上·河北易县中学·期末)在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数的序号为（   ） A．①②④ B．①②③ C．②④ D．③④ 4．(25-26高一上·广东河源龙川一中·期末)函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 5．(25-26高三上·江苏扬州七校第二次联考·月考)函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．(25-26高三上·山东名校考试联盟·)若函数图象与直线相邻两交点间的距离为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一上·云南昆明云南师范大学附属中学·期末)下列函数中不是周期函数的是（   ）（注：D选项中表示不超过的最大整数） A． B． C． D． 8．(24-25高一上·云南玉溪·期末)当时，曲线与的交点个数为 ． 【巩固练习】 1．(25-26高一上·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)求函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 2．(25-26高一·高一·期末)函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 3．(25-26高一上·江苏常州第一中学·调研)函数的最小正周期是（   ） A． B． C．2 D．4 4．(24-25高一上·云南大理白族大理·期末)已知函数，若的周期为，则 . 5．(25-26高一上·甘肃多校联考·)在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数的序号为（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④ 6．(25-26高一上·山东泰安第一中学青年路校区·)函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 7．(25-26高一上·江苏扬州中学·)若实数，则“”是“函数的最小正周期为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．(25-26高三上·云南昆明云南民族大学附属高级中学·)若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 9．(25-26高三·福建福州·)若函数的图象与直线的相邻两个交点的距离为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 地 城 考点05 三角函数的奇偶性及对称性的应用 【经典例题】 1．(23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末) （多选）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．(25-26高二上·贵州遵义区县一中·期中)设函数.若为偶函数，则 ． 3．(25-26高三上·上海位育中学·期中)设，且为奇函数，则 . 4．(25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔（点石联考）·)已知函数，若，则 ． 【变式训练】 1．(25-26高三上·黑龙江哈尔滨第六中学校·期末)已知函数的最小正周期为，若函数图象关于直线对称，则 ． 2．(23-24高一上·山西长治·期末)函数的图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 3．(25-26高一上·甘肃靖远县第一中学·期末)已知是偶函数，则的一个值是 . 4．(25-26高三上·河北唐山十校·期中)已知函数，若，则 ． 5．(25-26高二上·贵州毕节威宁县六校·)已知函数，若，则 ． 6．(24-25高一上·浙江杭州西湖区仁和实验学校·期末)已知函数为奇函数，则 ． 【巩固练习】 1．已知函数的图象关于点对称，则的值为 . 2．(24-25高三下·江苏南京十三中·月考)若是偶函数，则 3．(24-25高二下·贵州铜仁·)已知函数是奇函数，则 ． 4．(24-25高一下·北京师范大学附属实验中学·期中)若为奇函数，则的一个取值为 ． 5．(24-25高一上·安徽合肥第八中学·期末)已知是奇函数，则 . 6．(23-24高一上·广西柳州·期末)已知函数是奇函数，则时， ． 7．(25-26高一上·河北承德·)已知函数的图象关于点对称，则的值为 ． 8．(25-26高一上·安徽临泉田家炳实验中学·月考)已知函数的图象与曲线都关于直线对称，写出一个符合条件的m的值 . 地 城 考点06 利用三角函数图象分析求参数范围 【经典例题】 1．(24-25高一上·云南保山·期末)已知函数在区间上至少有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高一上·山西长治·期末)已知函数在区间上恰有一个最大值点与一个最小值点，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若函数在上单调，且在上存在最值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·山西部分地·期末)已知函数，若对任意，在区间上的值域均为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．(24-25高一上·山西运城·期末)若函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·山西晋城第一中学校等校·期末)已知函数 的图象在 内恰有两条对称轴，则ω的取值范围是 . 3．(23-24高一上·山西太原·期末)已知函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为 . 4．(25-26高一上·广东湛江第一中学·期末)已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为 ． 5．(24-25高一下·山东聊城·期中)已知函数，若在区间上恰有三个零点，则的取值范围为 ． 地 城 考点07 三角函数零点问题 【经典例题】 1．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特第一中学·月考)函数的图象与函数的图象交点个数为 . 2．(24-25高一上·云南昭通第一中学·期末) （多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于直线对称 【变式训练】 1．(23-24高一上·山西运城·期末) （多选）已知函数，且函数在上有且仅有5个零点，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围是 B．函数的图象在上最多4有条对称轴 C．函数的图象在上有2个最大值点 D．函数在上单调递减 2．(24-25高一上·山西部分地·期末)已知函数的最小正周期为，且的图象经过点，则关于的方程在上的不同解的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．(24-25高一上·云南德宏州·期末) （多选）定义：，用表示的最大者，记为.若，则下列选项正确的是（    ） A．函数的周期为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于直线对称 D．若函数在区间内有且仅有个零点，则 【巩固练习】 1．(24-25高一上·云南昭通盐津县云天化中学教研联盟·期末)已知函数，，用表示，中的较大者，即，，若函数的图象与有3个不同的交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知函数满足，且在上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．的最小正周期为4 D．在上的零点个数最少为1012个 地 城 考点08 三角函数图象与性质的综合应用 【经典例题】 1．(24-25高一上·云南曲靖陆良县·期末)已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的单调递增区间为 C．的单调递减区间为 D．在上的值域为 2．(24-25高一上·云南昆明官渡区·期末)已知函数，则下列结论中正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．点是图象的一个对称中心 D．不等式的解集为 【变式训练】 1．下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是 A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│ C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│ 2．(24-25高一上·云南红河州、文山州·期末) （多选）已知函数的图象经过，且相邻的两条对称轴之间的距离是，则下列选项正确的是（    ） A． B．的单调递减区间为 C．的对称轴为 D．不等式的解集为 3．(24-25高一上·云南文山·期末) （多选）已知函数，则下列结论成立的是（    ） A．的最小正周期为 B．曲线关于直线对称 C．点是曲线的一个对称中心 D．在上单调递增 【巩固练习】 1．(24-25高一上·山西太原·期末) （多选）已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．，的最小正周期都是 B．，都是奇函数 C．，在上都是单调递增 D．，的对称中心相同 2．(23-24高一上·山西太原·期末) （多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期 B．的定义域为 C．的值域为 D．是奇函数 3．(22-23高一上·山西运城盐湖区康杰中学·期末)关于函数有下述结论： ①是偶函数；②函数是周期函数，且最小正周期为；③函数在区间上单调递减；④函数在有3个零点；⑤函数的最大值为2．其中所有正确结论的编号是 ． 地 城 考点09 三角函数的实际应用 【经典例题】 1．(24-25高一上·山西·期末)如图，在矩形中，为边的中点，为边上一点，交边于点，若，则周长的最小值为 ． 2．(24-25高三上·湖北新高考联考协作体·开学考) （多选）受潮汐影响，某港口5月份每一天水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的关系都符合函数（，，，）.根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于2.5米，否则该船必须立即离港，一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划于5月10日进港卸货（该船进港立即可以开始卸货），已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米（不计船停靠码头和驶离码头所需时间）.下表为该港口5月某天的时刻与水深关系： 时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00 水深/米 10 7 4 7 10 7 4 7 以下选项正确的有（    ） A．水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的函数关系为， B．该船满载货物时可以在0：00到4：00之间以及12：00到16：00之间进入港口 C．该船卸完货物后可以在19：00离开港口 D．该船5月10日完成卸货任务的最早时间为16：00 【变式训练】 1．为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示.则观赛场地的面积最大值为（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高一上·山西大同·期末)如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每4分钟转1圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米．设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，且d与时间t（单位：分钟）之间的关系式为： ；则d与时间t之间的关系是 ． 3．(25-26高三上·八联考（T8）·)图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心O距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则（   ） A． B． C． D． 4．(23-24高一上·山东招远第二中学·期末)如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发绕着点逆时针旋转，在此过程中，记，射线经过的单位圆内阴影部分的面积为，则对函数说法正确的是（   ） A．当时， B．，使得 C．对，都有 D．对，都有 【巩固练习】 1．(25-26高一上·黑龙江哈尔滨第九中学校·期末)如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（    ）   A．点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 B．点第一次到达最高点需要20秒 C．当水轮转动155秒时，点距离水面1米 D．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 2．如图，摩天轮的半径为m，其中心点距离地面的高度为m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中下列说法正确的是（   ）    A．转动后点距离地面 B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的 C．第和第点距离地面的高度相同 D．摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间长为 3．心脏每跳动一次，就完成一次收缩和舒张.心脏跳动时，血压在增大或缩小，并呈周期性变化，血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压.某人的血压满足函数，为血压（单位：mmHg），t为时间（单位：min），则相邻的收缩压和舒张压间隔时间是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点10 解答题 【经典例题】 1．(24-25高一上·云南保山·期末)已知函数． (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)当时，求的最小值以及取得最小值时的集合． 2．(24-25高一上·云南昆明东川区·期末)如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为． (1)求； (2)求的最大值及此时的值； (3)若，求的取值范围． 3．(24-25高一上·云南昭通第一中学教研联盟·期末)某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为28米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟． (1)求1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式； (2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为16米时的值； (3)记1号座舱与4号座舱高度之差的绝对值为米，求当取得最大值时的值． 【变式训练】 1．(24-25高一上·云南曲靖师宗县凤山中学·期末)已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若函数，求在区间上的最大值和最小值． 2．(24-25高一上·云南曲靖会泽县·期末)已知函数 (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最值，并求出取得最值时x的值； (3)若不等式在区间上恒成立，求m的取值范围． 3．(24-25高一下·安徽鼎尖教育·)已知函数. (1)求的值域； (2)若，求的取值范围； (3)解关于的方程：. 4．(24-25高一上·云南昭通盐津县云天化中学教研联盟·期末)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，设置有24个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中： (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求关于的函数解析式； (2)求游客甲从坐上摩天轮之后，距离地面高度超过的时长； (3)若甲、乙两人座舱编号之差的绝对值等于2（座舱编号沿顺时针依次编号），求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位）参考数据：，． 【巩固练习】 1．(24-25高一上·山东菏泽郓城第一中学·月考)已知函数. (1)求的最小正周期和对称轴方程； (2)若，求的值域. 2．(24-25高一上·云南曲靖宣威十中教育发展集团·期末)已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)求在上的最值． 3．(24-25高一上·云南大理白族大理·期末)已知函数. (1)将化成的形式； (2)求的对称中心及单调递减区间； (3)若在上的值域为，求的取值范围. 4．(24-25高一上·云南昆明·期末)如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转90°到，过分别作于，于. (1)建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示，两点的坐标： (2)求四边形面积的最大值. 三、达标检测 1．(25-26高一上·吉林长春东北师范大学附属中学·)已知，不等式成立的角x的集合是 ． 2．(23-24高一下·江西抚州金溪县·期中)函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 3．(23-24高一上·江苏南通如皋·月考)已知函数，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．0 D． 4．(22-23高一下·江苏镇江四校联考·月考)函数的值域是（    ） A． B． C． D． 5．(22-23高一下·辽宁大连第八中学·月考)已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．(25-26高一·山东烟台·期末)下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一上·福建莆田第六中学·期末)函数的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 8．(25-26高一上·天津第四十七中学·)关于函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数，且周期为 B．是奇函数，且周期为 C．是偶函数，且周期为 D．是奇函数，且周期为 9．已知，则是（ ） A．奇函数且最小正周期为 B．偶函数且最小正周期为     C．奇函数且最小正周期为 D．偶函数且最小正周期为 10．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)函数，，则 ． 11．(25-26高一上·吉林长春·期末)函数的图象关于轴对称，则的值是 ． 12．(24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔第六中学校·月考)的单调增区间 . 13．(25-26高一上·山东淄博第七中学·月考)函数的单调递增区间为 . 14．(23-24高一上·山西忻州·期末)已知函数（）在上单调递增，则的取值范围为 ． 15．(23-24高一上·山西·期末)（多选）已知函数，下列命题正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递减 D．若在区间上恰有两个零点，则的取值范围为 16．(24-25高一上·云南昆明五华区·期末)已知函数. (1)求的最小正周期； (2)当时，求的值域. 17．(24-25高一上·云南昆明·期末)已知是函数的一个零点， (1)求实数的值： (2)求的单调递增区间； (3)若，求的值域. 18．(24-25高一上·广东阳江部分学校·期末)已知函数，其图象与直线相邻两个交点之间的距离为. (1)若，求在上的最大值； (2)对任意的恒成立，求的取值范围. 19．(24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末)已知函数，（）的周期是. (1)求函数的解析式并求函数在上的单调增区间； (2)解不等式； (3)若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 20．(22-23高一下·山东聊城聊城第一中学·期中)在校园美化､改造活动中，要在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示.取的中点，记. (1)写出矩形的面积与角的函数关系式； (2)求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积. 试卷第1页，共3页 24 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $专题09 三角函数的图象与性质 高一寒假数学复习资料 专题09 三角函数的图象与性质 思维导图 一、知识回顾： 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 （二） 函数y=Asin(ωx＋φ) 1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相 (A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ ωx＋φ 2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) ωx＋φ 0 π 2π x － － － y＝Asin(ωx＋φ) 0 0 －A 0 3．三角函数的图象变换 由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 二、考点聚焦： 地 城 考点01 求三角函数的定义域与解三角不等式 【经典例题】 1．(24-25高一上·湖南湘潭·期末)已知是三角形的一个内角，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，因为，所以，即不等式的解集为． 故选：C. 2．(24-25高一上·云南昆明云南师范大学附属中学·期末)函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，对于函数有，可得，解得， 故函数的定义域为.故选：D. 【变式训练】 1．(23-24高一上·山西太原·期末)是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当时，如，有，当时，如， 故是的既不充分也不必要条件.故选：D. 2．已知，则函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】要使函数有意义，则必有，即，结合正弦函数的图象及可知，，所以函数的定义域为，故答案为：. 3．(24-25高一下·辽宁沈阳东北育才学校高中部·月考)函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】由，则，化简可得，解得.故答案为：. 【巩固练习】 1．(25-26高一上·河北石家庄七县联合体·期末)设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，得，即成立；反之，由，得，则不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A 2．(25-26高一上·江苏盐城中学·)已知是的内角，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为是的内角，所以.所以时，根据正弦函数的性质可知，充分性成立；当时，或，所以必要性不成立.故“”是“”的充分不必要条件.故选：A. 3．在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，解得，所以，即在内，函数的定义域为．故选：C. 地 城 考点02 求三角函数的值域 【经典例题】 1．(24-25高一上·云南红河州、文山州·期末)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，则， 故，故的值域为.故选:C. 2．(24-25高一上·云南昆明·期末)函数，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】，因为，所以，，，故最小值为.故答案为： 3．(23-24高一上·湖北武汉·期末)已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则，则，令，所以，则，则，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，；当时，，则.因此，当时，则函数的值域为.故选：D. 【变式训练】 1．已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ，因为，所以 的值域为 ，故选：B. 2．(25-26高三上·河南顶尖计划二·月考)已知函数，若，则在区间上的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，，得，则， 由，得，得，得，得函数的值域为．故选：D 3．(25-26高一上·广东梅州·期末)已知函数，，则函数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】由，令，，则，则，当，即或时，取得最大值.故选：C. 4．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，又，则有，由三角函数的有界性，知， 所以．故选：B． 5．(24-25高一上·山西·期末)若函数的定义域为，则的值域为 ． 【答案】 【详解】因为函数在上单调递减，所以在上单调递增， 又函数在上单调递增，所以在上单调递增， 所以，所以的值域为，故答案为： 6．若命题“”为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】命题“”为真命题，即在上恒成立，设，则，因为，则，所以当即时，取得最小值为，所以，所以实数的取值范围为.故选：B. 7．(23-24高一上·湖南衡阳衡阳县·期末)函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，由，故， 即， 由，故的最大值为.故选：B. 8．已知函数的最大值为4，则正实数的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．2或 【答案】B 【详解】. 令，则，，开口向下，对称轴为， 当时，则，无解. 当时，则. 综上所述，的值为.故选：B 【巩固练习】 1．(25-26高一上·天津武清区崔黄口中学·)已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】因为函数的最小正周期为，所以周期，解得， 所以，因为，所以，所以当，即时，函数在区间上取得最小值.故选：D. 2．(25-26高一上·黑龙江大庆大庆中学·期末)对于的最大值为（   ） A．－1 B． C．0 D． 【答案】D 【详解】令，因为，所以，则， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为.故选：D 3．(24-25高一上·安徽淮南·期末)函数的最大值为（   ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】C 【详解】函数，而，令，则图象的对称轴为，所以当时，取得最大值3.故选：C 4．(24-25高一上·吉林长春吉大附中实验学校·期末)已知函数，则在的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数在上单调递增，而，，即 函数，当时，，当时，，所以在的值域为.故选：A 5．(23-24高一上·江苏苏南八校·)已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 设，则的开口向下，对称轴，所以函数在上单调递增，所以，也即的最大值为.故选：A 6．(25-26高一上·复旦附中·期末)已知，满足，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】，或，解得或，或，若，则，，的最大值为；若，则， 令，则，，函数开口向下，对称轴为， ；， 的最大值为．故答案为：． 地 城 考点03 三角函数单调性的应用 【经典例题】 1．(24-25高一上·青海名校联盟·期末)函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，令，解得，则的单调递减区间是.故选：A. 2．(25-26高一上·浙江杭州高级中学·期末)已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】充分性：函数在区间上是单调递增的.若，且，根据单调性可得；必要性：若，且，同样由的单调性，可推出.因此，“”是“”的充要条件.故选：C. 3．(24-25高一上·云南昭通盐津县云天化中学教研联盟·期末)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，即， 所以，，即，所以，即，则，因为，，，所以.故选：C. 4．已知函数的一个零点是，且在上单调，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，由函数的一个零点是，得，，解得，由，得，由在上单调，得，解得，而，则，又，因此，所以.故选B 【变式训练】 1．函数的单调递增区间为 ． 【答案】和 【详解】.求的单调递增区间等价于求的单调递减区间.令，，解得，. 当时，，与交集为； 当时，，与交集为； 综上，函数的单调递增区间为和. 故答案为：和. 2．函数的单调递增区间为 【答案】 【详解】设，即，在上单调递增，故取， 即，解这个不等式，得，即， 根据复合函数同增异减，所以的单调递增的部分，可求出的递增区间，可得 ，即 ，解得 ，所以所求递增区间为.故答案为： 3．(24-25高一上·山西部分地·期末) （多选）已知是第四象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】是第四象限角，则，，则，， 故A，C，D正确，B错误.故选：ACD. 4．已知定义在上的偶函数满足在区间内单调递增．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，由，则． 所以，又在区间内单调递增，则，又函数为偶函数，故则，所以．故选：D. 5．(25-26高一上·山西长治第二中学·期末)已知函数为偶函数，在区间上单调递减，且在该区间内没有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数为偶函数，所以，由，得，因为函数在单调递减，且在该区间上没有零点，所以，解得，所以的取值范围为，故选：B 6．已知函数的图象经过点，若在区间上具有单调性，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由条件，因为，则，又在上单调递增，于是，则，解得.故选：A. 7．(23-24高一上·内蒙古赤峰·期末)已知函数在上单调递增，则A的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数在区间上单调递增，则满足，解得，即实数的取值为．故选：B. 8．已知函数在上单调递增，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，周期，因为函数在上单调递增，则，解得，此时，则， 函数的单调递增区间满足，即， 当时，，不符合，舍去， 当时，，此时，解得. 当时，，不符合题意舍去， 综上可知，最大值为.故选：C 【巩固练习】 1．(25-26高一上·广东茂名广东实验中学附属茂名学校·)函数在（    ） A．上单调递增 B．上单调递减 C．上单调递减 D．上单调递增 【答案】B 【详解】因为，所以在区间上单调递增，在上单调递减.故选：B 2．(25-26高一上·浙江·期末)下列选项中满足最小正周期为，且在上单调递减的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：的最小正周期为，故A错误；选项B：的最小正周期，当，，由正弦函数的性质可得，在单调递增，故B错误；选项C：的最小正周期为，且在上单调递增，故C错误；选项D：的最小正周期为，由B项得在单调递减，故D正确.故选：D 3．(25-26高一上·江苏南京师范大学附属中学·)若函数的单调递减区间是 . 【答案】. 【详解】因为函数，令， 要求的单调递减区间，则是求的单调递增区间. 那么有，解得. 所以函数的单调递减区间是. 故答案为：. 4．已知函数，在上单调，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上单调，所以，则.又，且，在同一单调区间内，的部分图象有两种情况，如图（一），图（二）所示： 又，即为函数图象的对称中心，为对称轴， 故结合图形可知，A选项错误；或，B选项错误；因为，所以，由函数的对称性及周期性可知，为函数图象的一条对称轴，所以，C选项错误；因为，而，所以，D选项正确，故选：D. 5．(25-26高一上·安徽·期末)若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，即；由，得，即；又，所以.故选：C. 6．(25-26高一上·吉林东北师范大学附属中学·期末)已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，因为，所以，由于函数在上单调递减，所以，解得，故的取值范围为.故选：A. 7．(25-26高一上·重庆南开中学校·)已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在区间内单调递增，所以，所以，因为，所以，若在区间上单调递增，则，，解得，当时，，又，则；当k取其它值时不满足，∴的取值范围为，故选：B． 8．若函数在区间上是减函数，且，，，则（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】因为，所以，又因为在区间上是减函数，所以存在整数，使得，，两式相减，可得，因为，所以.故选：C. 地 城 考点04 三角函数周期性的应用 【经典例题】 1．(24-25高一下·北京师范大学附属实验中学·期中)下列函数中，最小正周期为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知的最小正周期为，的最小正周期为； 而的最小正周期为，的最小正周期为.故选：D 2．(25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末)已知函数的最大值为，则的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，解得， 所以的最小正周期为．故选：B 3．(25-26高一上·四川德阳·期末)已知函数的最小正周期为，则正数的值等于（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】因为函数的最小正周期为，则，所以，故选：B 4．(24-25高一上·云南昆明盘龙区·期末)已知函数的最小正周期为，则（   ） A．或1 B．-2或2 C．1 D．2 【答案】A 【详解】根据题意，，可得或.故选：A 【变式训练】 1．(25-26高一上·山东济南外国语学校·月考)下列函数中，的最小正周期是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，，则该函数的最小正周期为，故A符合题意；对于B，，则该函数的最小正周期为，故B不合题意；对于C，，为常函数，则不存在最小正周期，故C不合题意；对于D，，则该函数的最小正周期为，故D不合题意.故选：A． 2．(24-25高一上·云南昆明东川区·期末)函数的最小正周期为（   ）． A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【详解】由周期公式可得：，故选：D 3．(25-26高一上·河北易县中学·期末)在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数的序号为（   ） A．①②④ B．①②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【详解】对于①，设，因，，显然，故不合题意； 对于②，因的最小正周期为，函数的图象可由的图象在轴下方的图象向上翻折（原先在轴上方的图象不变）得到，故其周期变为原来的一半，即，故符合题意； 对于③，因为，故函数的最小正周期为，故不合题意； 对于④，因函数的最小正周期为，故函数的最小正周期为，符合题意. 故最小正周期为的所有函数的序号为②④.故选：C. 4．(25-26高一上·广东河源龙川一中·期末)函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，所以函数的最小正周期是，故选：A． 5．(25-26高三上·江苏扬州七校第二次联考·月考)函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，函数的最小正周期为，解得，则， 故.故选：A. 6．(25-26高三上·山东名校考试联盟·)若函数图象与直线相邻两交点间的距离为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因，所以在各周期内单调递增，最小正周期.而该函数图象与相邻两交点的距离为，即，故.所以.故，因，所以.因在上单调递增，因此，即.所以的值域为.故选：D 7．(24-25高一上·云南昆明云南师范大学附属中学·期末)下列函数中不是周期函数的是（   ）（注：D选项中表示不超过的最大整数） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，易知的图象如下： 显然其不是周期函数，即A符合题意；对于B，易知的周期为，所以B不合题意； 对于C，易知的周期为，所以C不合题意； 对于D，根据表示不超过的最大整数可知的周期为1，即D不合题意.故选：A 8．(24-25高一上·云南玉溪·期末)当时，曲线与的交点个数为 ． 【答案】20 【详解】当时，，即，故正切函数的每个周期内都有一个解， 结合正切函数的周期性知，曲线与的交点个数为20个．故答案为：20 【巩固练习】 1．(25-26高一上·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)求函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】．故选：B． 2．(25-26高一·高一·期末)函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，的最小正周期，故D正确． 故选：D． 3．(25-26高一上·江苏常州第一中学·调研)函数的最小正周期是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】函数的最小正周期是.故选：C. 4．(24-25高一上·云南大理白族大理·期末)已知函数，若的周期为，则 . 【答案】 【详解】因为周期为，所以，， 则.故答案为：. 5．(25-26高一上·甘肃多校联考·)在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数的序号为（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【详解】①，正弦函数的最小正周期为，但取绝对值后，负半轴图像沿轴翻折到正半轴，由于，因此的最小正周期为； ②，，因此的最小正周期为； ③，当时，；当时，，其图像关于轴对称，不是周期函数，故最小正周期不存在； ④，最小正周期，所以最小正周期为； 综上，最小正周期为的函数是①②.故选：A. 6．(25-26高一上·山东泰安第一中学青年路校区·)函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，，因此它的最小正周期为，加上绝对值后，图象会将x轴下方的部分翻折到x轴上方，如图所示，  由图可知，加上绝对值后，周期不变，所以的最小正周期与一致，均为．故选：D． 7．(25-26高一上·江苏扬州中学·)若实数，则“”是“函数的最小正周期为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若函数的最小正周期为，则，解得，所以“”时，可得“函数的最小正周期为”，“函数的最小正周期为”，不能推出“”. 所以“”是“函数的最小正周期为”的充分不必要条件.故选：A. 8．(25-26高三上·云南昆明云南民族大学附属高级中学·)若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的相邻对称中心的距离都是半个周期，且函数与函数图象的对称中心完全一致，所以函数与的周期相等，则函数的周期，即，所以，则，令，故，令，则，故，解得，因为，所以．故选：D． 9．(25-26高三·福建福州·)若函数的图象与直线的相邻两个交点的距离为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为， 所以的最小正周期，又，所以．故选：C． 地 城 考点05 三角函数的奇偶性及对称性的应用 【经典例题】 1．(23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末) （多选）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于A，的定义域为，，故A是奇函数.对于B，的定义域为，，故B是奇函数. 对于C，由解得，的定义域不关于原点对称，故C不是奇函数.对于D，的定义域为，，故D不是奇函数，是偶函数.故选：AB 2．(25-26高二上·贵州遵义区县一中·期中)设函数.若为偶函数，则 ． 【答案】3 【详解】由题知，且为偶函数，所以，解得，又，所以．故答案为：3． 3．(25-26高三上·上海位育中学·期中)设，且为奇函数，则 . 【答案】/0.5 【详解】由题意为奇函数，且定义域为，则，则， 又，则.当时，是奇函数，故得.故答案为：. 4．(25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔（点石联考）·)已知函数，若，则 ． 【答案】 【详解】设函数，则， 即， 即函数为奇函数，又函数为偶函数，为奇函数， 所以函数为奇函数，所以，故答案为. 【变式训练】 1．(25-26高三上·黑龙江哈尔滨第六中学校·期末)已知函数的最小正周期为，若函数图象关于直线对称，则 ． 【答案】 【详解】因为的最小正周期为，所以，解得，因为图象关于直线对称， 所以，解得，因为，所以令，则， 所以，则.故答案为： 2．(23-24高一上·山西长治·期末)函数的图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数，令，解得，令，可得，所以函数的一个对称中心有，其它不是对称中心.故选：B． 3．(25-26高一上·甘肃靖远县第一中学·期末)已知是偶函数，则的一个值是 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为是偶函数，所以，，即，，因为，所以，解得，因为，可取，得，所以的一个值是. 故答案为：（答案不唯一）. 4．(25-26高三上·河北唐山十校·期中)已知函数，若，则 ． 【答案】 【详解】令，则，函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是定义在的奇函数，因为，所以，解得.故答案为： 5．(25-26高二上·贵州毕节威宁县六校·)已知函数，若，则 ． 【答案】 【详解】设，则， 由，，则， 故答案为：. 6．(24-25高一上·浙江杭州西湖区仁和实验学校·期末)已知函数为奇函数，则 ． 【答案】 【详解】函数为奇函数，其定义域为，所以， 所以， 即， 所以，所以.故答案为： 【巩固练习】 1．已知函数的图象关于点对称，则的值为 . 【答案】 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以，所以，所以， 又，所以.故答案为：. 2．(24-25高三下·江苏南京十三中·月考)若是偶函数，则 【答案】0或2 【详解】因为是偶函数，所以它的定义域关于原点对称，所以不等式的解集关于原点对称，所以不等式的解集关于原点对称，所以方程的根互为相反数，所以，此时定义域为，设，则函数的定义域为，定义域关于原点对称，又，所以，所以，所以函数为奇函数，又是偶函数，所以恒成立，所以是奇函数，于是，此时，于是或. 故答案为：0或2 3．(24-25高二下·贵州铜仁·)已知函数是奇函数，则 ． 【答案】1 【详解】因为是奇函数，是奇函数，所以函数是偶函数，则，所以．故答案为：1． 4．(24-25高一下·北京师范大学附属实验中学·期中)若为奇函数，则的一个取值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】函数的定义域为，当时， 则，所以为奇函数，同理当时也为奇函数，故均能使为奇函数.故答案为：（答案不唯一） 5．(24-25高一上·安徽合肥第八中学·期末)已知是奇函数，则 . 【答案】 【详解】根据题意，是奇函数，其定义域为，则有，必有，当时，，其定义域为，，为奇函数，符合题意.故答案为：. 6．(23-24高一上·广西柳州·期末)已知函数是奇函数，则时， ． 【答案】 【详解】因为函数是奇函数，所以,即, 又因为，所以令，，故答案为：. 7．(25-26高一上·河北承德·)已知函数的图象关于点对称，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】因为函数的图象关于点对称，所以，所以，，所以，． 又因为，所以．故答案为： 8．(25-26高一上·安徽临泉田家炳实验中学·月考)已知函数的图象与曲线都关于直线对称，写出一个符合条件的m的值 . 【答案】（答案不唯一，或都可以） 【详解】题意可得，与的图象都关于直线对称， 则，，即， 因为，所以当，时，；当，时，； 当，时，，故，，.故答案为： 地 城 考点06 利用三角函数图象分析求参数范围 【经典例题】 1．(24-25高一上·云南保山·期末)已知函数在区间上至少有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，因为函数在区间上至少有3个零点，所以，解得，所以的取值范围是.故选：C. 2．(23-24高一上·山西长治·期末)已知函数在区间上恰有一个最大值点与一个最小值点，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，当时，有，而函数在区间上恰有一个最大值点与一个最小值点，因此，可得．故选：C. 【变式训练】 1．已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】, 若，因为，所以， 因为在区间内没有零点，所以，解得； 若，因为，所以， 因为在区间内没有零点，所以，解得； 综上，，故选:D. 2．若函数在上单调，且在上存在最值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调，所以，即,则，由此可得．因为当，即时，函数取得最值，欲满足在上存在极最点，因为周期，故在上有且只有一个最值，故第一个最值点，得，又第二个最值点，要使在上单调，必须，得．综上可得，的取值范围是．故选：B． 3．(24-25高一上·山西部分地·期末)已知函数，若对任意，在区间上的值域均为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，当时，，故．因为，在上的值域均为，故区间长度必须大于一个周期，即，解得．故选：A. 【巩固练习】 1．(24-25高一上·山西运城·期末)若函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则函数在区间上只能单调递增，当时，，所以，，其中，所以，，解得，由解得，且，当时，；当时，则，可得.综上所述，正实数的取值范围是.故选：D. 2．(24-25高一上·山西晋城第一中学校等校·期末)已知函数 的图象在 内恰有两条对称轴，则ω的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，所以，因为函数的图象在 内恰有两条对称轴， 所以，解得．故答案为：. 3．(23-24高一上·山西太原·期末)已知函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】令，则，当时，，由题意可得，解得，即实数的取值范围为.故答案为：. 4．(25-26高一上·广东湛江第一中学·期末)已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】当时，，由在上单调递增，结合正弦函数的单调性可得，解得．当时，，因为，所以，又在上有且仅有1个零点，所以或，解得或．则的取值范围为.故答案为： 5．(24-25高一下·山东聊城·期中)已知函数，若在区间上恰有三个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由，则，，此时， 若函数的三个零点都在轴的负半轴，则，不等式的解集为， 若函数的零点有2个负零点，1个是原点，则，不等式的解集为， 若函数的零点1个是负零点，1个是原点，1个正零点，则，不等式的解集为， 若函数的零点1个是原点，2个正零点，则，得. 所以的取值范围是.故答案为： 地 城 考点07 三角函数零点问题 【经典例题】 1．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特第一中学·月考)函数的图象与函数的图象交点个数为 . 【答案】3 【详解】函数定义域为，最小正周期为，，当时，， 函数在定义域上是增函数，当时，，当时，， 因此函数与函数的图象交点横坐标只能在区间上， 在同一坐标系内作出函数的部分图象，如图： 观察图象知，函数与函数的图象交点个数为3.故选：3 2．(24-25高一上·云南昭通第一中学·期末) （多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于直线对称 【答案】ACD 【详解】对A，由图知的最小正周期，则，A正确；对B，由图象知时，函数无意义，故，，由，得，即，B错误；对C，，C正确；对D，由，则的图象关于点对称，由图象对称变换，得函数的图象关于直线对称，D正确，故选：ACD 【变式训练】 1．(23-24高一上·山西运城·期末) （多选）已知函数，且函数在上有且仅有5个零点，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围是 B．函数的图象在上最多4有条对称轴 C．函数的图象在上有2个最大值点 D．函数在上单调递减 【答案】AC 【详解】不妨设，当时，，即，作出函数在上的图象如图.  对于A项，由题意知：，解得：，故A正确；对于B项，因当时，，由图知，当时，函数的图象在上可以有5条对称轴，故B项错误；对于C项，由上分析即函数图象观察，不难得到，函数的图象在上有且仅有2个最大值点，故C项正确； 对于D项，当时，，因，则有，取，而函数在区间上先减后增，故D项错误.故选：AC. 2．(24-25高一上·山西部分地·期末)已知函数的最小正周期为，且的图象经过点，则关于的方程在上的不同解的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得．因为的图象经过点，所以，即．又，所以，所以． 在坐标系中结合五点法画出函数及的图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点．故选：C 3．(24-25高一上·云南德宏州·期末) （多选）定义：，用表示的最大者，记为.若，则下列选项正确的是（    ） A．函数的周期为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于直线对称 D．若函数在区间内有且仅有个零点，则 【答案】CD 【详解】令，即，即，解得；令，即，即，解得；所以， 则的图象如下所示：，所函数的最小正周期为，故A错误；函数的值域为，故B错误；函数的图象关于直线对称，故C正确；若函数在区间内有且仅有个零点，则，解得，故D正确.故选：CD. 【巩固练习】 1．(24-25高一上·云南昭通盐津县云天化中学教研联盟·期末)已知函数，，用表示，中的较大者，即，，若函数的图象与有3个不同的交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，在同一坐标系中作出的图象，因为，所以的图象如图中实线部分，，因为的图象与有3个不同的交点，所以，即.故选：D. 2．（多选）已知函数满足，且在上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．的最小正周期为4 D．在上的零点个数最少为1012个 【答案】AC 【详解】A，由题意在的区间中点处取得最大值，即，A正确；假设若，则成立，由A知，而，故假设不成立，则B错误；，且在上有最大值，无最小值，令，，，则两式相减，得，即函数的最小正周期，故C正确；因为，所以函数在区间上的长度恰好为506个周期，当，即，时，在区间上的零点个数至少为个，故D错误.故选：AC. 地 城 考点08 三角函数图象与性质的综合应用 【经典例题】 1．(24-25高一上·云南曲靖陆良县·期末)已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的单调递增区间为 C．的单调递减区间为 D．在上的值域为 【答案】ABD 【详解】函数的最小正周期为，A正确.由，得，所以的单调递增区间为，B正确. 由，得，所以的单调递减区间为，C错误.由，得，故，所以，，则在上的值域为，D正确.故选：ABD. 2．(24-25高一上·云南昆明官渡区·期末)已知函数，则下列结论中正确的有（    ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．点是图象的一个对称中心 D．不等式的解集为 【答案】D 【详解】，作出的图象，如图，观察图象，  对于A， 的最小正周期为，故A错误；对于B，的值域为，B错误；对于C，的图象没有对称中心，C错误；对于D，不等式，即时，得，解得，所以的解集为，故D正确.故选：D. 【变式训练】 1．下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是 A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│ C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│ 【答案】A 【详解】因为图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C，作出图象，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出的图象，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A． ，,因为函数在上单调递增；所以，所以，因为，可得：，所以“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件，D正确，故选：BCD 2．(24-25高一上·云南红河州、文山州·期末) （多选）已知函数的图象经过，且相邻的两条对称轴之间的距离是，则下列选项正确的是（    ） A． B．的单调递减区间为 C．的对称轴为 D．不等式的解集为 【答案】BD 【详解】对于A，由题可知，故因，则，由得，则，因，则得，故，故A错误；对于B，令，解得，故B正确；对于C，令解得的对称轴为，故C错误；对于D，由得图象可得，当且仅当时，，故由可得：，解得，故D正确.故选：BD. 3．(24-25高一上·云南文山·期末) （多选）已知函数，则下列结论成立的是（    ） A．的最小正周期为 B．曲线关于直线对称 C．点是曲线的一个对称中心 D．在上单调递增 【答案】AC 【详解】对A：设的最小正周期为，故A正确：对B：因，故B错误：对C：因，故点是曲线的一个对称中心，即C正确：对D：由，可得，则在上单调递减，故D错误.故选：AC. 【巩固练习】 1．(24-25高一上·山西太原·期末) （多选）已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．，的最小正周期都是 B．，都是奇函数 C．，在上都是单调递增 D．，的对称中心相同 【答案】BC 【详解】对于A，易知的最小正周期是，即A错误； 对于B，易知，， 且，的定义域都为R，满足奇函数定义，因此它们都是奇函数，可得B正确； 对于C，当时，，再由正弦函数和正切函数单调性可得C正确； 对于D，令，可得，即； 可得的对称中心为； 而对于其对称中心的横坐标满足，可得， 即的对称中心为，因此，的对称中心不完全相同. 故选：BC 2．(23-24高一上·山西太原·期末) （多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期 B．的定义域为 C．的值域为 D．是奇函数 【答案】BD 【详解】对A：由，故的最小正周期，故A错误；对B：由题意得：，即，故的定义域为，故B正确；对C：由，故的值域为，故C错误；对D：的定义域为，，故是奇函数，故D正确.故选：BD. 3．(22-23高一上·山西运城盐湖区康杰中学·期末)关于函数有下述结论： ①是偶函数；②函数是周期函数，且最小正周期为；③函数在区间上单调递减；④函数在有3个零点；⑤函数的最大值为2．其中所有正确结论的编号是 ． 【答案】①③④⑤ 【详解】①函数的定义域为R，又，∴函数是偶函数，故①正确； ②当时，，时，，故最小正周期不为，故②错误； ③当时，，在上单调递减，故③正确； ④∵函数是偶函数，∴只需要考虑上的零点个数，此时，在上有2个零点，为，∴在有3个零点，为，故④正确； ⑤∵函数是偶函数，∴考虑的情况即可，当时，，∴的最大值为2，故⑤正确． 故答案为：①③④⑤ 地 城 考点09 三角函数的实际应用 【经典例题】 1．(24-25高一上·山西·期末)如图，在矩形中，为边的中点，为边上一点，交边于点，若，则周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】设， 由题意知，当与重合时，由，得，当与重合时，同理可得，所以，因为， 所以的周长，令，因为，所以，又，所以，且，所以，所以当时，取得最小值，且，故答案为： 2．(24-25高三上·湖北新高考联考协作体·开学考) （多选）受潮汐影响，某港口5月份每一天水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的关系都符合函数（，，，）.根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于2.5米，否则该船必须立即离港，一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划于5月10日进港卸货（该船进港立即可以开始卸货），已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米（不计船停靠码头和驶离码头所需时间）.下表为该港口5月某天的时刻与水深关系： 时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00 水深/米 10 7 4 7 10 7 4 7 以下选项正确的有（    ） A．水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的函数关系为， B．该船满载货物时可以在0：00到4：00之间以及12：00到16：00之间进入港口 C．该船卸完货物后可以在19：00离开港口 D．该船5月10日完成卸货任务的最早时间为16：00 【答案】ABD 【详解】依题意，，，解得，显然函数的图象过点，即，又，因此，所以函数表达式为，，故A对；依题意，，整理得，即有，即,解得或，所以该船可以在0点到4点以及12点到16点进入港口，故B对；该船卸完货后符合安全条例的最小水深为5.5，19时水深为，故C错；该船0点进港即可以开始卸货，设自0点起卸货x小时后，该船符合安全条例的最小水深为，函数与的图象交于点，即卸货5小时后，在5点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为4.5米，下次水深为7米时刻为11点，故该船在11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为16点，综上，该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务，故D对.故选：ABD. 【变式训练】 1．为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示.则观赛场地的面积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示： ．连接，设，作，，垂足分别为，由四边形是平行四边形，可知为矩形，又，则，，，于是，．因此四边形的面积也为四边形的面积，即有，而，则当时，，所以.故选：D 2．(23-24高一上·山西大同·期末)如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每4分钟转1圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米．设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，且d与时间t（单位：分钟）之间的关系式为： ；则d与时间t之间的关系是 ． 【答案】 且 ，且 【详解】由题设，d与时间t之间的关系式为且，筒车按逆时针方向每4分钟转1圈，则，可得，筒车半径为3米，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米，则，，又盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，在水面下则d为负数，所以，可得，故，所以，且. 故答案为：且；，且. 3．(25-26高三上·八联考（T8）·)图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心O距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为筒车按逆时针方向每分钟转圈，所以（s）,.再由筒车的轴心O距水面的高度为，所以（m）.又因为筒车的半径为2m，所以 （m），所以.又因为以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，所以，即，得且，所以.故选：A. 4．(23-24高一上·山东招远第二中学·期末)如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发绕着点逆时针旋转，在此过程中，记，射线经过的单位圆内阴影部分的面积为，则对函数说法正确的是（   ） A．当时， B．，使得 C．对，都有 D．对，都有 【答案】D 【详解】如下图(OD与OP重合)，则阴影部分面积，且，所以，A错；由图知在旋转过程中阴影面积不断变大，不存在使得，B错；当，则，C错；，D对.故选：D 【巩固练习】 1．(25-26高一上·黑龙江哈尔滨第九中学校·期末)如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（    ）   A．点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 B．点第一次到达最高点需要20秒 C．当水轮转动155秒时，点距离水面1米 D．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 【答案】C 【详解】设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，，由题意，，所以，解得，因为，所以，则，当时，，所以，则， 又，则，综上，，故A正确；令，则，令，得秒，故B正确；当秒时，米，故C错误；当秒时，米，故D正确.故选：C. 2．如图，摩天轮的半径为m，其中心点距离地面的高度为m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中下列说法正确的是（   ）    A．转动后点距离地面 B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的 C．第和第点距离地面的高度相同 D．摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间长为 【答案】D 【详解】设转动过程中，点离地面距离的函数为，由题意得：， ，则 ，所以 ，选项A，转到后，点距离地面的高度为：，故A不正确；选项B，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，故B不正确；选项C，因为 ， ，所以 ，即第和第点距离地面的高度不相同，故C不正确；选项D，令，则 ，由， 解得 ，所以，即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为，故D正确；故选：D. 3．心脏每跳动一次，就完成一次收缩和舒张.心脏跳动时，血压在增大或缩小，并呈周期性变化，血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压.某人的血压满足函数，为血压（单位：mmHg），t为时间（单位：min），则相邻的收缩压和舒张压间隔时间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的最小正周期为，所以相邻的收缩压和舒张压间隔时间是.故选：A 地 城 考点10 解答题 【经典例题】 1．(24-25高一上·云南保山·期末)已知函数． (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)当时，求的最小值以及取得最小值时的集合． 【详解】（1）函数， 所以的最小正周期； 由，得， 所以的单调递减区间是. （2）当时，，则当，即时，取得最小值， 所以的最小值为，取得最小值时的集合为. 2．(24-25高一上·云南昆明东川区·期末)如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为． (1)求； (2)求的最大值及此时的值； (3)若，求的取值范围． 【详解】（1）根据题意可知，，， 所以， 整理得.即. （2）由（1）知， 所以，显然时，，此时. （3）由，可得， 因为，所以，解得， 即不等式的解集为. 3．(24-25高一上·云南昭通第一中学教研联盟·期末)某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为28米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟． (1)求1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式； (2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为16米时的值； (3)记1号座舱与4号座舱高度之差的绝对值为米，求当取得最大值时的值． 【详解】（1）设1号座舱与地面距离与时间的函数关系为 由题意知，，则， 依题意，则， 当时，，可得，故. （2）令，即，整理得， 由，则，所以或，解得或， 所以或时，1号座舱与地面的距离为16米． （3）依题意，， 所以 ， 令，解得， 所以当，取得最大值． 【变式训练】 1．(24-25高一上·云南曲靖师宗县凤山中学·期末)已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若函数，求在区间上的最大值和最小值． 【详解】（1）设的最小正周期为，则． 令，解得， 所以的单调递增区间为 （2）因为，所以 因为，所以，所以， 所以，即在区间上的最大值和最小值分别为1和-2． 2．(24-25高一上·云南曲靖会泽县·期末)已知函数 (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最值，并求出取得最值时x的值； (3)若不等式在区间上恒成立，求m的取值范围． 【详解】（1）最小正周期，令，解得， 所以单调递增区间为. （2）因为，所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值为； 当时，取得最大值为 （3）当时，为增函数，， 所以，令，则， 不等式在区间上恒成立等价于在上恒成立， 令，开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递增， 则，与矛盾，舍去； 当时，在上单调递减， 则，与矛盾，舍去； 当时，， 综上m的取值范围是. 3．(24-25高一下·安徽鼎尖教育·)已知函数. (1)求的值域； (2)若，求的取值范围； (3)解关于的方程：. 【详解】（1）易知； 因为，所以的值域为， （2）若，即；整理得， 令函数，易知函数为奇函数，且在上单调递增， 由可得； 化简得，解得； 故的取值范围为； （3）解关于的方程，即解方程； 因为；所以； 因此问题等价于解方程，且；当时， 若，则，方程无解； 若，则，方程无解； 当时，经检验方程的解是或. 4．(24-25高一上·云南昭通盐津县云天化中学教研联盟·期末)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，设置有24个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中： (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求关于的函数解析式； (2)求游客甲从坐上摩天轮之后，距离地面高度超过的时长； (3)若甲、乙两人座舱编号之差的绝对值等于2（座舱编号沿顺时针依次编号），求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位）参考数据：，． 【详解】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点， 与地面平行的直线为轴建立直角坐标系． 设时，游客甲位于点，以为终边的角为； 根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约， 由题意可得，． （2）在运行一周的过程中，由，则， 令，可得，则，解得. 所以游客甲从坐上摩天轮之后，距离地面高度超过的时长为. （3）由甲、乙两人座舱编号之差的绝对值等于2，如图，甲、乙两人的位置分别用点表示，不妨设点相对于始终落后，则， 经过后，甲距离地面的高度为，点相对于始终落后， 此时乙距离地面的高度， 则甲、乙高度差，利用， 可得，， 当或，即或， 所以， 则将参考数据，代入得，. 所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为. 【巩固练习】 1．(24-25高一上·山东菏泽郓城第一中学·月考)已知函数. (1)求的最小正周期和对称轴方程； (2)若，求的值域. 【详解】（1），，即的最小正周期是. 令，解得，即的对称轴方程是； （2）当时，，所以， 所以，即的值域是. 2．(24-25高一上·云南曲靖宣威十中教育发展集团·期末)已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)求在上的最值． 【详解】（1） ， 由，可得， 则的单调递减区间为； （2）由，可得， 则，所以， 则在上的最小值为，最大值为2． 3．(24-25高一上·云南大理白族大理·期末)已知函数. (1)将化成的形式； (2)求的对称中心及单调递减区间； (3)若在上的值域为，求的取值范围. 【详解】（1）由题意得 所以 （2）令，，解得，， 所以的对称中心为，， 令，，解得，， 所以的单调递减区间为，. （3）由题意得的最小正周期，令，，解得，. 图象的对称轴为直线， 若在上单调，则，，解得，， 则 ， 因为，，可得，所以， 若在上不单调，则在上的图象上必定有一个最高点或最低点， 且在上的图象无论经过任何一个最高点或任何一个最低点，的取值范围均相同. 假设在上的图象的最高点为，则， 当，即时，，此时取得最小值，且最小值是， 又因为，则，所以， 综上所述：的取值范围为. 4．(24-25高一上·云南昆明·期末)如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转90°到，过分别作于，于. (1)建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示，两点的坐标： (2)求四边形面积的最大值. 【详解】（1）如图，以所在直线为轴，为原点建立直角坐标系， ，圆的半径为， 点坐标为，点的坐标为， 坐标为. （2）， ∴四边形的面积 ，， 当时，即时，， 四边形的面积的最大值为. 三、达标检测 1．(25-26高一上·吉林长春东北师范大学附属中学·)已知，不等式成立的角x的集合是 ． 【答案】或. 【详解】，有，，故或，故解集为或.故答案为：或. 2．(23-24高一下·江西抚州金溪县·期中)函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，令，故.故当时，有最大值，当时，有最小值3，故所求值域为.故选：B. 3．(23-24高一上·江苏南通如皋·月考)已知函数，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【详解】，令，由，故，即，当时，，故其最大值为.故选：B. 4．(22-23高一下·江苏镇江四校联考·月考)函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，令，则，因为，且该二次函数开口向下，所以， 因为，所以，因此，即，故选：C 5．(22-23高一下·辽宁大连第八中学·月考)已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，设，，函数的对称轴为且，，，因为函数在区间的值域为，所以在区间上能取得，但是不能小于0，所以.故选：C 6．(25-26高一·山东烟台·期末)下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正、余弦型函数的最小正周期公式为，故、的最小正周期，选项A，B错误；，最小正周期为，故D错误；，假设存在更小的正周期，使得对任意都有，令，则，解得，不存在，满足使得，的最小正周期为，故C正确．故选：C． 7．(24-25高一上·福建莆田第六中学·期末)函数的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由正切函数的最小正周期公式可得函数的最小正周期为.故选：D. 8．(25-26高一上·天津第四十七中学·)关于函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数，且周期为 B．是奇函数，且周期为 C．是偶函数，且周期为 D．是奇函数，且周期为 【答案】A 【详解】函数，定义域为，因为，所以为偶函数，又因为，所以的最小正周期为，故选：A. 9．已知，则是（ ） A．奇函数且最小正周期为 B．偶函数且最小正周期为     C．奇函数且最小正周期为 D．偶函数且最小正周期为 【答案】A 【详解】因，因为的定义域为，且，  故为奇函数，且最小正周期为.故选：. 10．(24-25高一上·江苏盐城实验高级中学·期末)函数，，则 ． 【答案】0 【详解】由可得，即，则.故答案为：0. 11．(25-26高一上·吉林长春·期末)函数的图象关于轴对称，则的值是 ． 【答案】/ 【详解】因为函数的图象关于轴对称，所以，解得，又因为，所以，故答案为： 12．(24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔第六中学校·月考)的单调增区间 . 【答案】 【详解】由，解得，所以所求单调增区间为.故答案为： 13．(25-26高一上·山东淄博第七中学·月考)函数的单调递增区间为 . 【答案】 【详解】设，则在上是单调递减的，因为，所以，即①. 要求原函数的单调递增区间，即是求余弦函数的单调递减区间. 当时，单调递减， 此时，结合①式，可得. 所以原函数的单调递增区间为. 14．(23-24高一上·山西忻州·期末)已知函数（）在上单调递增，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】， 当时，，因为在上单调递增， 所以（），解得（）， 由（）得，故的取值范围为．故答案为： 15．(23-24高一上·山西·期末)（多选）已知函数，下列命题正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递减 D．若在区间上恰有两个零点，则的取值范围为 【答案】AC 【详解】对于A，由，得的图象关于点对称，A正确； 对于B，，的图象关于直线不对称，B错误； 对于C，由，得，在区间上单调递减，C正确； 对于D，，由，，得， 而在区间上恰有两个零点，则，解得，D错误. 故选：AC 16．(24-25高一上·云南昆明五华区·期末)已知函数. (1)求的最小正周期； (2)当时，求的值域. 【详解】（1）函数， 所以函数的最小正周期 （2）当时，，正弦函数在上递增，在上递减， 因此函数在上递增，在上递减，， 而，，则， 所以的值域为. 17．(24-25高一上·云南昆明·期末)已知是函数的一个零点， (1)求实数的值： (2)求的单调递增区间； (3)若，求的值域. 【详解】（1）由题意，，化简可得，. （2）， 令，解得， 所以的单调递增区间为. （3）由，可得，，， 所以，即的值域为. 18．(24-25高一上·广东阳江部分学校·期末)已知函数，其图象与直线相邻两个交点之间的距离为. (1)若，求在上的最大值； (2)对任意的恒成立，求的取值范围. 【详解】（1）令，解得， 由已知得，解得，所以， 当时，，因为，所以， 又在上单调递增，所以 （2）因为，所以 又，所以，所以在上先增后减， 所以即 所以解得，故的取值范围为 19．(24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末)已知函数，（）的周期是. (1)求函数的解析式并求函数在上的单调增区间； (2)解不等式； (3)若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【详解】（1）因为 ， 因为，所以，所以， 因为，所以，当时，即时函数单调递增， 所以函数的单调递增区间为：. （2）因为，即，所以，， 解得：，，所以不等式的解集为：. （3）当时，，此时， 因为不等式恒成立，所以，解得：. 20．(22-23高一下·山东聊城聊城第一中学·期中)在校园美化､改造活动中，要在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示.取的中点，记. (1)写出矩形的面积与角的函数关系式； (2)求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积. 【详解】（1）由题可知， 在中，，， 在中，， （2），当，即时， 故当时，矩形的面积最大，最大值为 试卷第1页，共3页 4 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $