第12讲 幂函数 - 人教A版必修第一册-2026年普通高中学业水平考试过关复习讲义

第12讲 幂函数 . 学 考 要 求 了解幂函数的定义，能识别幂函数. . 知 识 必 备 1．幂函数的概念 一般地，形如___________的函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数． 【答案】 2．幂函数的性质 图象 定义域 R R ______ ______ 值域 R ______ ______ 奇偶性 奇 偶 ______ ______ ______ 单调性 增函数 当,时， ______ 当,0]时， ______ 增函数 ______ 当,时， ______ 当,0)时， ______ 【答案】 奇函数 非奇非偶 奇函数 增函数 减函数 增函数 减函数 减函数 . 典 例 探 究 题型一：判断函数是否是幂函数 例题1：下列函数是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【解析】幂函数是形如（为常数）的函数，所以A符合，BCD不符合，故选：A. 题型二：求幂函数的解析式 例题2：已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．9 C． D． 【解析】设幂函数，代入点可得， 解得，所以； 因此. 故选：D 题型三：根据函数是幂函数求参数值 例题3：“”是“为幂函数”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】因为为幂函数， 所以， 解得：或, 所以“”是“为幂函数”的充分且不必要条件. 故选：A 题型四：幂函数图象过定点问题 例题4：函数的图像恒过点________________． 【解析】令得，此时，所以的图象恒过 故答案为： 题型五：由幂函数的单调性比较大小 例题5：比较下列各组中两个数的大小： (1)，； (2)，； (3)，． 【解析】（1），可看作幂函数的两个函数值．该函数在上递增，由于底数，所以． （2），可看作幂函数的两个函数值．该函数在上递增，由于底数，所以． （3），可看作幂函数的两个函数值．该函数在上递减，由于底数，所以． . 过 关 检 测 1、 选择题 1．函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【解析】易知函数的定义域为， 且该函数为偶函数，排除D， 由易知在上该函数为单调递减，又排除AB， 故选：C 2．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【解析】幂函数的定义：， 可知，，均不是幂函数，是幂函数. 故选：D. 3．幂函数的图象过点，则（   ） A．64 B．16 C．8 D．2 【解析】由题意可得，即，则， 则，故. 故选：D. 2、 填空题 4．已知幂函数的图像过点，则的定义域是________. 【解析】由于经过点，代入得，所以的定义域是. 故答案为：. 5．请写出一个幂函数满足以下两个条件：①定义域为；②为减函数，则________. 【解析】举例，其定义域为定义域为，且为减函数， 故答案为：（答案不唯一）. 3、 解答题 6．已知幂函数的图像经过点. (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）设，则有，解得， 故，其定义域为； （2）由，则在上单调递减， 故有，即，即. . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．函数，和的图像都通过同一个点，则该点坐标为（    ） A． B． C． D． 【解析】根据幂函数的定义可知，函数，与均为幂函数， 因为幂函数图像所过定点为，所以可得这三个函数图像均过点. 故选：C 2．下列图象可能为幂函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【解析】幂函数（为常数）的性质有： 若自变量有意义，则必过原点，根据这条性质，排除A、B、C， 故D正确； 故选：D. 2、 填空题 3．若，请比较两式大小：________． 【解析】由幂函数的性质可知，函数在上单调递增，且， 因此. 故答案为： 4．函数的图像恒过点________________． 【答案】 【解析】令得，此时，所以的图象恒过. 5．已知幂函数在上是减函数，则实数______． 【解析】因为为幂函数， 所以得 或， 又因为在上是减函数，所以. 3、 解答题 6．已知幂函数在上单调递增． (1)求实数的值： (2)若函数在上的最小值为1，求实数的值． 【解析】（1）由题可得，即，解得或1， 当时，在上单调递减，不合题意； 当时，在上单调递增，合题意. 综上，. （2）由（1），所以，，对称轴， 当时，在上单调递增，所以，不合题意； 当时，在上单调递减，所以， ，解得，不合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，又，所以； 综上，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 幂函数 . 学 考 要 求 了解幂函数的定义，能识别幂函数. . 知 识 必 备 1．幂函数的概念 一般地，形如___________的函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数． 2．幂函数的性质 图象 定义域 R R ______ ______ 值域 R ______ ______ 奇偶性 奇 偶 ______ ______ ______ 单调性 增函数 当,时， ______ 当,0]时， ______ 增函数 ______ 当,时， ______ 当,0)时， ______ . 典 例 探 究 题型一：判断函数是否是幂函数 例题1：下列函数是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 题型二：求幂函数的解析式 例题2：已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．9 C． D． 题型三：根据函数是幂函数求参数值 例题3：“”是“为幂函数”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型四：幂函数图象过定点问题 例题4：函数的图像恒过点________________． 题型五：由幂函数的单调性比较大小 例题5：比较下列各组中两个数的大小： (1)，； (2)，； (3)，． . 过 关 检 测 1、 选择题 1．函数的图象是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 3．幂函数的图象过点，则（   ） A．64 B．16 C．8 D．2 2、 填空题 4．已知幂函数的图像过点，则的定义域是________. 5．请写出一个幂函数满足以下两个条件：①定义域为；②为减函数，则________. 3、 解答题 6．已知幂函数的图像经过点. (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围. . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．函数，和的图像都通过同一个点，则该点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．下列图象可能为幂函数图象的是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 3．若，请比较两式大小：________． 4．函数的图像恒过点________________． 5．已知幂函数在上是减函数，则实数______． 3、 解答题 6．已知幂函数在上单调递增． (1)求实数的值： (2)若函数在上的最小值为1，求实数的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $