第23讲 三角恒等变换 - 人教A版必修第一册-2026年普通高中学业水平考试过关复习讲义

第23讲 三角恒等变换 . 学 考 要 求 （1）理解两脚和与差的正弦、余弦、正切公式； （2）理解二倍角的正弦、余弦、正切公式； （3）理解运用相关公式进行简单的三角恒等变换. . 知 识 必 备 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 _____________ 两角和的余弦公式 ___________ （2）两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦公式 ___________ 两角差的正弦公式 ___________ （3）两角和与差的正切公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和的正切公式 ___________ 两角差的正切公式 ___________ 2．当时，得到二倍角公式 _______________________； _________________________________； _______________________． 4．辅助角公式 __________．（其中，） . 典 例 探 究 题型一：给角求值型问题 例题1：（1）的值是 A． B． C． D． （2）（    ） A． B． C． D． （3）（    ）． A． B． C． D． 题型二：给值求值型问题 例题2：已知，则（   ） A． B． C． D． 题型三：给值求角型问题 例题3：（1）已知，且，则（   ） A． B． C． D． （2）已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 题型四：三角恒等变换的化简问题 例题4：（1）已知函数，则函数的一条对称轴可以是（   ） A． B． C． D． （2）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． . 过 关 检 测 1、 选择题 1．的值为（   ） A． B．1 C． D． 2．（   ） A． B． C． D． 3．已知，则cos2θ=（ ） A． B． C． D． 4．已知，，是锐角，则=（      ） A． B． C． D． 2、 填空题 5．函数的最大值是__________. 6．设，若函数的最小正周期为，则______． 7．已知，，，则__________. 8．已知，则的值是__________. 3、 解答题 9．已知函数，． (1)求函数的最小正周期和最大值； (2)若，求的值． . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．（    ） A． B． C． D． 2．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 3．等腰三角形中，顶角为，若，则（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 4．的值为_________. 3、 解答题 5．已知. (1)求及的值； (2)若，求的值. 6．已知向量. (1)若，求的值； (2)若向量，求的值. 7．已知向量，函数.    （1）若且，求的值； （2）求的最小正周期； （3）若，，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $第23讲三角恒等变换 〉学考要求 (1)理解两脚和与差的正弦、余弦、正切公式； (2)理解二倍角的正弦、余弦、正切公式： (3)理解运用相关公式进行简单的三角恒等变换 》知识必备 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 C(a-B) cos(ax-β)= a,BER 两角和的余弦公式 C(a+B) cos(a+B)= &,B∈R (2)两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦公式 S(a+) sin(a+B)= a,BER 两角差的正弦公式 S(a-B) sin(a-B)= &,B∈R (3)两角和与差的正切公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和的正切公式 tan(a+B)= T(a+) +B≠kT+罗(k∈Z) 两角差的正切公式 tan(c-β)= T(a-B) a-B≠km+5(kEZ) 【答案】 cosacosB+sinasinB cosacosB-sinasinB sinacosB+cosasinβ tana+temβ tana--tamβ sinacosB-cosasinB 1-tangtanB 1+tanatanB 2.当=B时，得到二倍角公式 sin2a= cos2a= 0 tan2a= 【答案】 2tang 2sinacosa cos2a-sin2a 2c0s2a-1 1-2sin2a 1-tan'a 4.辅助角公式 y=asinx+bcosx= (其中0≤日<2m,tan6=号) 【答案】Va2+b2simx+日 〉典例探究 题型一：给角求值型问题 例题1：（1)c0s(-75°)的值是 52 4. B.69 c.6-2 D. 6+ 4 4 【解析】 c0s(-75°)=c0s(450-120°)=c0s450e0s120°+sih45°sin1200=9×(-)+ 号×9=6 故选：C. (2)sin78°sin18°-cos78cos162°=() A写 -9 C. D.-方 【解析】sin78°sin18°-cos78cos162°=sin78'sin18+cos78cos18° =c0s(78°-18)=c0s60°= 故选：C (3)sin25-sin2登-(）. A县 B. c.- 【解析】由题意可得： sin5-sin8=sin2告-sin2(5+5)=s2路-cos25--cos8-县 故选：D. 题型二：给值求值型问题 例题2：已知tan(&+晋)=克，则cos2a=() A.昌 B.- c. D.-青 【解析】由tan(c+)=品=寺，得tana=-寺， 则cos2a= g二1中 1+tan'g 题型三：给值求角型问题 例题3：(1)已知ae(罩，)，且4cosa-tan(受-a)=3,则x=() A.晋 B.胃 c.晋 D. 【解析】ae(罩，)→2ae(号，)，a+若E(,等) VF=4cosa-器=2如2g→2sin2a=V5sina+cosa=2sin(c+晋) 所以2=++2kπ或2a十+若=π+2kπ，kEZ, 即&=晋+2kπ或x=贺+号kπ，kEZ 由于aE(罩，)，故a= 故选：A (2)已知c&,B都是锐角，sina= cos(a+B)=唱，则B=() 10 A.晋 B.晋 c.胃 D.钙 【解析】因为心，B都是锐角， 所以0<a+B<π，又因为sina= 9,cos(a+p)=5, v 所以cosa=-sina=-品=耍， sin(a+B)=-os(a+)-V-嘉-9， 因此cosβ=cos[(a+β)-c]=cos(&+)cosa+sin(&+β)sina -×要+5×要=9， 因为阝是锐角， 所以B=晋. 故选：B 题型四：三角恒等变换的化简问题 例题4：(1)已知函数f8)=sinxcosx+V3cos2x,则函数f(x)的一条对称轴可以是() A.X=- ®.() c.y= D.x=1 【解析】因为f(x)=ic+5cos2x=sin2x+5×学=sin(2x+写)+5， 所以对称轴为：2x+号=受+k,kEZ,解得x=亞+钙，k∈Z. 令k=0,则对称轴为x=五 故选：D (2)函数f(x)=sinxcosx+cos2x的最小正周期为() A. B.罗 C.π D.2 【解析】由二倍角公式和辅助角公式化简f(x)=sinxcosx+cos2x可得 f(x)=号5in2x+cos2x=与sin(2x+p),其中tanp=2. 由三角函数的周期公式可得最小正周期T=弯=元. 故选：C >过关检测 一、选择题 1.cos看cos号+sin晋sin晋的值为() A.-1 B.1 【解析】cos晋cos号+sin晋sin晋=cos(晋-普)=cos资=号 故选：D. 2.c0s15°=(） A.E-5 8.E-6 c.2+6 D.2+6 2 4 【解析】因为c0s15°=c0s(45·-30)=cos45°c0s30°+sin45°sin30。=号×号+号×号 =2+6 4 故选：C 3.已知cos90=9, 则cos20=() A.号 B.青 c.青 D.号 【0所1co920=2cos20-1=2x(5)月 -1=2×名-1=-号 故选：A 4.己知sina= 号，sin(a-B)=-织，aB是锐角，则B=() 10 A. B.号 C. D.月 【解析】因为cB是锐角，a-BE(-受，)，所以cos(a-β)>0 cosa-V1-sin a con (a-B)=1-sin'a 10 :sip=iaa-p-sinacos可-osasia-B)-号×要+25x要-马 :B为锐角 :B=景 故选：C. 二、填空题 5.函数f(x)=sinx+cosx+3的最大值是 【解析】f(x)=sinx+cosx+3=V2sin(x+)+3, 故当sin(x+晋)=1，即x+晋=号+2km,k∈Z,x=晋+2kπ，keZ时， f(x)取得最大值，最大值为2+3. 故答案为：V2+3 6. 设f(x)=sinwxcoswx-V5cos2wx+V5(w>0),若函数f(x)的最小正周期为m,则ω= 【解】折f(x)=0sux-5cos92wx+V5=in2x-与cos2wx+号 =sin(2wx-哥)+9， 则函数的最小正周期T=斋=兀，即0=士1， 又ω>0，所以0=1， 故答案为：1： 7.已知0<B<x<,tan(&-)=号，tana-tanB=2,则cosacosB= 【解析】因为tan(a-)=等=器，tana-ta明=2，解得tantanp=支， tana-tang 又0<B<&<受，则0<a-B<受，tan(a-)=号，则sin(a-F)=, cos(a-P)=是，因为tanctanB=anc 所以sinasinB=cosacosB, cos(a-B)=cosacos$+sinasinB= 解得cosacosB-=手. 故答案为：看 8.已知2sim2号+sin6=号，则sin28的值是 【解析】由题得1-cos6+sin6=昌，则sin8-cos6=寻， 两边同时平方可得1-sin29=是，故sin20=号， 故答案为：号 三、解答题 9.已知函数f(x)=2cosx+2V3 sinxcosx+1,xER. (1)求函数f(x)的最小正周期和最大值； 2)若f(号)=号，求sin(2a+)的值， 【解析】(1)f(x)=V3sin2x+cos2x+2=2sin(2x+若)+2， 所以函数f(x)的最小正周期为变=元： 当且仅当2x+若=2kT+罗(kEZ),即x=kπ+若(kEZ)时，函数f(x)的最大值为4. (2)因为f(号)=号，所以2sin(x+晋)+2=号，即sin(x+晋)=是， 所以sin(2a+钙)=sin[2(x+晋)+号]=cos2(&+晋) =1-2s1n2(a+号)=1-2×（得）2=3 6 〉课后巩固 一、选择题 1.cos50°cos10°-sin130°sin10o=(） A.c0s40° B.sin40 C. 【解析】 cos50°cos10°-sin130°sin10°=cos50°cos10°-sin50°sin10°=cos(50°+10)=cos60°=麦 故选：C 2.已知角x的终边经过点P(-2,1),则() A.sina=- 25 B.tana=-2 C.sina +cosa=- 5 D.sin2a= 【解析】由题意可得：sina= 故A错误； tana=专=-克，故B错误； 由cosa=是=-35 5 5, 可得sna+cosa=-25-， 故C正确： sin2a=2×号×(-29)-手 故D错误； 故选：C 3.等腰三角形ABC中，顶角为A,若tanB=3,则cosA=(） A.昌 B.- c. 0.-青 【解析】因为等腰三角形ABC中，顶角为A, 所以底角B=C, 则A=π-B-C=π-2B, 由诱导公式得：c0sA=cos(T-2B)=-cos2B, 因为B是三角形底角，故B∈(O,), 由tanB=器=3得sinB=3cosB, 又sin2B+cos2B=1, 所以9cos2B+cos2B-1→cos2B=六，sim2B=是， 所以cos2B=cos2B-sin2B=六-品=-号， 所以cosA=-cos2B=-（-)= 故选：C 二、填空题 4. 装器的值为 1+tan15 【解析】依题意得，2-2an15 品=×（器 1+tm15 =专×（1-45anmF tan45+tan15 =tan(45°+15)=an60°=写 故答案为： V3 2 三、解答题 5.已知ue(0,T),cosc=-目 (1)求tan(&-晋)及cos2a的值； 2若Be(0,),sin8=气，求cos(2a+B)的值 【解析】(1)由cxE(0,π)，cosa=-寻，得sina=V1-cos2a=青tan仪=器=-等， 所以a(a-)=器=吉=7 sin2a 2sinacosa=- 器c0s2a=2c0s2a-1=-务 (2)8∈(0，)，sin8=-号，得cos8=V-sinF-29 所以cos(2a+B)=cos2acos6-slh2s1nB=-是9-(-第)与-渠 6.已知向量m=(3-9),五=sinx.cox(0,号)】 (1)若m⊥n,求tanx的值； (2)若向量~i=青，求cos(2x-)的值. 【解析】(1)由m上n可得i=0, 即3sinx-号cosx=0, 则tanx=5; 2浦题意可得支snx-号cosx=青即sin(x-看)-有 .cos(2x)=1-2sin. =1-2×传)2= 7.已知向量a=(sinxv3),i=(1,cosx),函数f(x)=a,6. (1)若f(x)=0且π<x<2π，求x的值； (2)求fx的最小正周期： (3)若f(2a+哥)=器，f(2B+号)=-号，：Be[0,号]，求cos(a+)的值 【解析】(1)由题意，向量a=(sinx5),6=(1,cosx),函数f(x)=a·b, 因为f(x)=0,即a·b=0,可得sinx+V5cos诗x=0,所以tan等=-5， 又因为π<x<2π，可得x=等，所以x=誓 (2由f内=sinx+5cosx=2-（佳smx+号cosx=2sin3x+5引 所以函数最小正周期为T=答=4π. (3)由(2)知f(x)=2sin(x+), 因为f2a+)=2sin(c&+号)=2cosx=9,所以cosa= 又因为f2,B+)=2sin(B+π)=-2sim3=-号，所以sin3=胃 因为Be[0,登]，可得ina=V1-cos2a=1-()=}, cosB=-sin2B=V1-(得)=专， 所以cos(a+)=cosacosB--sinasinB=最×考-号×是=-3， ⑨