第19讲：三角函数的图像与性质【知识梳理+题型总结】讲义-2026届高三数学一轮复习

2026年高三数学一轮复习常考题型归纳 【第19讲：三角函数的图像与性质】 【新高考课程标准要求】 1.能画出三角函数的图象：掌握用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图。例如，在正弦函数，的图象中，五个关键点是、、、、；余弦函数，的图象中，五个关键点是、、、、。 2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值：如对于函数和，要知道其周期为；明确三角函数中奇函数一般可化为或的形式，偶函数一般可化为的形式，并能据此判断函数的奇偶性；同时能够求出三角函数的最大（小）值。 3.借助图象理解三角函数的性质：借助图象理解正弦函数、余弦函数在上，正切函数在上的性质，包括单调性、对称性等。例如，正弦函数在上单调递增，在上单调递减等；还要知道正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期等性质。 【知识梳理】 三角函数的图像与性质知识梳理 一、核心三角函数：正弦函数（）、余弦函数（）、正切函数（） 1. 图像绘制（基础函数） 正弦函数：采用“五点法”绘制一个周期（）的简图，关键坐标为、、、、，图像呈“波浪形”，在上周期性重复。 余弦函数：同样用“五点法”绘制一个周期（），关键坐标为、、、、，图像也为“波浪形”，与正弦函数图像平移相关。 正切函数：先明确定义域（），再用“三点两线”绘制一个周期（），关键点为、、，渐近线为，图像呈“间隔的上升曲线”，在每个定义域区间内独立。 2. 核心性质 （1）正弦函数 定义域：全体实数，即。 值域：，当（）时取最大值；当（）时取最小值。 周期性：最小正周期为，即（）。 奇偶性：奇函数，满足，图像关于原点对称。 单调性：在每个周期内，增区间为（），在此区间内函数值从递增到；减区间为（），在此区间内函数值从递减到。 对称性：对称中心为（），即图像过这些点且绕点旋转后与自身重合；对称轴为（），即沿这些直线对折后图像两侧完全重合。 （2）余弦函数 定义域：全体实数，即。 值域：，当（）时取最大值；当（）时取最小值。 周期性：最小正周期为，即（）。 奇偶性：偶函数，满足，图像关于轴对称。 单调性：在每个周期内，增区间为（），在此区间内函数值从递增到；减区间为（），在此区间内函数值从递减到。 对称性：对称中心为（）；对称轴为（），其中（即轴）是最直观的对称轴。 （3）正切函数 定义域：（），即函数在这些值处无定义，对应图像中的渐近线。 值域：全体实数，即，函数值可无限趋近于正无穷或负无穷。 周期性：最小正周期为，即（），周期是正弦、余弦函数的一半。 奇偶性：奇函数，满足，图像关于原点对称。 单调性：在每个定义域区间（）内均为增函数，无减区间，且在不同定义域区间内的图像不连续（被渐近线分隔）。 对称性：对称中心为（），无对称轴，即图像不存在沿某条直线对折后重合的情况。 【课前自测】 1．（24-25高一上·全国·单元测试）在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题直接求函数定义域即可. 【详解】由题意得，解得，所以， 即在内，函数的定义域为． 故选：C. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的最小正周期为，则在的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】根据最小正周期可以求出参数，再结合函数的单调性求出最值. 【详解】化简原函数得，即 由函数的最小正周期为，可得，所以. 因为，所以时，则， 由，得，， 所以，故选A. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知为偶函数，求的值． 【答案】 【分析】先整理得，进而可得，即得. 【详解】 因为是偶函数，所以， 所以． 4．（2025高三·全国·专题练习）函数的图象的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用整体法求解对称轴方程，即可结合选项求解. 【详解】由题得，解得， 则函数图象对称轴为， 结合选项得为函数图象的一条对称轴． 故选：A 5．（2025高一·全国·专题练习）求下列函数的单调递增区间： (1)，； (2)，． 【答案】(1)（） (2)（） 【分析】（1）由整体代入法结合复合函数单调性列不等式即可求解； （2）由整体代入法结合复合函数单调性列不等式即可求解． 【详解】（1）由（）， 得（）， 所以的单调递增区间是（）． （2）由（）， 得（）， 所以的单调递增区间是（）． 6．（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域为 【答案】 【分析】根据函数定义域的求法结合正切函数性质进行求解即可. 【详解】由，得，    则，即． 所以函数的定义域为． 故答案为：. 7．（24-25高一下·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．在定义域内是增函数 B．是奇函数 C．的最小正周期为 D．图象的一个对称中心是 【答案】D 【分析】代入计算特殊值即可排除AB，根据周期的计算公式即可求解C，代入验证即可求解D. 【详解】对于A， 由于故A错误， 对于B， 由于在处有定义，但，故B错误， 对于C， 的最小正周期为，故C错误， 对于D， ，故是的一个对称中心，故D正确， 故选：D 8．（24-25高一下·广东中山·阶段练习）写出函数的一个对称中心 ． 【答案】（答案不唯一，） 【分析】根据给定条件，利用余弦函数的图象性质求出对称中心. 【详解】函数中，令，解得， 取，则该函数的一个对称中心为. 故答案为： 题型分类 知识讲解与常考题型 【考点一：三角函数的定义域和值域】 【例题】1．（24-25高一下·全国·课后作业）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】要使函数有意义只须，再解不等式可得答案. 【详解】由，得， 解得 故答案为：. 2．（2025高三·全国·专题练习）函数的值域为 【答案】 【分析】运用同角的平方和关系进行换元法，再结合二次函数的最值性质进行求解即可. 【详解】设， 则， 由， 因为，所以，解得， 所以． 因为， 所以当时，取得最小值， 当时，取得最大值． 故函数的值域为． 故答案为： 【针对训练】3．（2025高三·全国·专题练习）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，解不等式组即可. 【详解】由，可得，解得， 所以或， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 4．（2025高一·全国·专题练习）函数，，最小值为 ． 【答案】 【分析】利用换元法，令，则，然后利用二次函数的性质可求出最小值. 【详解】令，则， 所以． 因为在上是减函数， 所以当，即时，， 即最小值为. 故答案为：. 5．（24-25高一下·湖北荆门·期末）若函数在上的值域为，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】借助余弦函数性质计算即可得. 【详解】由，则， 的值域为，则，解得. 故答案为：. 【解题策略】 一、定义域解题策略 三角函数定义域的核心是排除使函数无意义的自变量取值，需结合基本三角函数的定义域限制（如正切函数分母不为0）、复合函数的运算规则（如偶次根式被开方数非负、对数真数大于0）逐步分析。 1. 基本三角函数定义域（直接应用） 正弦函数、余弦函数：对任意实数均有意义，因此定义域由“内层函数的取值范围”直接决定，无需额外排除。 例：求的定义域，因可取全体实数，故定义域为。 正切函数：核心限制是“（）”，解题时需先令“内层函数满足该条件”，再解不等式求的范围。 例：求的定义域，令（），解得（），即定义域为。 2. 复合三角函数定义域（分层分析） 当三角函数与其他函数（如根式、分式、对数）复合时，需逐层列出所有限制条件，再求交集。 步骤：1. 明确复合函数的结构（如“三角函数+根式”“分式+三角函数”）；2. 针对每一层结构列出定义域限制（如偶次根式被开方数≥0、分式分母≠0）；3. 解不等式组，取所有条件的公共解。 例：求的定义域，需同时满足：① 分母≠0（即）；② 偶次根式被开方数≥0（即）。合并得，解得（），即定义域为（）。 二、值域解题策略 三角函数值域的求解核心是利用基本三角函数的值域（，），结合“换元法”将复合函数转化为基本函数，再根据函数单调性、二次函数最值等规则求解。 1. 形如或（） 这是最常见的正弦、余弦复合函数形式，值域由“振幅”和“上下平移量”决定，步骤如下： 1. 确定内层函数范围：令，因的值域与无关，故，。 2. 缩放与平移：根据的正负性，计算（或）的值域： 若，则；若，则（本质是“振幅决定最值的绝对值”）。 3. 最终值域：加上后，整体值域为。 例：求的值域，，故，加上1后值域为。 2. 形如或（） 此类为“三角函数与二次函数的复合函数”，需用换元法转化为二次函数值域，注意换元后“新变量的范围”（即或的范围）。 步骤：1. 令（或），则；2. 函数转化为（）；3. 根据二次函数的开口方向（开口向上，开口向下）和对称轴位置，求其在上的最值，进而确定值域。 例：求的值域，令（），函数变为，对称轴为（开口向上）。当时，；当时，，故值域为。 3. 形如 正切函数本身的值域为，上下平移（加）不改变其“可取全体实数”的性质，因此此类函数的值域恒为，只需注意定义域的限制，无需额外计算值域。 例：的值域为。 【考点二：三角函数的周期性，奇偶性，对称性】 【例题】1．（24-25高二下·湖南长沙·期末）设函数，，若是奇函数，则 ． 【答案】/ 【分析】利用辅助式化简函数解析式，再由正弦函数性质求解. 【详解】函数， 由是奇函数，得，则， 所以. 故答案为：. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知的一条对称轴为直线，则 . 【答案】/0.5 【分析】由求得即可. 【详解】由于一条对称轴为，则， 又 得，即， 此时，， 即势函数的一条对称轴，检验符合题意. 故答案为：. 3．（24-25高一下·内蒙古·期末）已知函数的最小正周期为，且的图象关于点对称，则 ，的最小正值为 ． 【答案】 4 【分析】利用正弦函数的最小正周期公式求解第一空，利用整体代入法求解对称中心，进而得到a的最小正值求解第二空即可. 【详解】若的最小正周期为，可得， 则，令， 解得，当时，，则a的最小正值为． 故答案为：4； 【多选题】4.（2025·湖南常德·模拟预测）已知函数与函数的图象的对称中心完全相同，则（    ） A．函数为奇函数 B． C．直线是图象的一条对称轴 D．是图象的一个对称中心 【答案】BD 【分析】根据对称中心完全相同得到，计算，可判定B；由可判定A，代入验证判定C，D. 【详解】由题意知，对称中心完全相同，则周期相同， 所以， 所以， 则，所以是的一个对称中心， 所以即 又，故当时，，所以，故B对 ； 因为， 函数定义域为，为偶函数，故A错； 因为，所以直线不是图象的对称轴，故C错； 因为，所以是图象的一个对称中心，故D对. 故选：BD. 【针对训练】4．（24-25高一下·上海·期末）已知常数，函数为偶函数，则 . 【答案】 【分析】利用偶函数的定义，结合和差角的余弦公式及二倍角的余弦公式求解即得. 【详解】函数的定义域为R，由函数为偶函数， 得，恒成立， 整理得，而不恒为0，则， 所以. 故答案为： 5．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数是奇函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】 利用余弦型函数的性质，求出的表达式，再利用诱导公式计算即得. 【详解】由函数是奇函数，得， 则，所以当时，. 故答案为：. 6．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）记函数的最小正周期为，若，且函数的图象关于点对称，则当取得最小值时， ． 【答案】 【分析】由，可得，由函数的图象关于点对称，可得，即可得解析式，可得答案. 【详解】由题可得，则. 因的图象关于点对称，则， 则， 则. 结合，可知时，最小为4，则， 则. 故答案为： 7．（2025·江苏徐州·模拟预测）若曲线的一个对称中心为，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用正切函数的对称性列式求出的关系，进而求出最小值. 【详解】由曲线的一个对称中心为，得， 解得，所以的最小值为2. 故答案为：2 8．（24-25高一下·山东日照·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为2 C．在上单调递减 D．的对称轴为 【答案】C 【分析】利用二倍角公式化简，利用余弦函数的最小正周期公式判断A，利用余弦函数的值域判断B，利用换元法结合余弦函数的性质判断C，利用代入检验法判断D即可. 【详解】因为，所以由二倍角公式得， 对于A，的最小正周期为，故A错误， 对于B，由余弦函数性质得，故B错误， 对于C，因为，所以，令， 则可化为， 由余弦函数性质得在上单调递减， 得到在上单调递减，故C正确. 对于D，由题意得，则的对称轴不可能为，故D错误. 故选：C 【多选题】9．（2025·甘肃白银·二模）已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．在区间内单调递减 D．与的图象关于直线对称 【答案】BC 【分析】由辅助角公式得，再根据图象平移得，结合正弦型函数的性质依次判断各项的正误. 【详解】由题设，则， 所以，A错； 由，故的图象关于直线对称，B对； 由，则，故在上单调递增， 所以在区间内单调递减，C对； 由， 显然，则与的图象不关于直线对称，D错. 故选：BC 【答案】AC 【分析】利用三角恒等变换化简，利用正弦型函数的周期公式，最值性质与奇偶性可判断ABC，取特殊值作为反例判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为 ， 因此的最小正周期等于，故A正确； 对于B，因为，所以，故B不正确； 对于C，因为为奇函数， 所以，则， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，取，， 则， 但，故D不正确. 故选：AC. 【解题策略】 一、周期性解题策略 三角函数周期性的核心是利用基本三角函数的周期公式，结合复合函数的“内层变换”对周期的影响，优先明确基本形式的周期，再处理复合情况。 1. 基本三角函数的周期（直接记忆） 正弦函数、余弦函数：最小正周期为，即。 正切函数：最小正周期为，即（正切函数的周期与正弦、余弦不同，因它是“半周期”函数，图像每隔重复一次）。 2. 复合三角函数的周期（核心：看“”的影响） 对于形如、（）的函数，周期由“的系数”决定，与、、无关： 计算公式：最小正周期（加绝对值是因为可正可负，周期恒为正数）。 例：求的周期，，故。 对于形如（）的函数，周期同样由决定： 计算公式：最小正周期（正切函数的周期公式分母是，而非，需与正弦、余弦区分）。 例：求的周期，，故。 3. 特殊复合形式的周期（需结合函数性质化简） 若函数含“平方”“绝对值”等结构，需先化简为基本复合形式，再求周期： 例：求的周期，利用二倍角公式化简为，此时为形式（），故周期。 二、奇偶性解题策略 三角函数奇偶性的判断核心是紧扣奇偶性定义（为奇函数，为偶函数），结合基本三角函数的奇偶性与复合函数的奇偶性规则。 1. 基本三角函数的奇偶性（基础前提） 奇函数：、（满足，图像关于原点对称）。 例：，。 偶函数：（满足，图像关于轴对称）。 例：。 2. 复合三角函数奇偶性的判断步骤 判断形如、、的奇偶性，需先“整理内层函数”，再结合定义验证： 1. 第一步：看定义域是否关于原点对称（奇偶性的前提，若定义域不对称，直接判定为“非奇非偶”）。 例：求的奇偶性，定义域为（），即（），关于原点对称，可继续判断。 2. 第二步：化简，对比与或的关系： 对于：若（），则，此时若为任意非零实数，函数为奇函数（因）；若（），则，此时函数为偶函数（因）。 例：，满足，为奇函数。 对于：若（），则，为偶函数；若（），则，为奇函数。 例：，满足，为奇函数。 对于：若（），化简后可判断奇偶性，通常当或时，分别为奇函数或非奇非偶（需具体验证）。 例：，，为奇函数。 三、对称性解题策略 三角函数的对称性分为轴对称（关于某条直线对称） 和中心对称（关于某个点对称），核心是“利用基本三角函数的对称性质，结合复合函数的‘平移变换’推导对称关系”。 1. 基本三角函数的对称性（基础模板） 正弦函数： 中心对称：关于原点对称，且所有对称中心为（）（图像与轴的交点均为对称中心）。 轴对称：所有对称轴为（）（图像的“最高点”“最低点”所在直线即为对称轴）。 余弦函数： 中心对称：所有对称中心为（）（图像与轴的交点均为对称中心）。 轴对称：关于轴（）对称，且所有对称轴为（）（图像的“最高点”“最低点”所在直线即为对称轴）。 正切函数： 中心对称：关于原点对称，且所有对称中心为（）（正切函数无对称轴，仅存在中心对称）。 2. 复合三角函数的对称性（核心：“内层函数替换”推导） 对于形如、的函数，对称性需通过“令内层函数等于基本三角函数的对称点/对称轴对应值”求解： 求对称轴（以正弦函数为例）： 基本正弦函数的对称轴为（），令复合函数的内层，解出即为对称轴：（）。 例：求的对称轴，令，解得（）。 求对称中心（以余弦函数为例）： 基本余弦函数的对称中心横坐标满足（），纵坐标为，因此复合函数的对称中心横坐标需令，解出，纵坐标为（因复合函数上下平移了），即对称中心为（）。 例：求的对称中心，令，解得，纵坐标为，故对称中心为（）。 对于形如的函数，仅需求中心对称： 基本正切函数的对称中心横坐标满足（），纵坐标为，因此复合函数的对称中心横坐标为，纵坐标为，即对称中心为（）。 例：求的对称中心，令，解得，纵坐标为，故对称中心为（）。 【考点三：三角函数的单调性】 【角度1：求函数的单调区间】 【例题】1．（24-25高一下·山东聊城·期末）函数，的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】先利用二倍角公式化简函数的解析式，在求函数的单调区间. 【详解】因为. 由，，. 又，所以当时，可得. 所以所求函数的单调减区间为：. 故答案为： 2．（24-25高一下·上海普陀·阶段练习）函数，的单调减区间为 . 【答案】和 【分析】先根据诱导公式化简函数解析式，根据正弦函数图像的性质，求出函数的单调减区间，判断在上的减区间. 【详解】由题意知，所以函数的单调减区间就是的单调增区间， 已知得单调增区间为， 得，解得， 当时，增区间为，当时，增区间为， 所以在上的单调增区间为和， 即在上的单调减区间为和， 故答案为：和. 【针对训练】3．（24-25高一下·陕西渭南·阶段练习）函数的单调增区间为 . 【答案】 【分析】根据给定函数，结合余弦函数的性质、诱导公式求出单调增区间. 【详解】函数，即， 则，解得， 所以函数的单调增区间为. 故答案为： 4．（22-23高一下·四川达州·阶段练习）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】根据正切函数的单调递增区间利用整体代换解不等式可得结果. 【详解】易知正切函数的单调递增区间为， 所以令，解得； 即该函数的单调递增区间为. 故答案为：. 5．（2023高三·全国·专题练习） 的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】化简函数为，由正切函数的性质可求得函数的单调递减区间. 【详解】函数， 由正切函数的性质知， 解得 所以函数的单调递减区间为 故答案为： 【角度2：根据三角函数的单调性求参数】 【例题】6．（25高三上·河北衡水·阶段练习）函数恒有，且在上单调递增，则 ． 【答案】 【分析】利用正弦函数最值得出，所以，已知在上单调递增，所以，解出.分和，根据在上单调性进行讨论，得出值. 【详解】已知恒有，根据正弦函数的性质可得：，即，所以，所以； 已知在上单调递增，所以，即，解得. 当时，因为，所以，因为在上单调递增，所以，解得， 所以，解得，故. 当时，因为，所以.取， 则，因为， 所以，故在上单调递减，不满足题意. 同理可得不满足题意. 综上可得：. 故答案为：. 7．（24-25高一下·山东淄博·期末）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解. 【详解】， 又函数在单调递增， 所以，解得. 故答案为：. 【多选题】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知函数满足，且在上是单调函数，则的所有可能取值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AC 【分析】分析出关于中心对称，关于轴对称，根据单调性得到，设对称中心和对称轴的距离为，则，设的最小正周期为，分，，，和五种情况，结合函数的性质判断出答案. 【详解】，故关于中心对称， ，故关于轴对称， ，则， 在上是单调函数，所以，故， 设对称中心和对称轴的距离为，则， 设的最小正周期为， 若，则，故，此时， ，，，， 故，，，， 因为，故当，时，满足要求，此时， 此时，当时，， 此时在上单调递增，满足要求； 若，即，，此时， ，，，， 故，，，， 因为，故当，时，满足要求，此时， 此时，当时，， 故在上不单调，不合要求， 若，即，，此时， ，，，， 故，，，， 因为，故当，时，满足要求，此时， 此时，当时，， 此时在上单调递增，满足要求； 若，即，，此时， ，，，， 故，，，， 因为，故当，时，满足要求，此时， 此时，当时，， 故在上不单调，不合要求， 当时，，不合要求， 综上，所有可能取值为1或5. 故选：AC 【针对训练】8．（24-25高一下·四川雅安·阶段练习）已知函数满足恒成立，且在上单调，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由函数在区间上单调，求出的取值范围，再由得到，即可求出的取值集合，从而求出的最大值. 【详解】因为在区间上单调，所以，得到， 所以，解得， 又，所以， 则由的图象与性质知， 所以，得到，所以， 当，解得， 又，所以. 故答案为：. 9．（24-25高三下·江苏泰州·开学考试）已知，函数在区间上单调递减，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用整体法即可结合余弦函数的单调性得求解. 【详解】已知，，所以 因为函数在上单调递减， 而函数在上单调递减，所以 由此可得不等式组，解得 则的最大值为 故答案为： 10．（24-25高一下·重庆·期中）已知函数在区间内单调递增，则的最大值为 . 【答案】1 【分析】由已知结合正切函数的单调性即可求解. 【详解】由函数在区间内单调递增， 可得，且，解得， 所以的最大值为1. 故答案为：1. 【多选题】11.（2025·河南·三模）已知函数，，则（    ） A．与在上都单调递增 B．与在上都单调递减 C．将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象 D．将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象 【答案】BC 【分析】利用诱导公式化简函数、的解析式，利用正弦型函数的单调性可判断AB选项；利用三角函数图象变换可判断CD选项. 【详解】因为，， 对于A选项，由，得，， 则在上单调递减，在上单调递增，A错误； 对于B选项，由，得，， 则与在上都单调递减，B正确； 对于C选项，将的图象向右平移个单位长度后， 得到的图象，C正确. 对于D选项，将的图象向左平移个单位长度后， 得到的图象，D错误. 故选：BC. 【多选题】12．（2025·江西景德镇·模拟预测）下列函数中，以为周期且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据周期函数的定义及正弦函数的性质分别判断即可． 【详解】对于A，， 所以不是以为周期的函数，A不符合题意； 对于B，， 所以是的周期，当时，， 所以在上单调递增，B符合题意； 对于C，，，最小正周期为， 当时，，所以在上单调递增，C符合题意； 对于D，，，最小正周期为， 当时，，所以在上单调递增，D符合题意； 故选：BCD． 【解题策略】 一、先明确“基本三角函数”的单调区间（核心依据） 解题前需牢记3个基础函数的固有单调区间，这是后续代换的“基准”： 1. 单调递增区间：（） 单调递减区间：（） 2. 单调递增区间：（） 单调递减区间：（） 3. 单调递增区间：（） 无单调递减区间（定义域内“分段递增”，不连续） 二、核心步骤：整体代换 + 解不等式（针对、） 1. 第一步：确定“整体变量”，代入基础单调区间 设，将基础三角函数的单调区间转化为关于的不等式： 若求的递增区间，代入的递增区间：（），即； 若求的递减区间，代入的递减区间：（），即。 2. 第二步：解关于的不等式（注意的符号影响） 解不等式时，若，不等号方向不改变；若，不等号方向需反向（相当于两边同时除以负数）。 示例：求的递增区间 先整理函数：（利用诱导公式），其递增区间等价于的递减区间； 设，代入的递减区间：（）； 解不等式：，两边加得，再除以2（，不等号不变），得（），即递增区间为（）。 三、正切函数单调性：特殊处理定义域（无递减区间，注意间断点） 对于（），单调性有两个关键点： 1. 只有递增区间：无论的正负（仅影响“拉伸/压缩”，不改变单调性方向），其单调区间均对应的递增区间，即设，代入（）； 2. 定义域优先：解不等式时需用“开区间”（因正切函数在处无定义），且同样注意的符号（时不等号反向）。 示例：求的递增区间 整理函数：（诱导公式），但正切函数的“负号”不改变递增性，仍需按递增区间求解； 设，代入的递增区间：（）； 解不等式：，两边乘（，不等号反向），得，整理为（），即递增区间为（）。 四、含定义域限制的单调性问题：“先求全区间，再取交集” 若题目中给出的具体范围（如），需先按上述步骤求出函数在上的单调区间，再与给定的范围取交集，得到最终的单调区间。 示例：求在上的递减区间 1. 先求上的递减区间：设，代入的递减区间（），解得（）； 2. 取与的交集：当时，区间为；当时，区间为；当或时，区间与无交集； 3. 最终递减区间：。 五、易错点提醒 1. 忽略的符号：解不等式时若未反向不等号，会导致区间完全错误； 2. 正切函数用闭区间：正切函数在定义域间断点处无定义，单调区间必须用“开区间”； 3. 遗忘：求上的单调区间时，需加上周期倍数（正切）或（正弦、余弦），避免漏解； 4. 复合函数符号混淆：对于，其单调性与相反（“负号”翻转单调性），需先转化再求解。 课后针对训练 一、单选题 1．（2025·全国·二模）函数是上的偶函数，则（ ） A．0 B． C． D． 2．（2025·江苏扬州·三模）当时，曲线与的交点个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 二、多选题 3．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数，则（   ） A．函数的最小值为 B．函数的一个对称中心为 C．函数在区间单调递减 D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 4．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的有（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 5．（2025·四川·三模）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．1是的周期 B．的定义域为 C． D．的图象关于点对称 6．（24-25高一下·河南·期中）已知函数，则（    ） A．函数的最小值 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间上单调递减 D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 7．（2025·山东临沂·三模）已知函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．是的一条对称轴 C．函数在上单调递增 D．函数图象与直线有3个交点 三、填空题 8．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知，设函数，则的单调递减区间是 ． 9．（2025·上海·模拟预测）， 恒成立，则 ． 10．（2024·辽宁·模拟预测）将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数，则的最小值为 ． 11．（2024·北京海淀·二模）已知函数. （i）若，则函数的最小正周期为 . （ii）若函数在区间上的最小值为，则实数 . 12．（2025·湖北武汉·模拟预测）若函数在区间上单调，则的取值范围为 . 四、解答题 13．（2022·浙江嘉兴·二模）设函数 . (1)求函数的最小正周期及其对称中心； (2)求函数在上的值域. 14．（2025·河北保定·模拟预测）已知函数． (1)求函数的对称中心及对称轴方程； (2)当时，求函数的最大值和最小值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D B ABC ABD AD AC ABD 1．D 【分析】根据偶函数性质，结合正弦函数对称性解题即可. 【详解】是上的偶函数，即关于对称，则， 则，则，解得. ，则. 故选：D. 2．B 【分析】根据五点法作图，在同一坐标系中画出函数图形，判断交点个数. 【详解】作图像，列表： 0 0 1 0 0 1 0 0 作图像，列表： 0 0 2 0 0 2 0 在同一坐标系中画出图形，如下图所示， 则两个函数在上有4个交点. 故选：B. 3．ABC 【分析】由三角恒等变换化简得，逐项验证即可判断. 【详解】由题意有， 对于A：的最小值为，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：由可得，由在单调递减，故C正确； 对于D：由的图象向左平移个单位得到， 显然与不是同一函数，故D错误. 故选：ABC. 4．ABD 【分析】利用余弦型函数的周期公式可判断A选项；利用余弦型函数的对称性可判断BC选项；利用余弦型函数的单调性可判断D选项. 【详解】因为函数，所以函数的最小正周期，故A正确；因为，曲线关于点对称， 所以函数的图象关于点对称，故B正确； 因为，曲线不关于直线对称， 所以函数的图象不关于直线对称，故C错误； 若，则， 因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，故D正确． 故选：ABD． 5．AD 【分析】利用正切函数的周期公式判断A；根据正切函数的定义域判断B；根据正切函数的单调性判断C；根据正切函数的对性判断D. 【详解】正切函数的周期为，选项A正确； 正切函数无定义时，，，解得： ，因此定义域为，选项B不正确； 因为， ， 因为在上递增，， 所以，即，选项C不正确； 令，求得，，可得的对称中心是，，当时，可得的对称中心是，故D正确； 故选：AD. 6．AC 【分析】根据当时，可判断A；计算或即可判断B；令，求出函数的单调递减区间，再判断两个集合之间的关系即可判断C；求出的图象向左平移个单位长度得到解析式即可得到． 【详解】A．当，函数的最小值为，选项正确， B．，故图象不关于直线对称，错误，不符合题意； C．令，解得：， 当时，，因为，故函数在区间上单调递减，选项正确； D．的图象向左平移得到，故选项错误，不符合题意； 故选：AC． 7．ABD 【分析】A选项，利用三角恒等变换得到，求出最小正周期；B选项，代入验证，得到B正确；C选项，求出，故在上不单调；D选项，同一坐标系内画出两函数图象，数形结合得到答案. 【详解】A选项， ， 故的最小正周期为，A正确； B选项，，故是的一条对称轴，B正确； C选项，，， 由于在上不单调，故在上不单调，C错误； D选项，同一坐标系内画出与，如下： 可以看出两函数有3个交点，D正确. 故选：ABD 8．（开区间，半开半闭区间也正确） 【分析】根据正弦函数的性质结合条件即得. 【详解】依题意，因为函数在上单调递减， 令，解得， 所以的单调递减区间是． 故答案为：． 9． 【分析】首先利用辅助角公式，化简函数，再根据函数的性质求，最后代入求的值. 【详解】，令，得，， 由 恒成立，可知，，， 则. 故答案为： 10．/ 【分析】根据题意可得，并图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数，可得，从而结合题意可得的最小值. 【详解】， 图像向右平移个单位长度后得到是偶函数， ，的最小值为. 故答案为：. 11． 【分析】根据二倍角公式即可结合周期公式求解，利用二次函数的性质即可求解最值. 【详解】当时，,所以最小正周期为， ， 当时，，且二次函数开口向下， 要使得在区间上的最小值为，则需要， 且当时取最小值，故，解得， 故答案为：， 12． 【分析】在指定区间内求出相位的范围，再利用正弦函数单调性列式求解. 【详解】当时，，依题意，，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 13．(1)周期，对称中心为 (2) 【分析】（1）利用二倍角公式将的表达式化简，即可求得函数的最小正周期，结合余弦函数的对称中心可求得函数的对称中心； （2）将函数的表达式展开，并化简，根据的范围，结合正弦函数的性质可确定答案. 【详解】（1）函数，所以最小正周期； 令，解得， 所以对称中心为； （2）函数 ， 因为，所以， 故， 故. 14．(1)对称中心为，对称轴方程为：； (2)最大值为，最小值为0． 【分析】（1）先用半角公式降次，再利用辅助角公式可化简为，利用正弦函数的对称性，求解即可． （2）当时，，可得，即可得出函数的最值． 【详解】（1） ， 令，解得， 对称轴方程为：． 令，解得， 函数的对称中心为． （2）当时，， 由正弦函数的性质可知，的最大值为1，最小值为， 函数的最大值为，最小值为0． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2026年高三数学一轮复习常考题型归纳 【第19讲：三角函数的图像与性质】 【新高考课程标准要求】 1.能画出三角函数的图象：掌握用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图。例如，在正弦函数，的图象中，五个关键点是、、、、；余弦函数，的图象中，五个关键点是、、、、。 2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值：如对于函数和，要知道其周期为；明确三角函数中奇函数一般可化为或的形式，偶函数一般可化为的形式，并能据此判断函数的奇偶性；同时能够求出三角函数的最大（小）值。 3.借助图象理解三角函数的性质：借助图象理解正弦函数、余弦函数在上，正切函数在上的性质，包括单调性、对称性等。例如，正弦函数在上单调递增，在上单调递减等；还要知道正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期等性质。 【知识梳理】 三角函数的图像与性质知识梳理 一、核心三角函数：正弦函数（）、余弦函数（）、正切函数（） 1. 图像绘制（基础函数） 正弦函数：采用“五点法”绘制一个周期（）的简图，关键坐标为、、、、，图像呈“波浪形”，在上周期性重复。 余弦函数：同样用“五点法”绘制一个周期（），关键坐标为、、、、，图像也为“波浪形”，与正弦函数图像平移相关。 正切函数：先明确定义域（），再用“三点两线”绘制一个周期（），关键点为、、，渐近线为，图像呈“间隔的上升曲线”，在每个定义域区间内独立。 2. 核心性质 （1）正弦函数 定义域：全体实数，即。 值域：，当（）时取最大值；当（）时取最小值。 周期性：最小正周期为，即（）。 奇偶性：奇函数，满足，图像关于原点对称。 单调性：在每个周期内，增区间为（），在此区间内函数值从递增到；减区间为（），在此区间内函数值从递减到。 对称性：对称中心为（），即图像过这些点且绕点旋转后与自身重合；对称轴为（），即沿这些直线对折后图像两侧完全重合。 （2）余弦函数 定义域：全体实数，即。 值域：，当（）时取最大值；当（）时取最小值。 周期性：最小正周期为，即（）。 奇偶性：偶函数，满足，图像关于轴对称。 单调性：在每个周期内，增区间为（），在此区间内函数值从递增到；减区间为（），在此区间内函数值从递减到。 对称性：对称中心为（）；对称轴为（），其中（即轴）是最直观的对称轴。 （3）正切函数 定义域：（），即函数在这些值处无定义，对应图像中的渐近线。 值域：全体实数，即，函数值可无限趋近于正无穷或负无穷。 周期性：最小正周期为，即（），周期是正弦、余弦函数的一半。 奇偶性：奇函数，满足，图像关于原点对称。 单调性：在每个定义域区间（）内均为增函数，无减区间，且在不同定义域区间内的图像不连续（被渐近线分隔）。 对称性：对称中心为（），无对称轴，即图像不存在沿某条直线对折后重合的情况。 【课前自测】 1．（24-25高一上·全国·单元测试）在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的最小正周期为，则在的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知为偶函数，求的值． 4．（2025高三·全国·专题练习）函数的图象的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高一·全国·专题练习）求下列函数的单调递增区间： (1)，； (2)，． 6．（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域为 7．（24-25高一下·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．在定义域内是增函数 B．是奇函数 C．的最小正周期为 D．图象的一个对称中心是 8．（24-25高一下·广东中山·阶段练习）写出函数的一个对称中心 ． 题型分类 知识讲解与常考题型 【考点一：三角函数的定义域和值域】 【例题】1．（24-25高一下·全国·课后作业）函数的定义域为 ． 2．（2025高三·全国·专题练习）函数的值域为 【针对训练】3．（2025高三·全国·专题练习）函数的定义域是 ． 4．（2025高一·全国·专题练习）函数，，最小值为 ． 5．（24-25高一下·湖北荆门·期末）若函数在上的值域为，则的取值范围为 . 【解题策略】 一、定义域解题策略 三角函数定义域的核心是排除使函数无意义的自变量取值，需结合基本三角函数的定义域限制（如正切函数分母不为0）、复合函数的运算规则（如偶次根式被开方数非负、对数真数大于0）逐步分析。 1. 基本三角函数定义域（直接应用） 正弦函数、余弦函数：对任意实数均有意义，因此定义域由“内层函数的取值范围”直接决定，无需额外排除。 例：求的定义域，因可取全体实数，故定义域为。 正切函数：核心限制是“（）”，解题时需先令“内层函数满足该条件”，再解不等式求的范围。 例：求的定义域，令（），解得（），即定义域为。 2. 复合三角函数定义域（分层分析） 当三角函数与其他函数（如根式、分式、对数）复合时，需逐层列出所有限制条件，再求交集。 步骤：1. 明确复合函数的结构（如“三角函数+根式”“分式+三角函数”）；2. 针对每一层结构列出定义域限制（如偶次根式被开方数≥0、分式分母≠0）；3. 解不等式组，取所有条件的公共解。 例：求的定义域，需同时满足：① 分母≠0（即）；② 偶次根式被开方数≥0（即）。合并得，解得（），即定义域为（）。 二、值域解题策略 三角函数值域的求解核心是利用基本三角函数的值域（，），结合“换元法”将复合函数转化为基本函数，再根据函数单调性、二次函数最值等规则求解。 1. 形如或（） 这是最常见的正弦、余弦复合函数形式，值域由“振幅”和“上下平移量”决定，步骤如下： 1. 确定内层函数范围：令，因的值域与无关，故，。 2. 缩放与平移：根据的正负性，计算（或）的值域： 若，则；若，则（本质是“振幅决定最值的绝对值”）。 3. 最终值域：加上后，整体值域为。 例：求的值域，，故，加上1后值域为。 2. 形如或（） 此类为“三角函数与二次函数的复合函数”，需用换元法转化为二次函数值域，注意换元后“新变量的范围”（即或的范围）。 步骤：1. 令（或），则；2. 函数转化为（）；3. 根据二次函数的开口方向（开口向上，开口向下）和对称轴位置，求其在上的最值，进而确定值域。 例：求的值域，令（），函数变为，对称轴为（开口向上）。当时，；当时，，故值域为。 3. 形如 正切函数本身的值域为，上下平移（加）不改变其“可取全体实数”的性质，因此此类函数的值域恒为，只需注意定义域的限制，无需额外计算值域。 例：的值域为。 【考点二：三角函数的周期性，奇偶性，对称性】 【例题】1．（24-25高二下·湖南长沙·期末）设函数，，若是奇函数，则 ． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知的一条对称轴为直线，则 . 3．（24-25高一下·内蒙古·期末）已知函数的最小正周期为，且的图象关于点对称，则 ，的最小正值为 ． 【多选题】4.（2025·湖南常德·模拟预测）已知函数与函数的图象的对称中心完全相同，则（    ） A．函数为奇函数 B． C．直线是图象的一条对称轴 D．是图象的一个对称中心 【针对训练】4．（24-25高一下·上海·期末）已知常数，函数为偶函数，则 . 5．（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数是奇函数，则的值为 ． 6．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）记函数的最小正周期为，若，且函数的图象关于点对称，则当取得最小值时， ． 7．（2025·江苏徐州·模拟预测）若曲线的一个对称中心为，则的最小值为 ． 8．（24-25高一下·山东日照·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为2 C．在上单调递减 D．的对称轴为 【多选题】9．（2025·甘肃白银·二模）已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．在区间内单调递减 D．与的图象关于直线对称 【多选题】10．（2024·四川成都·模拟预测）已知，则（    ） A．的最小正周期为 B．存在，使得 C．若为奇函数，则的最小值为 D．若，则 【解题策略】 一、周期性解题策略 三角函数周期性的核心是利用基本三角函数的周期公式，结合复合函数的“内层变换”对周期的影响，优先明确基本形式的周期，再处理复合情况。 1. 基本三角函数的周期（直接记忆） 正弦函数、余弦函数：最小正周期为，即。 正切函数：最小正周期为，即（正切函数的周期与正弦、余弦不同，因它是“半周期”函数，图像每隔重复一次）。 2. 复合三角函数的周期（核心：看“”的影响） 对于形如、（）的函数，周期由“的系数”决定，与、、无关： 计算公式：最小正周期（加绝对值是因为可正可负，周期恒为正数）。 例：求的周期，，故。 对于形如（）的函数，周期同样由决定： 计算公式：最小正周期（正切函数的周期公式分母是，而非，需与正弦、余弦区分）。 例：求的周期，，故。 3. 特殊复合形式的周期（需结合函数性质化简） 若函数含“平方”“绝对值”等结构，需先化简为基本复合形式，再求周期： 例：求的周期，利用二倍角公式化简为，此时为形式（），故周期。 二、奇偶性解题策略 三角函数奇偶性的判断核心是紧扣奇偶性定义（为奇函数，为偶函数），结合基本三角函数的奇偶性与复合函数的奇偶性规则。 1. 基本三角函数的奇偶性（基础前提） 奇函数：、（满足，图像关于原点对称）。 例：，。 偶函数：（满足，图像关于轴对称）。 例：。 2. 复合三角函数奇偶性的判断步骤 判断形如、、的奇偶性，需先“整理内层函数”，再结合定义验证： 1. 第一步：看定义域是否关于原点对称（奇偶性的前提，若定义域不对称，直接判定为“非奇非偶”）。 例：求的奇偶性，定义域为（），即（），关于原点对称，可继续判断。 2. 第二步：化简，对比与或的关系： 对于：若（），则，此时若为任意非零实数，函数为奇函数（因）；若（），则，此时函数为偶函数（因）。 例：，满足，为奇函数。 对于：若（），则，为偶函数；若（），则，为奇函数。 例：，满足，为奇函数。 对于：若（），化简后可判断奇偶性，通常当或时，分别为奇函数或非奇非偶（需具体验证）。 例：，，为奇函数。 三、对称性解题策略 三角函数的对称性分为轴对称（关于某条直线对称） 和中心对称（关于某个点对称），核心是“利用基本三角函数的对称性质，结合复合函数的‘平移变换’推导对称关系”。 1. 基本三角函数的对称性（基础模板） 正弦函数： 中心对称：关于原点对称，且所有对称中心为（）（图像与轴的交点均为对称中心）。 轴对称：所有对称轴为（）（图像的“最高点”“最低点”所在直线即为对称轴）。 余弦函数： 中心对称：所有对称中心为（）（图像与轴的交点均为对称中心）。 轴对称：关于轴（）对称，且所有对称轴为（）（图像的“最高点”“最低点”所在直线即为对称轴）。 正切函数： 中心对称：关于原点对称，且所有对称中心为（）（正切函数无对称轴，仅存在中心对称）。 2. 复合三角函数的对称性（核心：“内层函数替换”推导） 对于形如、的函数，对称性需通过“令内层函数等于基本三角函数的对称点/对称轴对应值”求解： 求对称轴（以正弦函数为例）： 基本正弦函数的对称轴为（），令复合函数的内层，解出即为对称轴：（）。 例：求的对称轴，令，解得（）。 求对称中心（以余弦函数为例）： 基本余弦函数的对称中心横坐标满足（），纵坐标为，因此复合函数的对称中心横坐标需令，解出，纵坐标为（因复合函数上下平移了），即对称中心为（）。 例：求的对称中心，令，解得，纵坐标为，故对称中心为（）。 对于形如的函数，仅需求中心对称： 基本正切函数的对称中心横坐标满足（），纵坐标为，因此复合函数的对称中心横坐标为，纵坐标为，即对称中心为（）。 例：求的对称中心，令，解得，纵坐标为，故对称中心为（）。 【考点三：三角函数的单调性】 【角度1：求函数的单调区间】 【例题】1．（24-25高一下·山东聊城·期末）函数，的单调递减区间为 . 2．（24-25高一下·上海普陀·阶段练习）函数，的单调减区间为 . 【针对训练】3．（24-25高一下·陕西渭南·阶段练习）函数的单调增区间为 . 4．（22-23高一下·四川达州·阶段练习）函数的单调递增区间为 . 5．（2023高三·全国·专题练习） 的单调递减区间为 . 【角度2：根据三角函数的单调性求参数】 【例题】6．（25高三上·河北衡水·阶段练习）函数恒有，且在上单调递增，则 ． 7．（24-25高一下·山东淄博·期末）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 . 【多选题】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知函数满足，且在上是单调函数，则的所有可能取值是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【针对训练】8．（24-25高一下·四川雅安·阶段练习）已知函数满足恒成立，且在上单调，则的最大值为 ． 9．（24-25高三下·江苏泰州·开学考试）已知，函数在区间上单调递减，则的最大值为 . 10．（24-25高一下·重庆·期中）已知函数在区间内单调递增，则的最大值为 . 【多选题】11.（2025·河南·三模）已知函数，，则（    ） A．与在上都单调递增 B．与在上都单调递减 C．将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象 D．将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象 【多选题】12．（2025·江西景德镇·模拟预测）下列函数中，以为周期且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、先明确“基本三角函数”的单调区间（核心依据） 解题前需牢记3个基础函数的固有单调区间，这是后续代换的“基准”： 1. 单调递增区间：（） 单调递减区间：（） 2. 单调递增区间：（） 单调递减区间：（） 3. 单调递增区间：（） 无单调递减区间（定义域内“分段递增”，不连续） 二、核心步骤：整体代换 + 解不等式（针对、） 1. 第一步：确定“整体变量”，代入基础单调区间 设，将基础三角函数的单调区间转化为关于的不等式： 若求的递增区间，代入的递增区间：（），即； 若求的递减区间，代入的递减区间：（），即。 2. 第二步：解关于的不等式（注意的符号影响） 解不等式时，若，不等号方向不改变；若，不等号方向需反向（相当于两边同时除以负数）。 示例：求的递增区间 先整理函数：（利用诱导公式），其递增区间等价于的递减区间； 设，代入的递减区间：（）； 解不等式：，两边加得，再除以2（，不等号不变），得（），即递增区间为（）。 三、正切函数单调性：特殊处理定义域（无递减区间，注意间断点） 对于（），单调性有两个关键点： 1. 只有递增区间：无论的正负（仅影响“拉伸/压缩”，不改变单调性方向），其单调区间均对应的递增区间，即设，代入（）； 2. 定义域优先：解不等式时需用“开区间”（因正切函数在处无定义），且同样注意的符号（时不等号反向）。 示例：求的递增区间 整理函数：（诱导公式），但正切函数的“负号”不改变递增性，仍需按递增区间求解； 设，代入的递增区间：（）； 解不等式：，两边乘（，不等号反向），得，整理为（），即递增区间为（）。 四、含定义域限制的单调性问题：“先求全区间，再取交集” 若题目中给出的具体范围（如），需先按上述步骤求出函数在上的单调区间，再与给定的范围取交集，得到最终的单调区间。 示例：求在上的递减区间 1. 先求上的递减区间：设，代入的递减区间（），解得（）； 2. 取与的交集：当时，区间为；当时，区间为；当或时，区间与无交集； 3. 最终递减区间：。 五、易错点提醒 1. 忽略的符号：解不等式时若未反向不等号，会导致区间完全错误； 2. 正切函数用闭区间：正切函数在定义域间断点处无定义，单调区间必须用“开区间”； 3. 遗忘：求上的单调区间时，需加上周期倍数（正切）或（正弦、余弦），避免漏解； 4. 复合函数符号混淆：对于，其单调性与相反（“负号”翻转单调性），需先转化再求解。 课后针对训练 一、单选题 1．（2025·全国·二模）函数是上的偶函数，则（ ） A．0 B． C． D． 2．（2025·江苏扬州·三模）当时，曲线与的交点个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 二、多选题 3．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数，则（   ） A．函数的最小值为 B．函数的一个对称中心为 C．函数在区间单调递减 D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 4．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的有（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 5．（2025·四川·三模）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．1是的周期 B．的定义域为 C． D．的图象关于点对称 6．（24-25高一下·河南·期中）已知函数，则（    ） A．函数的最小值 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间上单调递减 D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 7．（2025·山东临沂·三模）已知函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．是的一条对称轴 C．函数在上单调递增 D．函数图象与直线有3个交点 三、填空题 8．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知，设函数，则的单调递减区间是 ． 9．（2025·上海·模拟预测）， 恒成立，则 ． 10．（2024·辽宁·模拟预测）将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数，则的最小值为 ． 11．（2024·北京海淀·二模）已知函数. （i）若，则函数的最小正周期为 . （ii）若函数在区间上的最小值为，则实数 . 12．（2025·湖北武汉·模拟预测）若函数在区间上单调，则的取值范围为 . 四、解答题 13．（2022·浙江嘉兴·二模）设函数 . (1)求函数的最小正周期及其对称中心； (2)求函数在上的值域. 14．（2025·河北保定·模拟预测）已知函数． (1)求函数的对称中心及对称轴方程； (2)当时，求函数的最大值和最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$