第19讲 任意角和弧度制 - 人教A版必修第一册-2026年普通高中学业水平考试过关复习讲义

第19讲 任意角和弧度制 . 学 考 要 求 了解任意角的概念和弧度制的意义，理解弧度与角度的互化，掌握扇形的面积公式与弧长公式. . 知 识 必 备 1．角的概念的推广 （1）定义：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边. （2）分类 （3）终边相同的角：所有与角终边相同的角组成一个集合. 2．弧度制的定义和公式 （1）定义：长度等于_______的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1rad. （2）公式 角的弧度数公式 （弧长用表示） 角度与弧度的换算 _____；（为角度数，为弧度数） 弧长公式 弧长________ 扇形面积公式 ______=_________ 3．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 ________ ________ ________ ________________ ________≈________ 4．一些特殊角与弧度数的对应关系 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ . 典 例 探 究 题型一：找出（写出）终边相同的角 例题1：（1）与角的终边相同的最小正角是（   ） A． B． C． D． （2）与角终边相同的角的集合是（    ） A． B． C． D． 题型二：根据图形写出角（范围） 例题2：已知角的终边在图中阴影部分内，则角的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 题型三：确定已知角所在象限 例题3：的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型四：角度与弧度互化 例题4：（1）将角度、分别化为弧度； （2）将弧度、分别化为角度. 题型五：扇形面积与弧长的有关计算 例题5：（1）半径为2的圆中，弧长为的弧所对的圆心角是（    ） A． B． C． D． （2）单位圆中，120°的圆心角所对的弧长为（    ） A． B． C． D． （3）圆心角为，半径为1的扇形，则扇形面积为（ ） A． B． C． D． （4）若扇形周长为12，当这个扇形的面积最大时，下列结论不正确的是（   ） A．扇形的圆心角为2 B．扇形的弧长为6 C．扇形的半径为6 D．扇形圆心角所对弦长为 . 过 关 检 测 1、 选择题 1．角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 2．下列各角中与角的终边相同的是（    ） A． B． C． D． 3．把化成角度是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 4．如图所示，终边落在阴影部分区域（包括边界）的角的集合是______． 3、 解答题 5．已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为； (1)若，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径. . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．若扇形面积为，圆心角为，则该扇形的半径为（   ） A． B．3 C． D．18 2．砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为（   ） A． B． C． D． 3．集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 4．若，则的终边在第___________象限． 5．已知某时钟的分针长，时间经过5分钟，则时针转过的角为________弧度，分针扫过的扇形的面积为________ 3、 解答题 6．在直角坐标系中，作出下列各角，在范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角. (1)； (2)； (3)； (4). 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 任意角和弧度制 . 学 考 要 求 了解任意角的概念和弧度制的意义，理解弧度与角度的互化，掌握扇形的面积公式与弧长公式. . 知 识 必 备 1．角的概念的推广 （1）定义：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边. （2）分类 （3）终边相同的角：所有与角终边相同的角组成一个集合. 【答案】正角；负角；零角；象限角 2．弧度制的定义和公式 （1）定义：长度等于_______的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1rad. （2）公式 角的弧度数公式 （弧长用表示） 角度与弧度的换算 _____；（为角度数，为弧度数） 弧长公式 弧长________ 扇形面积公式 ______=_________ 【答案】 半径长 π 3．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 ________ ________ ________ ________________ ________≈________ 【答案】 0.01745 4．一些特殊角与弧度数的对应关系 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ 【答案】 0 . 典 例 探 究 题型一：找出（写出）终边相同的角 例题1：（1）与角的终边相同的最小正角是（   ） A． B． C． D． 【解析】由题意，则与角的终边相同的最小正角是. 故选：D （2）与角终边相同的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【解析】与角终边相同的角的集合是.故A正确； 表示终边在直线上的角的集合，故B错误； 表示终边与的终边重合的角的集合，故C错误； 表示终边在直线上的角的集合，故D错误. 故选：A 题型二：根据图形写出角（范围） 例题2：已知角的终边在图中阴影部分内，则角的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 【解析】终边在角的终边所在直线上的角的集合为，终边在角的终边所在直线上的角的集合为，因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围是． 故选：D 题型三：确定已知角所在象限 例题3：的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】因为，所以的终边与的终边相同， 又的终边在第三象限，所以的终边在第三象限. 故选：C 题型四：角度与弧度互化 例题4：（1）将角度、分别化为弧度； （2）将弧度、分别化为角度. 【解析】（1），； （2），. 题型五：扇形面积与弧长的有关计算 例题5：（1）半径为2的圆中，弧长为的弧所对的圆心角是（    ） A． B． C． D． 【解析】由得， 所以圆心角为. （2）单位圆中，120°的圆心角所对的弧长为（    ） A． B． C． D． 【解析】单位圆的半径，(弧度)； 弧长. （3）圆心角为，半径为1的扇形，则扇形面积为（ ） A． B． C． D． 【解析】圆心角为，半径为1的扇形， 扇形面积为 （4）若扇形周长为12，当这个扇形的面积最大时，下列结论不正确的是（   ） A．扇形的圆心角为2 B．扇形的弧长为6 C．扇形的半径为6 D．扇形圆心角所对弦长为 【解析】对于C，设扇形半径为，则弧长，扇形面积， 当且仅当时取等号，C错误 对于B，扇形的弧长，B正确； 对于A，扇形的圆心角为，A正确； 对于D，扇形圆心角所对弦长为，D正确. 故选：C . 过 关 检 测 1、 选择题 1．角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【解析】. 故选：A. 2．下列各角中与角的终边相同的是（    ） A． B． C． D． 【解析】与角的终边相同的角为， 当时，，B正确； 将A，C，D代入，，得出均不是整数， 即其他三个选项均不合要求. 故选：B 3．把化成角度是（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意， 故选：B 2、 填空题 4．如图所示，终边落在阴影部分区域（包括边界）的角的集合是______． 【解析】因为终边落在射线OA上的角的集合是为， 终边落在射线OB上的角的集合为． 所以终边落在阴影部分处（包括边界）的角的集合是． 故答案为： 3、 解答题 5．已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为； (1)若，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径. 【解析】（1）， . （2）由已知得，， 所以 ，， 所以当时，面积取得最大值， 此时 ，所以. . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．若扇形面积为，圆心角为，则该扇形的半径为（   ） A． B．3 C． D．18 【解析】设该扇形的半径为，由扇形面积公式可得，解得. 故选：C 2．砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为（   ） A． B． C． D． 【解析】依题意，，，所以该扇环形砖雕的面积为 . 故选：C 3．集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A． B． C． D． 【解析】当时，， 此时的终边和的终边一样， 当时，， 此时的终边和的终边一样． 故选：C． 2、 填空题 4．若，则的终边在第___________象限． 【解析】由，所以，所以的终边在第二象限. 故答案为：二. 5．已知某时钟的分针长，时间经过5分钟，则时针转过的角为________弧度，分针扫过的扇形的面积为________ 【解析】解；由题意得时针转过的角为， 分针转过面积为． 故答案为：； 3、 解答题 6．在直角坐标系中，作出下列各角，在范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角. (1)； (2)； (3)； (4). 【解析】（1）作图见下图①； ， 可得在范围内， 与的终边相同，不属于任何一个象限； （2）作图见下图②； ，， 可得在范围内，与、这两个角终边相同， 不属于任何一个象限； （3）作图见下图③； ，所以在范围内，与角终边相同的角是， 因为是第三象限角，所以是第三象限角； （4）作图见下图④； ，所以在范围内，与角终边相同的角是， 因为是第三象限角，所以是第三象限角. 1 学科网（北京）股份有限公司 $