第13讲 幂函数（2大知识点+9大题型）讲义-2026年新高一数学暑期衔接进阶讲义（人教A版）

第13讲 幂函数 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一、幂函数概念 3 知识点二、幂函数的图象及性质 3 03 题型精讲举一反三 5 题型 1：幂函数的基本概念 5 题型 2：求幂函数的解析式 5 题型 3：幂函数定义域问题 6 题型 4：幂函数值域问题 6 题型 5：幂函数的图象 8 题型 6：幂函数定点问题 11 题型 7：利用单调性解不等式 11 题型 8：幂值大小比较 13 题型 9：幂函数性质综合应用 14 04 过关测试 16 知识点一、幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 知识点诠释： 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数． 知识点二、幂函数的图象及性质 1、作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 知识点诠释： 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2、作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 3、幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4、幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 题型 1：幂函数的基本概念 例1．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·高一·四川成都·期末）下列函数中，既是幂函数，又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·高一·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 变式1．下列函数中是幂函数的是（    ） ① ；②；③ ；④；⑤ ；⑥ . A．① ③ ⑤ B．① ② ⑤ C．③ ⑤ D．只有⑤ 变式2．下列函数中，属于幂函数的是（   ） A． B． C． D． 题型 2：求幂函数的解析式 例4．（2026·高一·广东佛山·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．2 B． C．3 D． 例5．（2026·高一·贵州黔东南·期末）已知幂函数的图象过点，则的值为（   ） A．2 B．4 C．0 D．-2 例6．（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）若幂函数的图象经过点，则（   ） A． B． C．2 D． 变式3．（2026·高一·浙江·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 变式4．（2026·高一·甘肃天水·期末）若幂函数的图象经过点，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 题型 3：幂函数定义域问题 例7．（2026·高一·湖北孝感·期末）已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 例8．幂函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 例9．（2026·高一·广东深圳·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 变式5．（2026·高一·河南·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 变式6．（2026·高一·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型 4：幂函数值域问题 例10．（2026·高一·浙江宁波·期中）幂函数在第一象限的大致图象如图所示. (1)求的解析式，并写出其值域； (2)若，求的值. 例11．（2026·高一·陕西商洛·期中）已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 例12．（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域． （2）求函数的值域． 变式7．已知幂函数在区间上是减函数． (1)求函数的解析式； (2)讨论函数的奇偶性和单调性； (3)求函数的值域． 变式8．（2026·高一·福建龙岩·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的值； (2)设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 变式9．（2026·高一·全国·单元测试）已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的． （1）求实数k的值； （2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值． 题型 5：幂函数的图象 例13．在同一坐标系内，函数和的图像可能是（    ） A． B． C． D． 例14．（2026·高一·浙江·开学考试）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 例15．（2026·高一·新疆和田·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 变式10．（2026·高一·上海嘉定·期中）图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ） A． B． C． D． 变式11．（2026·高一·江苏南京·阶段检测）在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 变式12．（2026·高一·全国·单元测试）已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型 6：幂函数定点问题 例16．函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 例17．（2026·高三·黑龙江伊春·开学考试）已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 例18．（2026·高一·海南·阶段检测）下列幂函数中，其图象关于y轴对称且过点、的是（    ） A． B． C． D． 变式13．（2026·高一·天津滨海新区·期中）已知函数，的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 变式14．函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 变式15．（2026·高一·四川凉山·期末）若函数与图象关于对称，且，则必过定点（    ） A． B． C． D． 题型 7：利用单调性解不等式 例19．（2026·高一·河北·期末）已知幂函数在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若命题：，为假命题，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集． 例20．（2026·高一·天津·期末）已知幂函数在第一象限上是增函数． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 例21．（2026·高一·辽宁·期末）已知幂函数的定义域为. (1)求； (2)解不等式. 变式16．（2026·高一·重庆璧山·阶段检测）已知幂函数为奇函数． (1)求； (2)若，解关于的不等式． 变式17．（2026·高一·上海虹口·期末）已知幂函数在上是严格减函数，其中． (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 变式18．（2026·高一·陕西西安·阶段检测）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间上单调递增. (1)求的值； (2)求满足不等式的实数的取值范围. 变式19．（2026·高一·福建莆田·期末）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于x的不等式的解集（其中）. 题型 8：幂值大小比较 例22．（2026·高一·江苏连云港·期末）下列比较大小中错误的是（      ） A． B． C． D． 例23．（2026·高一·云南楚雄·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 例24．（2026·高一·广东广州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 变式20．（2026·高一·四川凉山·期末）已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 变式21．（2026·高一·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（   ） A．函数为偶函数 B．若，则 C．设，则 D． 变式22．（2026·高一·全国·阶段检测）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型 9：幂函数性质综合应用 例25．（2026·高一·浙江杭州·期中）（1）求下列不等式的解集：（i）；（ii）； （2）已知幂函数在上单调递增，设，当时，求函数的值域． 例26．（2026·高一·辽宁盘锦·开学考试）已知幂函数. (1)求的解析式； (2)设，证明：在其定义域上单调递减. 例27．（2026·高一·天津西青·期末）已知幂函数的图象过点，且函数. (1)求幂函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，使得不等式有解，求实数取值范围. 变式23．（2026·高一·江苏无锡·期末）已知函数为幂函数，且为奇函数. (1)求的值： (2)求函数在上的最大值. 变式24．（2026·高一·福建漳州·期末）已知幂函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 变式25．（2026·高一·湖南邵阳·期末）已知幂函数在上单调递减，. (1)当时，求的表达式并直接写出在的单调区间． (2)若在上的最小值为，求的值． 1．（2026·高一·河北衡水·期中）已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 2．（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 3．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）已知函数满足：对任意的，有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·四川·二模）“”是“是幂函数且在上单调递减”（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·高三·天津红桥·开学考试）已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B．16 C． D． 6．（2026·高一·广东肇庆·期中）下列四个函数中，在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·重庆渝中·期中）已知幂函数是定义域上的偶函数，则（    ） A．或3 B．3 C． D． 8．（2026·高一·江苏·期末）幂函数的图象过点，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·四川宜宾·期中）下列说法正确的是（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数和，是同一个函数 C．幂函数在是减函数 D．函数的图象关于点成中心对称 10．（多选题）（2026·高一·浙江杭州·期中）若幂函数的图像经过点，则下列说法中正确的是（   ） A．为偶函数 B．若，则 C．为增函数 D．函数为偶函数 11．（多选题）（2026·高一·江苏常州·期末）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是奇函数 C． D．函数的值域为 12．（多选题）（2026·高一·四川成都·期末）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数为偶函数 C．令函数，则不等式的解集为 D．若函数，，，则 13．（2026·高一·甘肃兰州·期中）已知幂函数在区间上单调递增，则___________． 14．（2026·高一·安徽六安·阶段检测）函数的单调递减区间为________ 15．（2026·高一·河北石家庄·开学考试）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为_________． 16．（2026·高一·江西赣州·期末）已知幂函数在区间上单调递增，函数是定义域为的奇函数，且满足时，. (1)求的解析式； (2)解关于的不等式. 17．（2026·高一·河南·期末）已知幂函数（）的图象经过点. (1)求的值及的解析式； (2)求不等式的解集. 18．（2026·高一·湖北武汉·期末）已知幂函数在上单调递增. (1)求的值及函数的解析式； (2)设函数在区间上的最小值为5，求实数的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 幂函数 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一、幂函数概念 3 知识点二、幂函数的图象及性质 3 03 题型精讲举一反三 5 题型 1：幂函数的基本概念 5 题型 2：求幂函数的解析式 6 题型 3：幂函数定义域问题 7 题型 4：幂函数值域问题 9 题型 5：幂函数的图象 13 题型 6：幂函数定点问题 17 题型 7：利用单调性解不等式 18 题型 8：幂值大小比较 22 题型 9：幂函数性质综合应用 25 04 过关测试 30 知识点一、幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 知识点诠释： 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数． 知识点二、幂函数的图象及性质 1、作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 知识点诠释： 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 2、作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 3、幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 4、幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 题型 1：幂函数的基本概念 例1．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是幂函数； B选项不满足系数为1的特征，所以不是幂函数； C选项不符合y＝xα的单一形式，所以不是幂函数； D选项是幂函数. 例2．（2026·高一·四川成都·期末）下列函数中，既是幂函数，又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，均不是幂函数， 在上单调递增， 是幂函数，且在上单调递减． 故答案为：B. 例3．（2026·高一·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于选项A，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项B，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项C，不符合幂函数的形式，不是幂函数； 对于选项D，符合幂函数的形式，是幂函数. 故选：C. 变式1．下列函数中是幂函数的是（    ） ① ；②；③ ；④；⑤ ；⑥ . A．① ③ ⑤ B．① ② ⑤ C．③ ⑤ D．只有⑤ 【答案】C 【解析】的系数是而不是1，故①不是幂函数； 是指数函数，故②不是幂函数； 的底数是而不是，故④不是幂函数； 是两个幂函数和的形式，故⑥也不是幂函数； 而和具有幂函数的形式，故③ ⑤是幂函数. 故选：C. 变式2．下列函数中，属于幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】形如（α为常数且α∈R）为幂函数，要求底数为变量且系数为1， 对比选项仅有B：符合要求. 故选：B. 题型 2：求幂函数的解析式 例4．（2026·高一·广东佛山·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】幂函数的一般形式为（为常数），所以， 解得，故幂函数解析式为， ． 故选：B． 例5．（2026·高一·贵州黔东南·期末）已知幂函数的图象过点，则的值为（   ） A．2 B．4 C．0 D．-2 【答案】B 【解析】由幂函数的图象过点，知， ，所以， 故. 故选：B. 例6．（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）若幂函数的图象经过点，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】因为幂函数的图象经过点， 所以，即，所以，解得． 故选：A 变式3．（2026·高一·浙江·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为幂函数，， 又因为图象过，所以，即，得. 故选：C. 变式4．（2026·高一·甘肃天水·期末）若幂函数的图象经过点，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】因为为幂函数，所以设， ，解得， 所以，所以. 故选：B 题型 3：幂函数定义域问题 例7．（2026·高一·湖北孝感·期末）已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，因为幂函数的图象经过点 所以，即，解得， 所以，故要使函数有意义，则, 所以函数的定义域为 故选：C 例8．幂函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，即的定义域为. 故选：B. 例9．（2026·高一·广东深圳·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】是幂函数，设，将代入解析式， 得，即，解得. 故，则， 所以，所以， 所以函数的定义域是. 故选：D. 变式5．（2026·高一·河南·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解得． 故选：D． 变式6．（2026·高一·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A 题型 4：幂函数值域问题 例10．（2026·高一·浙江宁波·期中）幂函数在第一象限的大致图象如图所示. (1)求的解析式，并写出其值域； (2)若，求的值. 【解析】（1）因为是幂函数， 所以，解得或, 所以或. 由图知在第一象限的图象是曲线，不是直线，所以. 所以的定义域为，值域也为. （2）由（1）知， 由得. 所以. 例11．（2026·高一·陕西商洛·期中）已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 【解析】因为在上为增函数，所以，解得， 又，所以，或． 又因为，所以是偶函数，所以为偶数． 当时，满足题意；当时，不满足题意， 所以， 又因为在上递增，所以，， 故时，的值域是． 例12．（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域． （2）求函数的值域． 【解析】（1）由于， 则，，， 所以过点， 故的图象，如图所示，函数的定义域为； （2）由题可知， 设，则， 当时取等号，故的值域为． 变式7．已知幂函数在区间上是减函数． (1)求函数的解析式； (2)讨论函数的奇偶性和单调性； (3)求函数的值域． 【解析】（1）依题意，即，解得，因为，所以或或，所以或或 （2）若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减； 若定义域为，则为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减； 若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减； （3）若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为； 若，则为偶函数，当时，所以时，所以函数的值域为； 若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为； 变式8．（2026·高一·福建龙岩·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的值； (2)设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由幂函数定义，知，解得或， 当时，的图象不关于轴对称，舍去， 当时，的图象关于轴对称，符合题意，因此． （2）由上易知， 由于对任意的，总存在，使成立， 设函数在上的值域为集合，函数在的值域为集合， 所以， 易知当时，的值域，则集合， 当时，的值域为，则集合， 又，得，解得. 变式9．（2026·高一·全国·单元测试）已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的． （1）求实数k的值； （2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值． 【解析】（1）为幂函数， ∴，解得或， 又在区间内的函数图象是上升的， ， ∴k＝2； （2）∵存在实数a，b使得函数在区间上的值域为，且， ∴，即， ，∴a＝0，b＝1． 题型 5：幂函数的图象 例13．在同一坐标系内，函数和的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时： 直线：斜率，轴截距，故直线过一、三、四象限. 幂函数：若，在递增且“上凸”，无此选项. 若，是偶函数，图像为开口向上的抛物线，对应选项C. 若，在递增且“下凸”，无此选项. 当时： 直线：斜率，轴截距，故直线过一、二、四象限，无此选项. 幂函数：在递减，对应选项A、D，但A中直线截距为负，D中直线截距为负，均与矛盾. 综上，只有选项C符合条件. 例14．（2026·高一·浙江·开学考试）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数，则满足，解得， 即函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除BD选项， 又由幂函数的性质，可得在上单调递减， 所以选项A的图象符合题意. 例15．（2026·高一·新疆和田·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为幂函数的指数，所以在单调递减， 又因为定义域为，， 所以为偶函数，则在单调递增， 故选：B． 变式10．（2026·高一·上海嘉定·期中）图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令图象为的幂函数分别为， 观察图象知，曲线在第一象限内从左到右下降，对应函数在上单调递减，则； 曲线在第一象限内从左到右都上升，对应函数在上都单调递增， 而在时，曲线在直线上方，曲线在直线下方，则， 因此. 故选：D 变式11．（2026·高一·江苏南京·阶段检测）在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，结合函数的图象得，结合的图象得，即，可能成立，故A正确； 对于B，结合函数的图象得，结合的图象得，即，两者矛盾，故B错误； 对于C，结合函数的图象得，结合的图象得，即，两者矛盾，故C错误； 对于D，结合函数的图象得，结合的图象得，无解，故D错误； 故选：A. 变式12．（2026·高一·全国·单元测试）已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图象可知，所以， 根据幂函数的性质可知函数和在第一象限分别是单调递增、单调递减，显然只有B项正确. 故选：B 题型 6：幂函数定点问题 例16．函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，即时， ， 图象恒过定点． 故选：B. 例17．（2026·高三·黑龙江伊春·开学考试）已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为幂函数的图象过定点，即有， 所以， 即的图象经过定点. 故选：B. 例18．（2026·高一·海南·阶段检测）下列幂函数中，其图象关于y轴对称且过点、的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A项，函数图象在第一象限，故不关于轴对称，故不符合； B项，函数图象关于原点对称，且过，符合； C项，指数小于0，故其图象不过点，故不符合； D项，函数图象关于原点对称，故不符合； 故选：B 变式13．（2026·高一·天津滨海新区·期中）已知函数，的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】D 【解析】依题意，，则，因此， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故选：D 变式14．函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，所以函数的图象过定点. 故选：A. 变式15．（2026·高一·四川凉山·期末）若函数与图象关于对称，且，则必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求出函数的解析式，利用求出函数的图象所过的定点坐标，然后利用两函数图象的对称关系可求出函数所过定点的坐标.，，， 所以，函数的图象过定点， 又函数与图象关于对称，因此，函数必过定点. 故选：D. 题型 7：利用单调性解不等式 例19．（2026·高一·河北·期末）已知幂函数在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若命题：，为假命题，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集． 【解析】（1）因为是幂函数，所以，解得或； 当时，，在上单调递减，符合题意； 当时，，在上单调递增，不符合题意，舍去； 所以，的解析式为； （2）因为命题“”为假命题，所以其否定“”为真命题； 由（1）知，则，所以在上恒成立，即在上恒成立； 设，在上单调递增； 则，因为在上恒成立，所以，即实数的取值范围是； （3）由，不等式 即为 ， 由“数轴标根法”求得不等式的解集为：. 例20．（2026·高一·天津·期末）已知幂函数在第一象限上是增函数． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为是幂函数， 所以， 解得或， 又在第一象限上是增函数，故， 所以，则. （2）由（1）知在上是增函数， 又的定义域为， 所以解得， 所以的取值范围是. 例21．（2026·高一·辽宁·期末）已知幂函数的定义域为. (1)求； (2)解不等式. 【解析】（1）因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，定义域为，符合题意， 当时，定义域为，不符合题意， 故. （2）由（1）得，所以在上单调递增， 所以由可得， 所以， 所以，解得. 变式16．（2026·高一·重庆璧山·阶段检测）已知幂函数为奇函数． (1)求； (2)若，解关于的不等式． 【解析】（1）因为函数是幂函数， 所以，解得或， 又因为是奇函数， 所以. （2）由（1）知，所以在上单调递增， 所以由可得， 所以，即， 解得， 所以不等式解集为. 变式17．（2026·高一·上海虹口·期末）已知幂函数在上是严格减函数，其中． (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 【解析】（1）由已知可得， 即， 解得或 当，则在上严格减，符合条件， 当，则在上严格增，不符合条件， 综上所述，． （2）由（1）及不等式，有， 可得， 解得或． 故所求解集为． 变式18．（2026·高一·陕西西安·阶段检测）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间上单调递增. (1)求的值； (2)求满足不等式的实数的取值范围. 【解析】（1）由题意，幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增，故可知其指数为正偶数， 故有，解得或. 若，则，此时为偶函数，符合题意； 若，则，此时为偶函数，符合题意. 综上所述，或，. （2）由，可得，整理得， 解得，即. 变式19．（2026·高一·福建莆田·期末）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于x的不等式的解集（其中）. 【解析】（1）由题意可得，解得或， 又因为在上单调递增，所以， 所以，所以. （2）由（1）知， 又因为函数在区间上是增函数， 所以，解得或，即的取值范围为. （3）不等式转化为，则. 当时，解得或，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 题型 8：幂值大小比较 例22．（2026·高一·江苏连云港·期末）下列比较大小中错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 且为偶函数，所以， 因为，所以，所以，故B正确； 对于C，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 因为所以，故C正确； 对于D，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 且为奇函数，所以， 因为，所以，所以，故D错误. 故选：D. 例23．（2026·高一·云南楚雄·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是增函数， 因为，所以， 即. 故选：C 例24．（2026·高一·广东广州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在上单调递增，又，所以， 又因为在上单调递增，又，所以， 故. 故选：A. 变式20．（2026·高一·四川凉山·期末）已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为幂函数在上为增函数， 且，， ，所以. 故选：B. 变式21．（2026·高一·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（   ） A．函数为偶函数 B．若，则 C．设，则 D． 【答案】C 【解析】设，因为幂函数的图象经过点，所以，所以，所以， 因为的定义域为，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误； 因为在上单调递增， 所以当时， ，故B错误； 设，则， 所以，故C正确； 因为任意，都有，故D错误． 故选：C 变式22．（2026·高一·全国·阶段检测）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，均为正数， 因为，且， 所以，由在上单调递增可知． 故选：B． 题型 9：幂函数性质综合应用 例25．（2026·高一·浙江杭州·期中）（1）求下列不等式的解集：（i）；（ii）； （2）已知幂函数在上单调递增，设，当时，求函数的值域． 【解析】（1）（i）因式分解得， 解得，所以原不等式的解集为. （ii）移项，得，通分得，即，等价于， 解得，所以原不等式的解集为. （2）函数为幂函数，，解得或， 又在上单调递增，，即， ，对称轴为，在上单调递增， ，故函数的值域为. 例26．（2026·高一·辽宁盘锦·开学考试）已知幂函数. (1)求的解析式； (2)设，证明：在其定义域上单调递减. 【解析】（1）由题意得，解得， 则. （2），定义域为， 任取，则， 因为，则，， 则，即，则在上单调递减 例27．（2026·高一·天津西青·期末）已知幂函数的图象过点，且函数. (1)求幂函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，使得不等式有解，求实数取值范围. 【解析】（1）设幂函数为 ，其图象过点， ，解得， 故幂函数的解析式为； （2）由（1）知，故， 任取， 则. 因为，则有，，且，. 所以，即. 故在上单调递增； （3）由（2）知在上单调递增， 所以，即 令，则不等式有解等价于在上有解， 即，. 令，， 易得在区间上单调递减，在上单调递增， 则有，即. 综上，实数的取值范围是. 变式23．（2026·高一·江苏无锡·期末）已知函数为幂函数，且为奇函数. (1)求的值： (2)求函数在上的最大值. 【解析】（1）因为函数为幂函数， 所以，即，解得或. 当时，，此时为奇函数，满足条件； 当时，，此时为偶函数，不满足条件； 所以. （2）由（1）知，，所以，对称轴为. 因为，所以. 结合二次函数的对称性可知， 当时， . 当时，. 综上，当时，函数在上的最大值为8，当时，最大值为. 变式24．（2026·高一·福建漳州·期末）已知幂函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 【解析】（1）因为函数是幂函数， 所以，解得或. 当时，；当时，， 因为函数关于轴对称，所以函数是偶函数，即， 故. （2）由（1）知， 因为在区间上的最小值为，所以 ①当，即时，在区间上单调递增， 所以，解得，符合； ②当，即时，，解得， 又因为，所以； ③当，即时，在区间上单调递减， 所以，解得，不符合，舍去. 综上可得，的值为或3. 变式25．（2026·高一·湖南邵阳·期末）已知幂函数在上单调递减，. (1)当时，求的表达式并直接写出在的单调区间． (2)若在上的最小值为，求的值． 【解析】（1）因为幂函数在上单调递减， 所以，解得，故， 所以， 当时，，根据对勾函数的单调性， 所以函数在的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）由（1）可知， ①当时，因为函数、在上均为减函数， 则函数在上单调递减，则，解得（舍去）； ②当时，函数在上单调递减， 此时，不符合题意； ③当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 若，即当时，函数在上单调递增，则，符合题意， 若，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得（舍去）， 当时，即当时，函数在上单调递减， 此时，解得（舍去）． 综上所述，． 1．（2026·高一·河北衡水·期中）已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】D 【解析】因为为幂函数，所以，解得或． 因为在上单调递减，所以，则， 所以，则，且，， 所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为4． 2．（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】C 【解析】由于为幂函数，所以，解得或， 又函数在上单调递减， 所以，即 故当时符合条件． 3．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）已知函数满足：对任意的，有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为对任意的，有， 所以在R上单调递增， 因为， 所以，解得， 则实数的取值范围是. 4．（2026·四川·二模）“”是“是幂函数且在上单调递减”（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】充分性分析：，， 是幂函数且在上单调递减，故充分性成立； 必要性分析：是幂函数，， ，，或， 当时，在上单调递减，符合题意； 当时，在上单调递减，符合题意； 综上可知，是幂函数且在上单调递减， 则或，故必要性不成立， 故“”是“是幂函数且在上单调递减”的充分不必要条件. 5．（2026·高三·天津红桥·开学考试）已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B．16 C． D． 【答案】A 【解析】因为为幂函数，所以，解得或， 因为在 上单调递减，所以，则， 所以，则，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 6．（2026·高一·广东肇庆·期中）下列四个函数中，在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，依次分析选项： 对于A，，是一次函数，在上单调递增，不符合题意； 对于B，，是二次函数，在上单调递增，不符合题意； 对于C，是反比例函数，在上单调递增，不符合题意； 对于D，，在上单调递减，符合题意. 故选：D. 7．（2026·高一·重庆渝中·期中）已知幂函数是定义域上的偶函数，则（    ） A．或3 B．3 C． D． 【答案】B 【解析】由条件得，解得或. 当时，是上的偶函数，符合题意； 当时，是上的奇函数，不符合题意，所以， 故选：B. 8．（2026·高一·江苏·期末）幂函数的图象过点，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设幂函数， 因为函数的图象过点， 所以，所以， 故， 所以. 令，所以， 则， 所以当时，. 故选：C. 9．（多选题）（2026·高一·四川宜宾·期中）下列说法正确的是（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数和，是同一个函数 C．幂函数在是减函数 D．函数的图象关于点成中心对称 【答案】BD 【解析】对于A，若函数的定义域为，则函数的定义域为，A错误； 对于B，函数的定义域为，则，，可得函数和是同一个函数，B正确； 对于C，幂函数在是增函数，C错误； 对于D，，其图象由向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到， 且图象关于原点对称，故函数的图象关于点成中心对称，D正确． 10．（多选题）（2026·高一·浙江杭州·期中）若幂函数的图像经过点，则下列说法中正确的是（   ） A．为偶函数 B．若，则 C．为增函数 D．函数为偶函数 【答案】BCD 【解析】因为幂函数的图像经过点，所以， 所以， 对于A，因为定义域关于原点不对称，所以不为偶函数，故A错误； 对于BC，因为，所以在单调递增， 所以当，则，故BC正确； 对于D，定义域为，，所以为偶函数，故D正确． 11．（多选题）（2026·高一·江苏常州·期末）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是奇函数 C． D．函数的值域为 【答案】AD 【解析】对于A选项，由幂函数定义可知，系数，解得或， 又因为，所以，故A正确； 对于B选项，当时，，其定义域为， 且满足，所以函数是偶函数，故B错误； 对于C选项，由可知，，， 所以，故C错误； 对于D选项，函数的值域为，故D正确. 12．（多选题）（2026·高一·四川成都·期末）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数为偶函数 C．令函数，则不等式的解集为 D．若函数，，，则 【答案】ABD 【解析】设幂函数的解析式为， 因为幂函数 的图象经过点，所以，解得，即， 对于A，函数的定义域为，故A正确； 对于B，因为，且的定义域为， 故为偶函数，故B正确； 对于C，，故为偶函数， 因为在上为增函数，而在上为增函数， 故在上为增函数，而即为， 故，故即的解集为，故C错误； 对于D， ， 而 ， 因为，，故， 当且仅当等号成立，故， 故，即， 当且仅当等号成立，故D成立. 13．（2026·高一·甘肃兰州·期中）已知幂函数在区间上单调递增，则___________． 【答案】2 【解析】因为幂函数在区间上单调递增， 则，解得. 14．（2026·高一·安徽六安·阶段检测）函数的单调递减区间为________ 【答案】 【解析】，解得， 函数的定义域为， 令， 当时，单调递减，单调递增， 函数在上单调递减， 函数的单调递减区间为． 15．（2026·高一·河北石家庄·开学考试）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【解析】依题意，在上单调递减， 在上单调递减，两端端点处函数值左边不小于右边， 故，解得， 所以实数的取值范围为. 16．（2026·高一·江西赣州·期末）已知幂函数在区间上单调递增，函数是定义域为的奇函数，且满足时，. (1)求的解析式； (2)解关于的不等式. 【解析】（1）因为函数为幂函数， 所以，解得或. 当时，，在上单调递减，不符合题意； 当时，，在上单调递增，符合题意； 所以，， 所以时，. 因为函数是定义在R上的奇函数，所以，， 当时，，则. 故. ∴. （2）由（1）中的解析式易证在上是增函数. ， ， ，即 当时，原不等式可化为，即，所以， 所以此时不等式的解集为. 当时，的两根为，. 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为. 17．（2026·高一·河南·期末）已知幂函数（）的图象经过点. (1)求的值及的解析式； (2)求不等式的解集. 【解析】（1）因为为幂函数，所以，解得， 因为的图象经过点， 所以，则， 解得或， 又，故，则， 所以． （2）由（1）知， 则即为， 整理得，即， 解得， 所以原不等式的解集为． 18．（2026·高一·湖北武汉·期末）已知幂函数在上单调递增. (1)求的值及函数的解析式； (2)设函数在区间上的最小值为5，求实数的值. 【解析】（1）因为是幂函数，所以. 解得或. 当时，，在上单调递减，不合题意，舍去. 当时，，在上单调递增，符合题意. 所以，. （2）已知， 其图象是开口向上的抛物线，对称轴为. ， ①当，即时，在上单调递增， 则，解得，不满足，舍去； ②当，即时，在处取得最小值， 即， 整理得，解得，因，故； ③当，即时，在上单调递减， 则，解得，不满足，舍去. 综上可得，. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $