江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度下学期高一数学冲刺期中小练习3

高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度下学期高一数学冲刺期中小练习3 1.已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2.下列结论正确的是（   ） A．用一个平面去截一个圆台，得到的截面可能是平行四边形 B．有两个面平行且相似，其余各个面都是梯形的多面体是棱台 C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 3.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则（    ）． A． B．或 C． D．或 4．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（   ） A． B．2 C．3 D．4 5在棱长为2的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 6.某船在海面上航行至处，测得山顶位于其正西方向，且仰角为，该船继续沿南偏东的方向航行米至处，测得山顶的仰角为，则该山顶高于海面（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 7.（多选）对于下列四个命题，正确的是（   ） A．任何复数的模都是非负数； B．如果复数，，，，那么这些复数的对应点共圆 C．的最大值是，最小值为0 D．轴是复平面的实轴，轴是虚轴 8.（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，，，则（   ） A． B． C． D．内切圆半径的大小为 9.已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则_____________． 10.中，角的平分线交边于点，则角平分线的长为______． 11.如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点，则点为______时平面. 12.已知且：，则的最大值为_________． 13.如图，在正方体中，分别为，AB的中点． 求证：平面； 求异面直线EF与所成角的余弦值． 14.在直角梯形中，已知，，，，. (1)求； (2)若动点，分别在线段，上，且与面积之比为，试求的最小值. 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度下学期高一数学冲刺期中小练习3解析版 1.已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【详解】对于A，若，，则平行或相交，不一定垂直，故A错误. 对于B，若，则或，故B错误. 对于C，，过作平面，使得， 因为，故，而，故，故，故C正确. 对于D，若，则，故D错误.故选：C. 2.下列结论正确的是（   ） A．用一个平面去截一个圆台，得到的截面可能是平行四边形 B．有两个面平行且相似，其余各个面都是梯形的多面体是棱台 C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 【详解】对于A：用一个平面去截一个圆台，截面一定与圆台侧面相交，当交线是母线时显然 对边不平行，当交线不是母线时，一定不是直线，更不会平行，说明两组对边分别平 行的截面不可能，故A错误； 对于B：根据棱台定义知两个面不仅要平行、相似，各条侧棱所在直线要交于一点，故B错误； 对于C：根据棱柱的定义可知：C正确； 对于D：用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故D错误； 故选：C. 3.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则（    ）． A． B．或 C． D．或 【详解】由正弦定理可得：，解得， 因为，所以，所以或.故选：D 4．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（   ） A． B．2 C．3 D．4 【详解】已知，由正弦定理可得 ， 整理得， 由余弦定理， 因为，所以. 由，且，可得，由正弦定理可得， 由余弦定理可得，即， 整理得.选C. 5在棱长为2的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【详解】连接MD，取其中点Q，连接， 由题意可得， ，且， 所以是直线AM和CN的夹角或补角，， 所以. 所以，即直线AM和CN夹角的正弦值为. 故选：A 6.某船在海面上航行至处，测得山顶位于其正西方向，且仰角为，该船继续沿南偏东的方向航行米至处，测得山顶的仰角为，则该山顶高于海面（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【详解】由题可得示意图：平面，，，， 设山顶高于海面的距离为， 由题意，， 在中，，， 由余弦定理得， 即，即， 解得或（舍去），所以该山顶高于海面米.故选：D. 7.（多选）对于下列四个命题，正确的是（   ） A．任何复数的模都是非负数； B．如果复数，，，，那么这些复数的对应点共圆 C．的最大值是，最小值为0 D．轴是复平面的实轴，轴是虚轴 【详解】设，则 ，故A正确； 因为，，，， 这些复数的对应点均在以原点为圆心，为半径的圆上，故B正确； 因为为定值，最大、最小值相等，都是1，故C错误； 根据复平面的定义，轴是复平面的实轴，轴是虚轴，故D正确． 故选：ABD． 8.（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，，，则（   ） A． B． C． D．内切圆半径的大小为 【答案】ACD 【详解】由，得， 即， 由余弦定理得，所以，即. 所以或（舍去，角度为正值）. 对于A：由正弦定理得， 又，所以，则，即，A正确. 对于C：因为，，则，所以. 由余弦定理得，即， 整理得，解得或. 若，则为等腰三角形，，又，所以，即， 所以，所以与矛盾，故舍去. 因此，，故C正确. 对于B：，故B错误. 对于D：由，，得. 则. 设内切圆半径为，则， 所以，解得，故D正确. 9.已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则_____________． 【详解】由复数表示的点的坐标为： ，又该复数对应的点在虚轴上， 所以，解得或，故答案为：或. 10.中，角的平分线交边于点，则角平分线的长为______． 【详解】依题意，设，. 由，可得. 解得. 11.如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点，则点为______时平面. 【详解】如图，连接，则， 因为平面，又平面，所以. 又，平面. 所以平面，又平面，所以. 于是若平面，平面，则， 平面，又平面，所以. 又，平面，所以平面， 平面，所以，所以，， 所以，因为是正方形，是的中点， 所以当且仅当是的中点时，， 即当点是的中点时，平面. 12.已知且：，则的最大值为_________． 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 因为，故，若，则， 此时，，矛盾，故， 由两边同时除以可得， 所以 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为. 13.如图，在正方体中，分别为，AB的中点． 求证：平面； 求异面直线EF与所成角的余弦值． 【答案】 证明：取的中点M，连接， 在中，因为分别为的中点，所以且， 又且，所以且， 所以四边形MEFA为平行四边形，有， 又平面平面，所以平面； 解：不妨设正方体棱长为2， 由可知为异面直线EF与所成角， 在中，已知， 由余弦定理得， 所以异面直线EF与所成角的余弦值为   14.在直角梯形中，已知，，，，. (1)求； (2)若动点，分别在线段，上，且与面积之比为，试求的最小值. 【详解】（1）作，垂足为，设，，，由于，则，，又，所以， 解得（舍去），所以. （2）设，由（1）. 由题：，. 又，. .当且仅当时取等号. 2 学科网（北京）股份有限公司 $