江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度下学期高一数学冲刺期中小练习4

高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度下学期高一数学冲刺期中小练习4 1已知m+引-则o+() 3 B·5 C.4 4 5 D. 2在4Bc中，4B=15,4C=9,cos∠BAC-}则8C={) A.9 B.10 C.12 D.15 A.3 B.-3 C.-6 D.55 3 3 9 4设、名为共轭复数，若-=45，三eR,则（) 22 A.3 2 B.5 C.25 D.45 5.在正三棱柱ABC-A,B,C,中，M为BC的中点，则以下结论错误的是(） A.AM/1面AB,C B.AM⊥BC C.A,CII面AB,M D.BC,⊥平面ABC 6在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c-b=2bco0sA,则C的取值范围是（) a-b A.(-1,2 B(32 c.(33 D.(2,3 1 高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 7.(多选)下列各式中，计算结果为的是() A.tan25+tan35°+√3tan25°tan35 B.cos85°cos25°-sin85°sin25 C.sin15+cos15 D.sin40°+sin80° cosl5°-sinl5 c0s20 8.(多选)在锐角ABC,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sinA=sinBsinC, 则下列说法正确的是() A.a=bc B.tanB tanC tanBtanC C.tan A tan B tan C≥4 D.a'sbc 5 9如图，已知点P在平行四边形ABCD所在平面外，E为线段AD上靠近A的三等分点，F为 线段PC上-点，当PA/平面BEF时. FC D B 10.已知，B均是第一象限角， cosa -=1,tana tan B=6,cos(a +B)= sina-cosa 11某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由 一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底0同一水平面 内共线的三个点A,B,C,且在点A,B,C处测得塔顶端P的仰角分别为45°，60°， 45°，同时测得AB=40m,BC=60m(如下图)，则塔的高度为 m D B 高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 12.如图，三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H,给出下列命题： B ①若PA⊥BC,PB⊥AC,则H是ABC的垂心 ②若PA,PB,PC两两互相垂直，则H是ABC的垂心； ③若LABC=90°，H是AC的中点，则PA=PB=PC; ④若PA=PB=PC,则H是ABC的外心· 其中正确命题的序号为 13已知函数=25 in xnx-2m+骨引nx-到 (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)求函数f(x)在区间0， 上的最大值和最小值： 2 求cos2x,的值 3 高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 14.如图，四边形ABCD是矩形，AD=2,DC=1,AB⊥平面BCE,BE=√5，EC=1·点F 为线段BE的中点 D (1)求证：EC⊥平面ABE; (2)求异面直线AF与DE所成的角的余弦值 高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度下学期高一数学冲刺期中小练习4解析版 A.3 3 5 B5 c.-3 详ma+mr+引sm+-故选A 3 2在ABC中，AB=15,AC=9,cOs∠BAC=,则BC=() A.9 B.10 C.12 D.15 【详解)：在ABC中，AB=15,4C=9.cos∠BAC☐ 3 c=15,b=9,cosA= a3=b2+c22bcc0sA=81+225-2×9×15×244 a=12,即BC=12故选：C. A.3 B.-5 C.6 D.53 3 3 9 【详辋因为0<a<受则牙牙+a< 3π，且cos/π 44 4 可得<a+<且sim+） 42 +4-cos2a+-22 43 又因为0<B<5,则于<+B” < 4422 且m任+}-9.可得m任+)--o(任+9-5 所以oasa-}=amr[任+eH{任+引=r任+am任+}m任+am[任+ 4设、，为共轭复数，若6，--45，互eR,则l2=() A.3 B.5 C.23 D.43 2 5 高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 【详解】设1=a+bia,beR),则z2=z1=a-bi 所以，-2，=(a+bi)-(a-b1)=2bi,则2，-2=45=2b,可得|%=2W3, 因为三-a+hi=(a+bi12-a2-b22ab 。bia-bia+a+b+a+b1,且eR,所以b=0,放a三 23 故名=bi,则==23 5.在正三棱柱ABC-A,B,C中，M为BC的中点，则以下结论错误的是() A.AM/面AB,C B.AM⊥BC C.AC/面AB,M D.BC1⊥平面ABC 【详解】如图： 对A:因为ABC-A,B,C,为正三棱柱，所以平面ABC//平面A,B,C,AMc平面ABC,所 以AM/1面AB,C.故A正确 对B:因为ABC-A,B,C,为正三棱柱，所以AA,⊥平面ABC,BCc平面ABC,所以 BC⊥AA: 因为ABC是正三角形，且M为BC中点，所以BC⊥AM, AM,AAc平面AA4M,且AM∩AA=A,所以BC⊥平面A4M. AMc平面AAM,所以AM⊥BC.故B正确： 对C:连接A,B和AB,相交于点N,因为ABC-A,BC,为正三棱柱，所以N为A,B中点， 又因为M为BC的中点，所以MN IIA,C. 6 高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 又因为A,C丈平面AB,M,MNC平面AB,M,所以AC1I平面AB,M,故C正确； 对D:假设BC⊥平面ABC,因为BCc平面ABC,所以BC1⊥B,C. 这需要四边形BCCB,是正方形才可以 而条件中并无四边形BCC,B是正方形，所以假设不成立，故D错误 6.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c-b=2 bcosA,则C的取值范围是（) a-b A.（-1,2 c D.2,3 【详解】因为c-b=2 bcos4,则由正弦定理得sinC-sinB=2 sin B cosA, sin C=sin(A+B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 所以sin Acos B+cos Asin B-sinB=2 sin B cos A, sin B=sin Acos B-sin B cos A=sin(A-B) 又A∈(0，π，Be(0,π，则A-Be-π，π 所以B=A-B或B+A-B)=,即A=2B或A=元（舍去）： 0<2B<π 则C=π-A-B=元-3B,所以 1 0<π-3B<π 得得0<B<胥 则2<cosB<1, sin C sin(π-3B) sin3B sin(2B+B) sin 2Bcos B+cos2Bsin B sin A-sin B sin2B-sin B sin 2B-sin B 2sin B cosB-sinB 2sin B cos B-sin B _2 esinc+(2cosB-l)simB=2cosB+1∈(2,3，所以_C的取值范围是2,3).故选：D. sin B(2cos B-1) a-b 7.(多选)下列各式中，计算结果为√5的是() A.tan25°+tan35°+V3tan25°tan35 B.cos85°cos25°-sin85°sin25 C.sin15+cos15 D.sin40°+sin80 cosl5°-sinl5 c0s20° 【详解】A.tan25°+tan35°+V3tan25tan35 =tan60°(1-tan25°tan35）+√5tan25tan35°=tan60°=V3,故A正确： B.cos85°cos25°-sin85°sin25°=cos85°+25）=cos110°≠√3，故B错误， C.sn15+cos15-am15+-an15+an45=an15+45)=V5,故C正确， cos15°-sin15°1-tanl5°1-tan15°tan45° 1 高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 D.sin40°+sin80° sin60°-20)）+sin(60°+20°） c0s20 cos 20 2sin60cos20=5,故D正确故选：ACD c0s20° 8.(多选)在锐角ABC,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sinA=sinBsinC, 则下列说法正确的是() A.a=bc B.tanB+tanC tanBtanC C.tan A tan B tan C≥4 D.a's4bc 5 【答案】BCD 【详解】对于A选项，由正弦定理可得a=bsinC,但是不能得到a=bc,故A错误； 对于B选项，tanB+tanC=sinB+sinC_sin(B+C sinA sinBsinC tanBtanC, cosB cosC cosBcosC cosBcosCcosBcosC 故选项B正确； 对于C选项，由B,C为锐角，故tanBtanC>0, 从而tanBtanC=tanB+tanC≥2 VtanBtanC, 故tanBtanC≥4>1， 因为4+B+C=x,所以anA=tam[元-(B+C]=-tan(B+C=anB+anC tan Btan C-1' 因此tandtanBtanC= tanBtanC(tanB tanC) tanBtanC-1 tanBtanC+1+ tanBtanC-1+- +2≥4，故C正确； anBtanC-1 tanBtanC-1 对于D选项，由C可知tanA=tanB+tanC。tanBtanC -=1+ tanBtanC-1 tanBtanC-1 tanbtanC-4 3,则 咖s号 由正弦定理可得sinA=sinBsinC=bsin4.sinA,得a2=bcsinA≤4bc,故D正确 b a a 5 9如图，已知点P在平行四边形ABCD所在平面外，E为线段AD上靠近A的三等分点，F为 线段PC上一点，当PA/平面BEF时，C 8 高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 D B 【详解】连接AC∩BE=O,连接FO,由口ABCD,E为线段AD上靠近A的三等分点， 得AE /IBC, A0-Ag-4E-,由PA1平面BEF,平面APCn平面BEF=0F, OC BC AD 3 APE平面4PC,得4P0F,所以EC-故答案为： FC OC 3 D D 10.已知，B均是第一象限角， cosa -=1,tana tan B=6,cos(a +B)= sina-cosa 【详解】由条件可知，cosa=sina-cosa,得tana=2,又tana tan B=6,所以tanB=3, 因为是第一象限角 sina=2 cosa 所以 sin2 a +cos2a =1, 解得sina= 2v5 5 cosa=5 sina >0,cosa >0 sin B =3 cos B 又所以snB+cosB=1,解得simB=3C.cosB=回 sinβ>0，cosβ>0 10 10 cos(a+B)=cosa cos A-sina sin B525 5x10 10 2 所以cos(a+B)=- 2 11某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由 一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底0同一水平面 9 高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 内共线的三个点A,B,C,且在点A,B,C处测得塔顶端P的仰角分别为45°，60°， 45°，同时测得AB=40m,BC=60m(如下图)，则塔的高度为 m. D 【答案】60 【分析】设PC=h,则可由余弦定理构建关于h的方程，求出其解即可. 【详解】由题设∠PA0=45°，∠PB0=60°，∠PC0=45°， 设P0=h,则0A=0C=A0B=5, 在△AB0中，由余弦定理有OA=AB2+OB2-2AB×OB cos∠ABO, 故2=1600+2_805hcos∠4B0.同理=360+2_1205hcos∠C80. 3 3 3 而∠AB0+∠CB0=180°，故cos /AB0+c0S∠CB0=0, 所以3+2=4800+？+7200+2R,故3r+22=4800+?+7200+2, 故h=60(m) 12.如图，三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H,给出下列命题 B ①若PA⊥BC,PB⊥AC,则H是ABC的垂心； ②若PA,PB,PC两两互相垂直，则H是ABC的垂心； ③若∠ABC=90°，H是AC的中点，则PA=PB=PC: ④若PA=PB=PC,则H是ABC的外心 10 高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 其中正确命题的序号为 【详解】对于①，由PA⊥BC,PH⊥BC,PA,PHc平面PAH,PA∩PH=P,得BC⊥平 面PAH,因为AHC平面PAH,所以AH⊥BC,同理CH⊥BA,BH⊥AC,故H是 ABC的垂心.故①正确；对于②，若PA,PB,PC两两互相垂直， 由PA⊥PB,PA⊥PC,PB,PCc平面PBC,PBOPC=P,得PA⊥平面PBC, 因为BCc平面PBC,所以PA⊥BC,同理PB⊥AC,由①得H是ABC的垂心·故②正 确；对于③，若LABC=90°，H是AC的中点，则HA=HB=HC,因为 ∠PHA=∠PHB=∠PHC=90° 所以Rt△PHA,Rt△PHB,Rt△PHC全等，故PA=PB=PC.故③正确： 对于④，若PA=PB=PC,同③可得三角形全等，则HA=HB=HC,故H是ABC的外心· 故④正确，故答案为：①②3④. 18已为函数-25smom-2s+骨到m-到 (1)求函数∫(x)的单调递增区间； 2求函数八在区间[Q到上的最大值和最小值， 求cos2x的值 【伴翔】八小-25smrm-2+引：一哥到 =5sm2-2m+-n(--5sm2-2m-m-哥 =√3sin2x-sin 2--5sn2x+cw2x=2n2x+8 令-+2m≤2x+s+2m,keZ. 62 解得：-？+km≤x≤+，k∈Z. 3 6 所以函数f川x的单调递增区间为+k,及+k标，keZ. 6 2)xe0,2 1 225n2x+ 6 6s1, 当2+名至即x=g时。f取最大值2： 6 当2x+-石，即x-号时.八y取最小值-1 66 11 高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 :函数f(在区间0上的最大值是2，最小值是- %開4+[倍得 w2引-m2x+君-()-号 2=m2x+8--9sf2+引2x+8 4-3V5 =10 14如图，四边形ABCD是矩形，AD=2,DC=1,AB⊥平面BCE,BE=V3,EC=1·点F 为线段BE的中点 A (1)求证：EC⊥平面ABE; (2)求异面直线AF与DE所成的角的余弦值 【详解】(1)由AB⊥平面BCE,ECc平面BCE,所以AB⊥EC, 又四边形ABCD是矩形，AD=2,所以BC=AD=2,又BE=V3,EC=1, 所以BE2+EC2=BC2,所以EC⊥BE,又AB∩BE=B,AB,BEC平面ABE, 所以EC⊥平面ABE; (2)将四棱锥E-ABCD放到长方体中，如图： 12 高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 D D B A B 取D,C的中点为G,连接D,G,D,B,GB,GF,由BE//DD,BE=DD, 所以四边形BEDD为平行四边形，所以BD,IIDE, 又F为BE的中点，所以GF //BD2,GF=BD2,又AD1IIBD2,AD,=BD2, 所以AD,/GF,AD=GF,所以四边形AFGD,为平行四边形 所以AF IID,G,所以∠BD,G为异面直线AF与DE所成的角或其补角 又由BC=AD=2,EC=DC=1,所以BE=VBC2-CE2=5, 所以AG-E-9,所以G=nr+nG.5 2 以D,G=BG,DB=VD,B+D2=V万 由余弦定理有cos∠BDG=DB+DG2-BG2 2477 4414 2DB·DG 2xvx7 7 2 所以异面直线AF与DE所成的角余弦值为14 7 13