专题07认识三角形复习讲义(12大核心题型+重点知识梳理)-2025-2026学年北师大版数学七年级下学期

专题07认识三角形复习讲义 高效复习◆重点 1.理解三角形的定义，掌握三角形的基本元素，能准确识别与表示三角形。 2.熟练运用三角形三边关系定理，判断线段能否构成三角形、求解边长范围。 3.掌握三角形内角和定理、外角性质，进行角度计算与推理证明。 4.明晰三角形的分类标准，能按边、角对三角形进行精准分类。 5.理解三角形的高、中线、角平分线的定义，掌握画法与性质。 6.培养几何识图能力，规范几何语言书写，提升简单几何推理能力 核心题型◆归纳 题型1三角形的识别与概念 题型2三角形的分类 题型3构成三角形的条件 题型4确定第三边的取值范围 题型5等腰三角形的定义 题型6三角形角平分线的定义 题型7重心的概念 题型8三角形三边关系的应用 题型9与三角形的高有关的计算问题 题型10利用网格求三角形面积 题型11重心有关性质 题型12提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、三角形的定义与表示 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。 基本元素：三条边、三个内角、三个顶点。 表示方法：以顶点A、B、C为例，记作△ABC，读作“三角形ABC”。 知识点二、三角形的分类 1.按内角大小分类 锐角三角形：三个内角都小于90° 直角三角形：有一个内角等于90°（两锐角互余） 钝角三角形：有一个内角大于90°且小于180° 2.按边的相等关系分类 不等边三角形：三条边都不相等 等腰三角形：至少有两条边相等- 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形：三条边都相等（特殊的等腰三角形） 知识点三、三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 几何语言：ABC中，a+b>c，a+c>b，b+c>a；|a-b|<c<|a+b|。 应用：判断三条线段能否构成三角形；已知两边，求第三边的取值范围。 知识点四、三角形的内角和定理 定理内容：三角形三个内角的和等于180° 几何语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。 推论：直角三角形的两个锐角互余。 知识点五、三角形的外角性质 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 性质:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角； 三角形的外角和等于360°。 知识点六、三角形的重要线段 1.三角形的高 定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足间的线段。 性质：锐角三角形三条高都在内部；直角三角形两条高与直角边重合；钝角三角形两条高在外部。 2.三角形的中线 定义：连接三角形一个顶点与它对边中点的线段。 性质：三角形的三条中线交于一点，叫做三角形的重心；中线将三角形分成面积相等的两个三角形。 3.三角形的角平分线 定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段。 性质：三角形的三条角平分线交于一点，叫做三角形的内心，到三边距离相等。 4.三角形的重心 定义：三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心，记作G。 性质：重心永远在三角形内部，锐角、直角、钝角三角形都一样；重心到对边中点的距离 = 2:1； 三条中线把三角形分成6个面积相等的小三角形。 任意一条中线，都把原三角形分成面积相等的两部分。 知识点七、 三角形的面积 三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即=×底×高. 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分 题型解析◆精准备考 题型1三角形的识别与概念 1．图中以为边的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了对三角形的认识，正确理解三角形的定义是解题的关键．观察图形，根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：以为边的三角形有：、、，共个． 故选：C ． 2．如图，在中，所对的边是_____；在中，边所对的角是_____． 【答案】 / 【分析】本题考查了三角形的有关概念，根据三角形的概念即可求解，正确理解三角形的概念是解题的关键． 【详解】在中，所对的边是；在中，边所对的角是， 故答案为：；． 3．如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点B为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【答案】(1)、 (2)、 (3)等腰三角形有、；等边三角形有：． 【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形和等边三角形的定义，熟练掌握等腰三角形和等边三角形定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据三角形的相关定义进行解答即可； （3）根据等腰三角形定义和等边三角形定义进行解答即可． 【详解】（1）解：以点B为顶点的三角形有：、； （2）解：以为边的三角形有：、； （3）解：，， ∴等腰三角形有、； ， ∴等边三角形有：． 题型2三角形的分类 1．若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先根据平方和绝对值的非负性得到，，求出，即可得结论． 【详解】解：∵， ，， ， ∴是等边三角形． 2．已知中，，则按角分类是________三角形． 【答案】锐角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，结合已知条件得到，据此求出的三个内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴按角分类是锐角三角形， 故答案为：锐角． 3．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长； (3)直接写出化简结果：________． 【答案】(1)等边三角形 (2)11或12或13 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质即可得出结论； （2）根据三角形的三边关系结合c是整数即可求解； （3）根据三角形的三边关系得出，，，然后化简绝对值，再去括号合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵，， ∴，即， ∵c为整数， ∴， ∴当时，的周长， 当时，的周长， 当时，的周长， ∴的周长是11或12或13． （3）解：∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴，，， ∴原式 ． 题型3构成三角形的条件 1．下列各组数分别表示三条线段的长度，其中能构成三角形的是（   ） A．3，5，9 B．8，10，10 C．4，8，12 D．5，6，13 【答案】B 【分析】找出每组中的最大边，验证最大边是否小于另外两边之和即可判断能否构成三角形． 【详解】解：选项A，最大边为9，，不能构成三角形； 选项B，最大边为10，，满足三边关系，能构成三角形； 选项C，最大边为12，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 选项D，最大边为13，，不能构成三角形． 2．已知是等腰三角形，，则边_________． 【答案】8 【分析】本题根据等腰三角形的定义分类讨论的可能取值，再利用三角形三边关系验证能否构成三角形，舍去不符合条件的结果即可得到答案． 【详解】解：是等腰三角形，分两种情况讨论： ① 当时，三角形三边长为， ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，此情况舍去； ② 当时，三角形三边长为， ，满足三角形三边关系，可以构成三角形． 故． 3．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，如果其中有一边的长是，那么它的腰长是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形三边之间的关系．根据等腰三角形有两条边相等，可分长的边为腰和长的边为底边两种情况求解，还要根据三角形两边之和大于第三边验证是否能组成三角形． 【详解】解：如果长的边为腰，则底边长为， ， ，，不能围成三角形； 如果长的边为底边，则腰长为， 答：它的腰长是． 题型4确定第三边的取值范围 1．由三条线段a、b、c可以组成一个三角形，其中，那么c的长度可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用三角形三边关系定理，先求出第三边的取值范围，再匹配选项得到答案，用到的知识点：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：∵三角形三边满足：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，已知 ， ∴ 即 化简得 观察选项，只有在此范围内， 故选C． 2．若一个三角形三边的长分别为4，7，x，则x的值可以为____．（只需写出满足要求的一种情况即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】根据三角形的三边关系得出，即可求解． 【详解】解：依题意，． 解得：． ∴x的值可以为（答案不唯一）． 3．已知的三边分别为．若满足． (1)___________，___________； (2)若为整数，求的周长． 【答案】(1)4；1 (2) 【分析】（1）几个非负数的和为0，则这几个非负数的值都为0，据此可得答案； （2）根据三角形的三边的关系求出b的取值范围，结合b为整数求出b的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴，即， 又∵为整数， ∴， ∴的周长． 题型5等腰三角形的定义 1．等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 【答案】C 【分析】根据题意，分两种情况讨论腰长，再根据三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：当为腰长时，三角形三边长为， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形， ∴此情况舍去； 情况2：当为腰长时，三角形三边长为， ∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形. ∴三角形的周长为． 2．如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为_____． 【答案】5 【分析】根据等腰三角形定义，构成三角形三边关系分情况讨论即可． 【详解】解：①当，在中，， 在中，， ∴此时； ②当，在中，，不符合三边关系， ∴此种情况舍去； 综上，的长为5． 3．某校计划在校园内修建一个等腰三角形花坛，其周长为30米，底边比腰短3米．求花坛各边的长度． 【答案】11米，11米，8米 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，设腰为米，则底边为米，根据三角形周长公式建立方程求出腰长和底边长，再根据构成三角形的条件验证即可得到答案． 【详解】解：设腰为米，则底边为米， 由题意得，， 解得． 腰为11米． 底边米． ∵， ∴此时能构成三角形． 答：花坛各边的长度为11米，11米，8米． 题型6三角形角平分线的定义 1．如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线，根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，是的角平分线，正确； B．∵，为边上的高，正确； C．∵G为的中点，是边上的中线，故原说法不正确； D．∵，为的高线，正确； 故选C． 2．如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【答案】36 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键． 根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 【详解】解：∵是角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：36． 3．如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，则与的周长差为______． (2)若，是的高，求的度数． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中线，高，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余： （1）根据三角形中线的定义可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，再由三角形高的定义可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴与的周长差为； （2）解：∵是角平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 题型7重心的概念 1．用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（   ） A．到三个顶点距离相等的点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】B 【分析】匀质薄板保持平衡的支点为三角形的重心，明确三角形不同特殊点的定义即可解答. 【详解】解：∵ 匀质三角形薄板平衡时支点对应三角形的重心，三角形重心是三条中线的交点， ∴ 这个支点一定是三角形三条中线的交点. 2．如图，已知：G是的重心，，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形重心的性质，三角形的中线的性质，根据G是的重心，得出是的中线，可得，根据重心的性质可得，即可得出． 【详解】解：∵G是的重心， ∴是的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心． (2)在已知网格中找出所有格点，使点与的面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了重心，等高模型，掌握重心的定义和画图方法是解题关键． （1）重心是三角形的中线的交点，作的中线，交于点，点即为所求； （2）根据等高模型解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：如图，点，即为所求， 题型8三角形三边关系的应用 1．如图，某校实践小组在A点测得池塘两端的距离米，米．则池塘两端B、C之间的距离可能是（   ） A．2米 B．3米 C．10米 D．14米 【答案】C 【分析】根据三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边解答即可； 【详解】解：∵在中，米，米， 根据三边关系可得： ， 则，即， 对比选项，只有10米符合该范围． 2．已知等腰三角形的一边等于，一边等于，则它的周长为______． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质和三边关系进行分类讨论求解即可； 【详解】解：等腰三角形的一边等于，一边等于， 当腰为时，三边为，，，能构成三角形， 周长为； 当腰为时，三边为，，， ， 不能构成三角形； 三角形的周长为． 3．某木材市场上木棒规格与价格如下表： 规格 价格（元/根） 10 15 20 25 30 35 40 小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为和的木棒，还需要到某木材市场上购买一根． (1)有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？ (2)选择哪一种规格木棒最省钱？请说明理由． 【答案】(1)5种选择 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得，再解出不等式组可得x的取值范围，进而得到选择的木棒长度； （2）根据木棒价格可直接选出答案． 【详解】（1）解：设第三根木棒的长度为， 根据三角形的三边关系可得：， 解得， 结合题干信息可得：．共5种选择． （2）解：在符合条件的木棒规格中，的木棒价格最低， ∴选的木棒最省钱． 题型9与三角形的高有关的计算问题 1．如图，在中，，P为边上一动点（不与A，B重合），于E，于F，连接，则下列为定值的是（    ） A．线段的长 B．的大小 C．的周长 D．的面积 【答案】B 【分析】过B作，与的延长线交于D，连接，利用等积法即可得出结论． 【详解】解：过B作，与的延长线交于D，连接， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴的大小为定值．其余选项均不能得到是定值. 2．如图，在中，边上的高为上一点，于点于点，则__________． 【答案】4 【分析】连接，利用，结合，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 则， ， ， 又∵，，即， ． 3．如图，中，、边上的高分别是、．已知，，． (1)的面积； (2)的长度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：的面积为：； （2）解：， ． 题型10利用网格求三角形面积 1．如图，方格纸中小正方形的边长为1．A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C的个数为（   ） A．4个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的面积，掌握三角形面积计算公式是解题的关键．根据三角形面积公式解答即可． 【详解】解：满足条件的点C的个数为6个，如图所示： ， ， 故选：B． 2．如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，，恰好在网格图中的格点上，则的面积是________． 【答案】 【分析】本题考查了借助网格求三角形的面积，把放在的矩形中，用矩形的面积减去三个小直角三角形的面积即为的面积． 【详解】解：如下图所示，把放在的矩形中， 则. 故答案为： ． 3．如图是一个的正方形网格，点、、都在正方形网格的格点上． (1)的面积等于___________； (2)过点作线段（点为格点），使得； (3)在上取一点，画线段，使其长度表示点到的距离； (4)作点，使得点到、、、四点的距离之和最小． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】此题考查了求三角形面积，作平行线和垂线，两点之间线段最短，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用割补法求解即可； （2）根据网格的特点和平行线的判定求解即可； （3）取格点F连接交于点M即为所求； （4）利用两点之间线段最短求解即可． 【详解】（1）解：的面积等于； （2）解：如图所示，线段即为所求； （3）解：如图所示，线段即为所求； （4）解：如图所示，点E即为所求． 题型11重心有关性质 1．如图，中，是中线，是上一点，作射线，交于点，若，则（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【分析】本题考查三角形重心的性质，根据是中线，可知点为的重心，从而可知F是的中点，从而得到答案． 【详解】解：是中线，， 点为的重心， 为边上的中线， ． 故选：C． 2．如果点是的重心，是边的中点，那么的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了重心的性质“重心将每条中线分成两部分，其中从顶点到重心的部分与从重心到中点的部分之比为”．根据重心的性质进行求解即可． 【详解】解：∵点是的重心，是边的中点， ∴， 故答案为：． 3．如图，O是△ABC的重心，AN，CM相交于点O，△MON的面积是1，求△ABC的面积． 【答案】12 【分析】由三角形的重心定理得出AO=2ON，CO=2MO，BN=CN，得出△CON的面积=2△MON的面积=2，得出△AOC的面积=2△CON的面积=4，求出△ACN的面积=△OCN的面积+△AOC的面积=2+4=6，即可得出答案． 【详解】解：∵O是△ABC的重心， ∴AO=2ON，CO=2MO，BN=CN ∵△MON的面积是1， ∴△CON的面积=2△MON的面积=2 ∴△AOC的面积=2△CON的面积=4. ∴△ACN的面积=△OCN的面积+△AOC的面积=2+4=6， ∴△ABC的面积=2△ACN的面积=2×6=12． 【点睛】本题考查了三角形的重心定理以及三角形面积，熟练掌握三角形的重心定理是解题的关键． 过关检测◆提升 一、单选题 1．图中共有（   ）个三角形． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义，熟练掌握相关知识是关键． 不在同一直线上的三个点可以确定一个三角形，使用列举法即可． 【详解】解：如图， 图中三角形为、、、、、共个． 故选：B． 2．下列说法中，正确的有（   ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线交于一点，这个交点叫做重心． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据三角形中线、角平分线、高的定义，以及三角形相关交点的名称，逐一判断每个说法的正误，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：对四个说法逐一判断： ① 三角形的中线是连接三角形顶点和它对边中点的线段，角平分线是三角形内角平分线与对边相交，顶点到交点的线段，高是三角形顶点到对边所在直线的垂线段，因此三者都是线段，故①正确； ② ∵钝角三角形的两条高在三角形外部，直角三角形的两条高在三角形的边上，∴②错误； ③ ∵直角三角形有三条高，两条直角边本身就是两条高，还有一条斜边上的高，∴③错误； ④ ∵三角形三条中线的交点叫做重心，三条角平分线的交点不是重心是内心，∴④错误； 综上，只有1个说法正确，故选A． 3．以下列各组数据为边长，可以构成三角形的是（　） A．3，4，5 B．8，7，15 C．13，12，26 D．5，5，11 【答案】A 【详解】解：A．∵，， ∴可以构成三角形，符合题意； B．∵，， ∴不可以构成三角形，不符合题意； C．∵，， ∴不可以构成三角形，不符合题意； D．∵，， ∴不可以构成三角形，不符合题意． 4．如图，已知直线，，垂足为B，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，由平行线的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 5．如图，方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C有（    ）个      A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】利用三角形面积公式画出使，，然后过点作的平行线可确定满足条件的点个数． 【详解】解：如图，满足条件的点有6个．      故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高． 6．如图，常德市屈原公园内有两处标志性观景台．测量小组在景区内选取一点，测得，，据此估计观景台之间的距离可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由三角形三边之间的关系可得，， 即， ∴， ∴估计观景台之间的距离可能为． 二、填空题 7．如图，在中，的对边是_______． 【答案】/ 【分析】考查了三角形，关键是掌握三角形的边、三角形的角的定义．根据三角形的定义，找准所在三角形，然后确定答案即可． 【详解】解：在中，的对边是， 故答案为：． 8．如图，从正五边形的顶点出发，画出所有的对角线，则这些对角线将正五边形分成______个三角形． 【答案】3 【分析】本题考查了多边形的对角线分成的三角形的个数问题，理解对角线的含义是解本题的关键； 连接，，观察图形即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，， 由图可知，这些对角线将正五边形分成了3个三角形， 故答案为：． 9．在中，，，，那么是__________三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”） 【答案】钝角 【分析】由最大内角的度数，即可确定三角形的形状． 【详解】解：∵在中， ， 即三角形的最大内角为钝角，故此三角形是钝角三角形． 10．已知2，，4是三角形的三边长，化简______． 【答案】4 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求a的取值范围，进而得到化简结果． 【详解】解：由三角形三边关系定理得， 即． ∴． 三、解答题 11．如图是由12个小正方形组成的组合图形，每个小正方形的顶点叫做格点．图中，，都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，并回答问题． (1)分别画出的高，中线； (2)画出的重心； (3)若点，，直接写出这个由12个小正方形组成的组合图形的重心的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查三角形的高、中线、重心等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）取格点，连接交于点，则是的高；连接交于点，连接，则是的中线； （2）取格点，连接交于点，则点是的重心； （3）分别求出上面4个小正方形组成图形的重心坐标，下面8个小正方形组成的长方形的重心坐标，从而可求出12个小正方形组成的组合图形的重心的坐标． 【详解】（1）解：如图，的高，中线即为所求作， （2）解：如图，点为的重心； （3）解：上面4个小正方形组成图形的重心坐标为，面积为4； 下面8个小正方形组成的长方形的重心坐标为，面积为8； 所以，这12个小正方形组成的组合图形的重心横坐标为；纵坐标为， 因此，重心坐标为． 12．如图，所有小正方形的边长都为都在格点上． (1)过点画直线的垂线段，垂足为；过点画直线的平行线，标出格点（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段______的长度是点到直线的距离； (3)连接，计算的面积为_______； (4)线段的大小关系为______（填“”“”或“=”），理由是_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)，垂线段最短 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，垂线段最短，点到直线的距离，三角形的面积，平行线的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据垂线，平行线的定义画出图形； （2）根据点到直线的距离的定义判断即可； （3）利用三角形面积公式求解； （4）利用垂线段最短解决问题． 【详解】（1）解：如图，直线，直线即为所求； （2）解：线段的长表示点到直线的距离； 故答案为：； （3）解：的面积， 故答案为：； （4）解：(垂线段最短)， 故答案为：，垂线段最短． 13．已知，，是的三条边长，且，，是正整数． (1)化简； (2)若为等腰三角形，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形三边关系确定绝对值内的式子的正负性，然后去绝对值符号，合并同类项化简即可； （2）利用完全平方公式对已知式子进行变形，得到，的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论，结合三角形三边关系即可确定三角形的周长． 【详解】（1）解：，，是的三条边长，且，，是正整数． ，，， ， ； （2）解：， ， ， ，， ，， 为等腰三角形， 若腰长为，则三边长为，，，，故不能构成三角形； 若腰长为，则三边长为，，，可构成三角形， 的周长为． 14．已知，c是的三边长． (1)已知，求c的取值范围； (2)若，且的周长不超过，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形三边关系及不等式的求解，解题的关键是根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列不等式（组）． （1）根据三边关系，列求解； （2）先根据三边关系列不等式组确定的初步范围，再结合周长不超过24的条件，进一步确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵，， 由三角形三边关系得：，即， 答：的取值范围是． （2）解：由三角形三边关系：， 化简得，解得． 又∵周长，即， ， ，解得， 综上，， 答：的取值范围是． 15．如图，点是的边上的一点，按下列语句画图． (1)过点画边的垂线，交于点； (2)过点画的高； (3)线段______的长度是点到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据垂直的定义，过点作； （2）根据三角形的高的定义，过点作，线段即为所求； （3）根据点到直线的距离的定义可知：线段的长度是点到直线的距离． 【详解】（1）解：下图直线即为所求， （2）解：下图线段即为所求， （3）解：线段的长度是点到直线的距离． 16．如图．在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为．若，求的值． 【答案】10 【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，根据三角形面积公式得出，再根据，得出，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，则． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07认识三角形复习讲义 高效复习◆重点 1.理解三角形的定义，掌握三角形的基本元素，能准确识别与表示三角形。 2.熟练运用三角形三边关系定理，判断线段能否构成三角形、求解边长范围。 3.掌握三角形内角和定理、外角性质，进行角度计算与推理证明。 4.明晰三角形的分类标准，能按边、角对三角形进行精准分类。 5.理解三角形的高、中线、角平分线的定义，掌握画法与性质。 6.培养几何识图能力，规范几何语言书写，提升简单几何推理能力 核心题型◆归纳 题型1三角形的识别与概念 题型2三角形的分类 题型3构成三角形的条件 题型4确定第三边的取值范围 题型5等腰三角形的定义 题型6三角形角平分线的定义 题型7重心的概念 题型8三角形三边关系的应用 题型9与三角形的高有关的计算问题 题型10利用网格求三角形面积 题型11重心有关性质 题型12提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、三角形的定义与表示 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。 基本元素：三条边、三个内角、三个顶点。 表示方法：以顶点A、B、C为例，记作△ABC，读作“三角形ABC”。 知识点二、三角形的分类 1.按内角大小分类 锐角三角形：三个内角都小于90° 直角三角形：有一个内角等于90°（两锐角互余） 钝角三角形：有一个内角大于90°且小于180° 2.按边的相等关系分类 不等边三角形：三条边都不相等 等腰三角形：至少有两条边相等- 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形：三条边都相等（特殊的等腰三角形） 知识点三、三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 几何语言：ABC中，a+b>c，a+c>b，b+c>a；|a-b|<c<|a+b|。 应用：判断三条线段能否构成三角形；已知两边，求第三边的取值范围。 知识点四、三角形的内角和定理 定理内容：三角形三个内角的和等于180° 几何语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。 推论：直角三角形的两个锐角互余。 知识点五、三角形的外角性质 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 性质:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角； 三角形的外角和等于360°。 知识点六、三角形的重要线段 1.三角形的高 定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足间的线段。 性质：锐角三角形三条高都在内部；直角三角形两条高与直角边重合；钝角三角形两条高在外部。 2.三角形的中线 定义：连接三角形一个顶点与它对边中点的线段。 性质：三角形的三条中线交于一点，叫做三角形的重心；中线将三角形分成面积相等的两个三角形。 3.三角形的角平分线 定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段。 性质：三角形的三条角平分线交于一点，叫做三角形的内心，到三边距离相等。 4.三角形的重心 定义：三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心，记作G。 性质：重心永远在三角形内部，锐角、直角、钝角三角形都一样；重心到对边中点的距离 = 2:1； 三条中线把三角形分成6个面积相等的小三角形。 任意一条中线，都把原三角形分成面积相等的两部分。 知识点七、 三角形的面积 三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即=×底×高. 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分 题型解析◆精准备考 题型1三角形的识别与概念 1．图中以为边的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，在中，所对的边是_____；在中，边所对的角是_____． 3．如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点B为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 题型2三角形的分类 1．若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 2．已知中，，则按角分类是________三角形． 3．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长； (3)直接写出化简结果：________． 题型3构成三角形的条件 1．下列各组数分别表示三条线段的长度，其中能构成三角形的是（   ） A．3，5，9 B．8，10，10 C．4，8，12 D．5，6，13 2．已知是等腰三角形，，则边_________． 3．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，如果其中有一边的长是，那么它的腰长是多少？ 题型4确定第三边的取值范围 1．由三条线段a、b、c可以组成一个三角形，其中，那么c的长度可以是（　　） A． B． C． D． 2．若一个三角形三边的长分别为4，7，x，则x的值可以为____．（只需写出满足要求的一种情况即可） 3．已知的三边分别为．若满足． (1)___________，___________； (2)若为整数，求的周长． 题型5等腰三角形的定义 1．等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 2．如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为_____． 3．某校计划在校园内修建一个等腰三角形花坛，其周长为30米，底边比腰短3米．求花坛各边的长度． 题型6三角形角平分线的定义 1．如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 2．如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 3．如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，则与的周长差为______． (2)若，是的高，求的度数． 题型7重心的概念 1．用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（   ） A．到三个顶点距离相等的点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 2．如图，已知：G是的重心，，那么______． 3．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心． (2)在已知网格中找出所有格点，使点与的面积相等． 题型8三角形三边关系的应用 1．如图，某校实践小组在A点测得池塘两端的距离米，米．则池塘两端B、C之间的距离可能是（   ） A．2米 B．3米 C．10米 D．14米 2．已知等腰三角形的一边等于，一边等于，则它的周长为______． 3．某木材市场上木棒规格与价格如下表： 规格 价格（元/根） 10 15 20 25 30 35 40 小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为和的木棒，还需要到某木材市场上购买一根． (1)有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？ (2)选择哪一种规格木棒最省钱？请说明理由． 题型9与三角形的高有关的计算问题 1．如图，在中，，P为边上一动点（不与A，B重合），于E，于F，连接，则下列为定值的是（    ） A．线段的长 B．的大小 C．的周长 D．的面积 2．如图，在中，边上的高为上一点，于点于点，则__________． 3．如图，中，、边上的高分别是、．已知，，． (1)的面积； (2)的长度． 题型10利用网格求三角形面积 1．如图，方格纸中小正方形的边长为1．A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C的个数为（   ） A．4个 B．6个 C．7个 D．8个 2．如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，，恰好在网格图中的格点上，则的面积是________． 3．如图是一个的正方形网格，点、、都在正方形网格的格点上． (1)的面积等于___________； (2)过点作线段（点为格点），使得； (3)在上取一点，画线段，使其长度表示点到的距离； (4)作点，使得点到、、、四点的距离之和最小． 题型11重心有关性质 1．如图，中，是中线，是上一点，作射线，交于点，若，则（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 2．如果点是的重心，是边的中点，那么的值为______． 3．如图，O是△ABC的重心，AN，CM相交于点O，△MON的面积是1，求△ABC的面积． 过关检测◆提升 一、单选题 1．图中共有（   ）个三角形． A．5 B．6 C．7 D．8 2．下列说法中，正确的有（   ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线交于一点，这个交点叫做重心． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．以下列各组数据为边长，可以构成三角形的是（　） A．3，4，5 B．8，7，15 C．13，12，26 D．5，5，11 4．如图，已知直线，，垂足为B，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C有（    ）个      A．1 B．2 C．4 D．6 6．如图，常德市屈原公园内有两处标志性观景台．测量小组在景区内选取一点，测得，，据此估计观景台之间的距离可能为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，在中，的对边是_______． 8．如图，从正五边形的顶点出发，画出所有的对角线，则这些对角线将正五边形分成______个三角形． 9．在中，，，，那么是__________三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”） 10．已知2，，4是三角形的三边长，化简______． 三、解答题 11．如图是由12个小正方形组成的组合图形，每个小正方形的顶点叫做格点．图中，，都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，并回答问题． (1)分别画出的高，中线； (2)画出的重心； (3)若点，，直接写出这个由12个小正方形组成的组合图形的重心的坐标． 12．如图，所有小正方形的边长都为都在格点上． (1)过点画直线的垂线段，垂足为；过点画直线的平行线，标出格点（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段______的长度是点到直线的距离； (3)连接，计算的面积为_______； (4)线段的大小关系为______（填“”“”或“=”），理由是_____． 13．已知，，是的三条边长，且，，是正整数． (1)化简； (2)若为等腰三角形，且满足，求的周长． 14．已知，c是的三边长． (1)已知，求c的取值范围； (2)若，且的周长不超过，求a的取值范围． 15．如图，点是的边上的一点，按下列语句画图． (1)过点画边的垂线，交于点； (2)过点画的高； (3)线段______的长度是点到直线的距离． 16．如图．在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为．若，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $