第11讲 幂函数（培优讲义）新高一数学人教A版

第11讲 幂函数（培优讲义） 2 知识点01 幂函数的定义 2 5 题型1 求幂函数定义与性质 5 题型2 幂函数值大小比较 8 题型 3 基础幂函数图像识别 10 13 题型1 幂函数识别与求参数 13 题型2 利用幂函数单调性解不等式 15 题型3 幂函数定点问题 16 17 17 课标要点 1.理解幂函数定义，区分幂函数、指数函数； 2.掌握常见5类基础幂函数的图像与性质； 3.利用幂函数单调性比较大小、解简单不等式； 4.结合定义域、奇偶性、单调性综合解决含参培优题型。 知识点01 幂函数的定义 1. 标准定义 形如 为常数，x 是底数）的函数称为幂函数。 2. 判定核心标准 x 只能是单独底数，系数必须为 1； 不能有常数、不能额外乘除系数； 3. 定义域通用规则 由指数决定： 练习 1．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 五大基础幂函数图像与核心性质 表格 函数 定义域 值域 奇偶性 单调性（\(x>0\)） 定点 单调递增 (0,0),(1,1) 偶函数 单调递增 (0,0),(1,1) 奇函数 (0,0),(1,1) 非奇非偶 单调递增 单调递减 (1,1) 通用规律区间必考） 所有幂函数在上都有图像，恒过定点 不过原点； 指数越大 时指数越大函数值 。 练习 1．已知幂函数在上单调递减，则（    ） A． B．4 C． D．2 知识点02 幂函数奇偶性与图像对称性 先把指数化为最简分数； n奇：定义域含负数，再看m奇偶： m奇：奇函数，图像关于 对称； m偶：偶函数，图像关于 对称； n偶：定义域只有非奇非偶。 幂函数比较大小、解不等式核心方法 同指数不同底数：利用x>0单调性判断； 同底数不同指数：分三段讨论； 底数、指数均不同：找 搭桥比较； 幂不等式：统一指数，结合定义域、单调性脱外层。 练习 1．若，幂函数是非奇非偶函数，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 题型1 求幂函数定义与性质 1．下列函数，既是幂函数，又存在零点的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，既是幂函数，又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 3．已知幂函数在上单调递减，则（    ） A．4 B． C． D． 4．已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 7．函数，的值域为__________. 方法技巧 单一幂函数直接求定义域； 带根式、负指数复合型幂函数； 根据定义域判断函数奇偶性。 题型2 幂函数值大小比较 1．已知，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．下列比较大小中错误的是（      ） A． B． C． D． 方法技巧 优先限定x>0区间，利用增减性；负数先转化为正数再判断。 题型 3 基础幂函数图像识别 1．若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 2．在同一坐标系内，函数和的图像可能是（    ） A． B． C． D． 3．函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 方法技巧 x>1，指数越大图像越高；0<x<1指数越大图像越低. 题型1 幂函数识别与求参数 1．已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 2．“”是“函数在区间上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．已知幂函数（为常数）的图象经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知幂函数在上单调递增，则实数_____． 4．若“，”是假命题，则a的最大值是________． 方法技巧 抓住标准形式，x前系数 = 1，无额外常数项。 题型2 利用幂函数单调性解不等式 1．已知幂函数的图象经过点，且，则实数a的取值范围是________． 2．设是幂函数，若，则的取值范围是______． 3．若幂函数的图象过点，则不等式的解集为__________． 方法技巧 先求定义域，再利用单调性去掉幂符号，注意不等号方向。 题型3 幂函数定点问题 1．函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 2．函数的图象过定点______. 3．函数的图像恒过点________________． 4．已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． 方法技巧 分层：内层函数值域作为外层幂函数的底数范围。 1．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 1．“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列幂函数中过点 ，的偶函数是（ ） A． B． C． D． 3．已知幂函数的图象不经过原点，则（   ） A． B． C．或 D．或 4．函数的单调递增区间是（    ） A．（） B． C． D． 5．幂函数的图像过点，则它在上的最大值为（    ） A． B．－1 C．1 D．－3 6．若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 7．下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．已知，，则（    ） A． B． C． D． 10．关于幂函数，下列结论正确的是（   ） A．的图象经过原点 B．为偶函数 C．的值域为 D．在区间上单调递增 11．幂函数的图象过点，则实数____________． 12．如果幂函数的图像经过点，那么解析式是________． 13．已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 14．已知幂函数的图象过点，则的定义域为___________． 15．已知幂函数在区间上单调递增. (1)求k的值； (2)（i）若，求的值； （ii）求的值域. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 幂函数（培优讲义） 2 知识点01 幂函数的定义 2 5 题型1 求幂函数定义与性质 5 题型2 幂函数值大小比较 8 题型 3 基础幂函数图像识别 10 13 题型1 幂函数识别与求参数 13 题型2 利用幂函数单调性解不等式 15 题型3 幂函数定点问题 16 17 17 课标要点 1.理解幂函数定义，区分幂函数、指数函数； 2.掌握常见5类基础幂函数的图像与性质； 3.利用幂函数单调性比较大小、解简单不等式； 4.结合定义域、奇偶性、单调性综合解决含参培优题型。 知识点01 幂函数的定义 1. 标准定义 形如为常数，x 是底数）的函数称为幂函数。 2. 判定核心标准 x 只能是单独底数，系数必须为 1； 不能有常数、不能额外乘除系数； 3. 定义域通用规则 由指数决定： 练习 1．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是幂函数； B选项不满足系数为1的特征，所以不是幂函数； C选项不符合y＝xα的单一形式，所以不是幂函数； D选项是幂函数. 知识点02 五大基础幂函数图像与核心性质 表格 函数 定义域 值域 奇偶性 单调性（\(x>0\)） 定点 奇函数 单调递增 (0,0),(1,1) ) 偶函数 单调递增 (0,0),(1,1) 奇函数 单调递增 (0,0),(1,1) 非奇非偶 单调递增 (0,0),(1,1) 奇函数 单调递减 (1,1) 通用规律区间必考） 所有幂函数在上都有图像，恒过定点； 不过原点； 指数越大 时指数越大函数值越低。 练习 1．已知幂函数在上单调递减，则（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【详解】因为为幂函数，所以，解得， 当时，，在上单调递增，不符合题意， 当时，，在上单调递减，所以， 所以 知识点02 幂函数奇偶性与图像对称性 先把指数化为最简分数； n奇：定义域含负数，再看m奇偶： m奇：奇函数，图像关于原点对称； m偶：偶函数，图像关于 y 轴对称； n偶：定义域只有非奇非偶。 幂函数比较大小、解不等式核心方法 同指数不同底数：利用x>0单调性判断； 同底数不同指数：分三段讨论； 底数、指数均不同：找中间值搭桥比较； 幂不等式：统一指数，结合定义域、单调性脱外层。 练习 1．若，幂函数是非奇非偶函数，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【分析】由幂函数、奇偶性的性质，根据条件间的推出关系确定条件间的关系. 【详解】当，则，显然函数为非奇非偶函数，充分性成立， 当幂函数，则， 即，得或， 若，即为非奇非偶函数，满足， 若，即为奇函数，不满足，所以，故必要性成立， 综上，p是q的充要条件. 题型1 求幂函数定义与性质 1．下列函数，既是幂函数，又存在零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义和性质判断即可. 【详解】幂函数形式：，所以不是幂函数， 但没有零点，不符合题意， 既是幂函数，又存在零点． 故选：D. 2．下列函数中，既是幂函数，又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义，图像和性质求解. 【详解】，均不是幂函数， 在上单调递增， 是幂函数，且在上单调递减． 3．已知幂函数在上单调递减，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或． 又在上单调递减，所以，所以． 4．已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法求得，再求函数定义域即可. 【详解】设，因为幂函数的图象经过点 所以，即，解得， 所以，故要使函数有意义，则, 所以函数的定义域为 故选：C 5．已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象过点，求出的解析式，从而得到的解析式，求得函数的定义域. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，即，解得. 故，则， 所以，所以， 所以函数的定义域是. 故选：D. 6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别分析函数和的定义域限制，列不等式组求解即可． 【详解】由，解得． 故选：D． 7．函数，的值域为__________. 【答案】 【分析】根据基本初等函数性质，判断函数单调性，判断函数值域. 【详解】可知和在上都单调递增， 则在上都单调递增， 所以函数在上的最小值为，最大值为，则函数值域为. 故答案为：. 方法技巧 单一幂函数直接求定义域； 带根式、负指数复合型幂函数； 根据定义域判断函数奇偶性。 题型2 幂函数值大小比较 1．已知，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选项 A，因为函数在上是单调递增函数， 又 ，所以，A正确. 选项 B，令，， 则 ，，此时，B 错误. 选项 C，由 可得 ， 函数 在上单调递增，所以，C 错误. 选项 D，同样取，， 则 ， ，此时，D 错误. 2．已知，则下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】对于A，因为，由不等式的性质，不等式两边同时加上一个数，不等式方向不变，，故A错. 对于B，因为函数在上单调递增，，所以，故B正确 对于C， 已知且，说明，那么，不等式两边同除以，不等式方向不变，所以，故C正确. 对于D，已知，所以，因为函数在上单调递增，所以，故D正确. 3．设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， 所以， 又因为，所以. 故选：A.， 5．下列比较大小中错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用的正负对幂函数的增减性的影响可分别判定四个选项的正误. 【详解】对于A，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 且为偶函数，所以， 因为，所以，所以，故B正确； 对于C，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 因为所以，故C正确； 对于D，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 且为奇函数，所以， 因为，所以，所以，故D错误. 故选：D. 方法技巧 优先限定x>0区间，利用增减性；负数先转化为正数再判断。 题型 3 基础幂函数图像识别 1．若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由所给图象结合幂函数单调性判断即可得. 【详解】当时，在上单调递增， 且时，当增大时，图象越来越平缓，所以； 当时，在上单调递减， 不妨令，根据题图可得，所以； 综上可得. 2．在同一坐标系内，函数和的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时： 直线：斜率，轴截距，故直线过一、三、四象限. 幂函数：若，在递增且“上凸”，无此选项. 若，是偶函数，图像为开口向上的抛物线，对应选项C. 若，在递增且“下凸”，无此选项. 当时： 直线：斜率，轴截距，故直线过一、二、四象限，无此选项. 幂函数：在递减，对应选项A、D，但A中直线截距为负，D中直线截距为负，均与矛盾. 综上，只有选项C符合条件. 3．函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为，故C选项错误，D选项错误； 函数是奇函数，所以函数图象关于原点对称，故B选项错误；A选项正确； 4．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得函数的定义域，再求得为偶函数，且在上单调递减，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，则满足，解得， 即函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除BD选项， 又由幂函数的性质，可得在上单调递减， 所以选项A的图象符合题意. 方法技巧 x>1，指数越大图像越高；0<x<1指数越大图像越低. 题型1 幂函数识别与求参数 1．已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】D 【分析】先根据幂函数的定义与单调性求出参数的值，再利用“乘1法”结合基本不等式求的最小值. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或． 因为在上单调递减，所以，则， 所以，则，且，， 所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为4． 2．“”是“函数在区间上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由幂函数性质分析充分性和必要性即可得解. 【详解】当时，幂函数单调递增，充分性成立； 幂函数在区间上单调递增，则，必要性成立. 综上，“”是“函数在区间上单调递增”的充要条件. 故选：C.14．已知幂函数（为常数）的图象经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据解得，继而确定的定义域与单调性，再结合定义域与单调性，解不等式即可. 【详解】∵幂函数的图象经过点，，解得， 故，. 因为，故在定义域上单调递增， 故由，可得解得. 故选：C. 3．已知幂函数在上单调递增，则实数_____． 【答案】6 【详解】由题意得，，解得，. 4．若“，”是假命题，则a的最大值是________． 【答案】 【分析】根据存在量词命题的否定为真命题可得“”，再分离参数即可得到答案. 【详解】因为“”为假命题， 所以它的否定“”为真命题， 所以对恒成立， 当时，， 即，所以. 即实数的最大值为. 故答案为： 方法技巧 抓住标准形式，x前系数 = 1，无额外常数项。 题型2 利用幂函数单调性解不等式 1．已知幂函数的图象经过点，且，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】首先求得函数的解析式，然后求解实数的取值范围即可. 【详解】设幂函数的解析式为，由题意可得：， 即幂函数的解析式为：， 则即：， 得：，求解不等式组可得实数的取值范围是. 故答案为： 2．设是幂函数，若，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义求出的值，得到函数解析式，结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，所以． 易知是增函数. 因为，所以，解得． 故答案为：. 3．若幂函数的图象过点，则不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】设，根据函数过点求出参数的值，即可得到函数解析式，从而判断其单调性，根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式即可求解. 【详解】设，则，即，所以，解得， 所以，则在定义域上单调递增； 所以由得，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为： 方法技巧 先求定义域，再利用单调性去掉幂符号，注意不等号方向。 题型3 幂函数定点问题 1．函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的性质，令，可得定点的横坐标，然后利用幂函数的性质求定点的纵坐标． 【详解】令，即时， ， 图象恒过定点． 故选：B. 2．函数的图象过定点______. 【答案】 【详解】由，解得，代入函数，可得， 所以函数图象恒过定点. 3．函数的图像恒过点________________． 【答案】 【详解】令得，此时，所以的图象恒过. 4．已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． 【答案】3 【分析】根据幂函数过定点得的图象过定点，进而得 【详解】令，则，故的图象过定点， 故，． 故答案为：3． 方法技巧 分层：内层函数值域作为外层幂函数的底数范围。 1．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 2．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 1．“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据幂函数定义及充分必要条件关系可判断. 【详解】若函数为幂函数，则，解得， 所以“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A 2．下列幂函数中过点 ，的偶函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数为的形式，每个选项都是幂函数，再求出每个函数的定义域，判断奇偶性可排除A、D，再根据函数过点排除C，得到满足条件的幂函数为. 【详解】函数 定义域为 ，所以不是偶函数，选项A错误； 函数是幂函数，且 图像过点 ，，定义域为, 且 ，所以为偶函数，选项B正确； 函数定义域为 ，所以函数图像不过点，选项C不对； 函数的定义域为，所以不是偶函数，选项D错误； 故选：B 3．已知幂函数的图象不经过原点，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据幂函数的定义求出的可能取值，再结合图象不过原点的约束筛选出符合条件的，最后代入计算函数值即可. 【详解】由题意可得，解得或， 当时，，此时图象不经过原点，符合题意； 当时，，此时图象经过原点，不符合题意； 所以，. 4．函数的单调递增区间是（    ） A．（） B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数法单调性可求出函数的递增区间. 【详解】令， 则， 所以的定义域为 而抛物线，的开口向下， 故在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增, 的单调递增区间为. 故选：C. 2 5．幂函数的图像过点，则它在上的最大值为（    ） A． B．－1 C．1 D．－3 【答案】C 【分析】设出幂函数的解析式，待定系数法求出，结合函数的单调性，求出最大值. 【详解】设幂函数，将代入，得：， 解得：， 故，它在上单调递减，故当时，取得最大值， . 故选：C 6．若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 【答案】C 【详解】函数为幂函数，，得， ，定义域为， ，故在定义域内为奇函数，故D选项错误，C选项正确； 根据幂函数的性质知在，上单调递减，但在其整个定义域上不具有单调性，故选项A，B错误. 7．下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对A，因为和都是定义在上的增函数，所以是增函数， 又，所以为奇函数，正确； 对B，由反比例函数性质可知，在定义域内不单调，错误； 对C，由对勾函数性质可知，在定义域内不单调，错误； 对D，因为，所以，所以是偶函数， 由幂函数性质可知，函数在上单调递增，在上单调递减，错误. 8．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性定义和幂函数性质得在上单调递增，并将所求不等式化为，利用单调性可得自变量大小关系，进而求得结果. 【详解】的定义域为，， 为定义在上的奇函数； 由幂函数性质知：在上单调递增； 由得：， ，解得：，不等式的解集为. 故选：D. 9．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助是增函数，直接得解. 【详解】因为是增函数， 因为，所以， 即. 故选：C 10．关于幂函数，下列结论正确的是（   ） A．的图象经过原点 B．为偶函数 C．的值域为 D．在区间上单调递增 【答案】BC 【分析】先由是幂函数得到的值，从而可得的解析式，然后根据幂函数的图象性质依次判断各选项即可. 【详解】由题意，，所以，所以，即． 对于A，的定义域为，故的图象不经过原点，A错误； 对于B，因为的定义域为，且，故为偶函数，B正确； 对于C，由于，故值域为，C正确； 对于D，由于，故在区间上单调递减，D错误． 故选：BC． 11．幂函数的图象过点，则实数____________． 【答案】 【分析】将已知点的坐标代入幂函数解析式，结合指数运算性质求解实数的值 【详解】已知幂函数的图像过点，因此该点坐标满足函数解析式，将，代入得： ， 根据根式与分数指数幂的转换规则，，因此等式可改写为： ， 由于底数且，指数函数在上单调递调，同底数幂相等时指数相等，因此可得. 12．如果幂函数的图像经过点，那么解析式是________． 【答案】 【详解】设， 所以，解得：，故. 13．已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 【答案】 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，为偶函数，图象关于轴对称. 当时，为奇函数，图象关于原点对称，不符. 所以， 14．已知幂函数的图象过点，则的定义域为___________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出幂函数，再由幂函数有意义列出不等式组求解. 【详解】设， 代入点，可得，解得， 所以， 要使有意义， 则，解得， 所以函数的定义域为. 15．已知幂函数在区间上单调递增. (1)求k的值； (2)（i）若，求的值； （ii）求的值域. 【答案】(1) (2)（i）2；（ii） 【分析】（1）由幂函数的定义可得，再利用在上单调递增，即可求解； （2）（i）根据（1）可知，将转化为有关的式子即可求解，方法二：求出代入即可求解；（ii）根据换元法可设，再根据函数的对称轴，可求出最小值.，方法二：因为在上单调递增，可求解. 【详解】（1）由已知，得或， 又因为在区间上单调递增，所以. （2）， （i）法一： 法二：可解得， 将即可求得. （ii）法一：， 令，， 对称轴，所以当时取到最小值2， 所以值域为. 方法二：因为在上单调递增. 所以，所以值域为. 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $