精品解析：重庆市合川区初中“七校联盟”2024--2025学年下学期半期质量检测八年级数学试题

合川区初中“七校联盟”2025年春期半期质量检测 八年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间：120分钟） 注意事项：1、请将答案做在答题卷上，不得在试卷上作答，只交答题卷． 2、作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 一、选择题：（本大题共10个小题，每题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列二次根式是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组线段中，能构成直角三角形的一组是（ ） A. B. 1，2，5 C. D. 30，40，50 4. 下列说法不正确的是（　　） A. 平行四边形两组对边分别平行 B. 平行四边形的对角线互相平分 C. 平行四边形的对角互补，邻角相等 D. 平行四边形的两组对边分别平行且相等 5. 已知代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点D落在边中点E处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作的垂线交对角线于点，垂足为，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形是矩形，点在边上，平分且，垂足为点，连接并延长交于点，连接交于点，连接交于点，有下列结论：①；②垂直且平分；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题：（本大题6小题，每小题5分，共30分）请将每个小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 最简二次根式与可以合并，则______ 12. 平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝120°，则∠B＝_________度． 13. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 14. 如图，圆柱形玻璃容器高，底面周长为，在容器内壁距下底的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底的容器内点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为______． 15. 图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为______cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为______cm． 16. 一个四位正整数，各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位之和等于百位与个位之和均为9，则称为“行知数”此时，规定，例如，，∵，∴是“行知数”，；又如，，∵，∴不是“行知数”．2475是否是“行知数”_______（填”是“或“否”）；对于“行知数”，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到一个新的“行知数”．若是整数，且的千位数字不小于十位数字，在满足条件的所有“行知数”的值中，最大的“行知数”是__________． 三．解答题：（本大题8小题，每小题均为10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简：，，．以上这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： （1）化简：； （2）若a是的小数部分，求的值； （3）长方形的面积为，一边长为，求它的周长． 19. 如图，在平行四边形中，点E是的角平分线与的交点，小谷想在平行四边形里面再剪出一个以为边的平行四边形，小谷的思路是：作的角平分线，将其转化为证明三角形全等，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形使问题得到解决，请根据小谷的思路完成下面的作图与填空： （1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线与交于点F，连接，．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）根据（1）中作图，求证：四边形为平行四边形． 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，①_______________． ∴②_______________． ∵分别平分． ∴，． ∴③_________________ ∵在与中， ∵， ∴． ∴，④_________________． ∴，即， ∴⑤________________． ∴四边形为平行四边形． 20. 如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入． （1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？ （2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 21. 如图，在四边形中，，对角线与相交于点，、分别是边、的中点． （1）求证：； （2）当，，时，求的长． 22. 如图，在四边形中，，对角线BD的垂直平分线与边、分别相交于点M、N． （1）求证：四边形是菱形； （2）若菱形的周长为68，，求菱形的面积． 23. 如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F． （1）求证：△ABF≌△ECF； （2）若∠AFC=2∠D，连接AC、BE，求证：四边形ABEC是矩形． 24. 综合与实践：如图1，在正方形中，连接对角线，点O是的中点，点E是线段上任意一点（不与点A，O重合），连接、．过点E作交直线于点F． （1）如图1，试猜想线段与的数量关系，并说明理由； （2）如图1，求证：； （3）如图2，当E在线段上时（不与点C，O重合），交延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段、、之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合川区初中“七校联盟”2025年春期半期质量检测 八年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间：120分钟） 注意事项：1、请将答案做在答题卷上，不得在试卷上作答，只交答题卷． 2、作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 一、选择题：（本大题共10个小题，每题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列二次根式是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念逐一进行判断即可. 【详解】A. ，故A选项不符合题意； B. ，故B选项不符合题意； C. ，故C选项不符合题意； D. 是最简二次根式，符合题意， 故选D. 【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，熟练掌握二次根式的化简以及最简二次根式的概念是解题的关键. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，算术平方根，立方根．根据二次根式的乘法、算术平方根，立方根的性质计算即可求解． 【详解】解：A、没有意义，本选项不符合题意； B、，本选项符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列各组线段中，能构成直角三角形的一组是（ ） A. B. 1，2，5 C. D. 30，40，50 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形． 【详解】解：A、∵， ∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能构成直角三角形； B、∵， ∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能构成直角三角形； C． ∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能构成直角三角形； D．， ∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故能构成直角三角形． 故选：D． 4. 下列说法不正确的是（　　） A. 平行四边形两组对边分别平行 B. 平行四边形的对角线互相平分 C. 平行四边形的对角互补，邻角相等 D. 平行四边形的两组对边分别平行且相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质逐一判断即可． 【详解】A. 平行四边形两组对边分别平行,故该选项正确，不符合题意； B. 平行四边形的对角线互相平分,故该选项正确，不符合题意； C. 平行四边形的对角相等，邻角互补,故该选项不正确，符合题意； D. 平行四边形的两组对边分别平行且相等,故该选项正确，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题是考查平行四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键，平行四边形的性质为：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分． 5. 已知代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得到且，进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：且， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不为零，是解题的关键． 6. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理．先求出圆的半径，结合点A在表示1的数的左侧，即得出点A处所表示的数． 【详解】解：根据勾股定理可得圆的半径为， ∴点A处所表示的数为． 故选：B． 7. 如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点D落在边中点E处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查折叠问题；找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．根据是直角三角形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠可得，设，则， ∵， ∴， 解得：， 即线段的长是． 故选：A． 8. 如图，在四边形中，是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，解题关键是灵活运用相关知识．利用三角形中位线定理得到，推出，即可求出的度数． 【详解】解：是的中点，点、分别是、的中点， 、分别是、的中位线， ，， ， ， ， ， ． 故选：B． 9. 如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作的垂线交对角线于点，垂足为，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，由正方形的性质可得，，由勾股定理可得，从而得出，证明，得出，即可得解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，四边形是矩形，点在边上，平分且，垂足为点，连接并延长交于点，连接交于点，连接交于点，有下列结论：①；②垂直且平分；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，得出，由等腰三角形的性质得出，故①正确；由得，由线段垂直平分线的性质可得②正确；由，，得不可能是等边三角形，得，故③错误；由等腰三角形的性质可判断④；由全等三角形的性质及长方形的性质可得为等腰直角三角形，求出，再根据平行线的性质可得，可判定⑤正确． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ，故①正确； ，，， ， 在的垂直平分线上， 在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上， 垂直且平分，故②正确； 平分， ， ， ， 又， 不可能是等边三角形， ， 错误；故③错误； ，， ， ， ， ，故④错误； ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 故⑤正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 二．填空题：（本大题6小题，每小题5分，共30分）请将每个小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 最简二次根式与可以合并，则______ 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，根据同类二次根式的定义得到被开方数相同是解题的关键．因为最简二次根式与可以合并，所以它们是同类二次根式，被开方数相同，列出方程，解出m即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：2． 12. 平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝120°，则∠B＝_________度． 【答案】120 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角相等，邻角互补，再根据已知即可求解． 【详解】解：∵在▱ABCD中，∠A=∠C，∠A+∠B=180°， 又∵∠A+∠C=120°， ∴∠A=120°÷2=60°， ∴∠B=180°-∠A=120°． 故答案为：120． 【点睛】在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择的使用，避免混淆性质，以致错用性质． 13. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 14. 如图，圆柱形玻璃容器高，底面周长为，在容器内壁距下底的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底的容器内点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据题意得到圆柱体的展开图，确定A、B的位置，利用勾股定理即可求解； 【详解】解：圆柱体玻璃容器展开图如下，，作于F， ∵底面周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 故答案为：5． 15. 图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为______cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为______cm． 【答案】 ①. ②. 12 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，推出，再根据勾股定理解即可； （2）当窗户开到最大时，，根据勾股定理解求出；当关闭状态下，，由此可解． 【详解】解：（1），， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ． 故答案为：； （2）当窗户开到最大时，，， ， ， ，， ； 当关闭状态下，， 窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为， 故答案为：12． 【点睛】本题考查平行四边形的实际应用、勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形的性质，从根据实际情况构建数学模型． 16. 一个四位正整数，各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位之和等于百位与个位之和均为9，则称为“行知数”此时，规定，例如，，∵，∴是“行知数”，；又如，，∵，∴不是“行知数”．2475是否是“行知数”_______（填”是“或“否”）；对于“行知数”，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到一个新的“行知数”．若是整数，且的千位数字不小于十位数字，在满足条件的所有“行知数”的值中，最大的“行知数”是__________． 【答案】 ①. 是 ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义题型，整式的加减的应用，利用“行知数”的定义判断即可，设“行知数”的千位数字为，百位数字为，则十位数字为，个位数字为，表示出，根据题意得出，且，分类计算即可得出答案，正确推出是解此题的关键． 【详解】解：， 是“行知数”； 设“行知数”的千位数字为，百位数字为，则十位数字为，个位数字为， ，， ，， ， ， 是整数， 是的倍数， 的千位数字不小于十位数字， ， ， ，且， 当时，是的倍数，此时，则， 当时，是的倍数，此时，不符合题意，舍去， 当时，是的倍数，此时，则， 当时，是的倍数，此时，则， 故最大的“行知数”为， 故答案为：是，． 三．解答题：（本大题8小题，每小题均为10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，利用完全平方公式去掉括号，再合并即可求解； （2）先计算乘除，化简二次根式再计算加减即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简：，，．以上这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： （1）化简：； （2）若a是的小数部分，求的值； （3）长方形的面积为，一边长为，求它的周长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小、二次根式的混合运算、分母有理化，熟知分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据题目中的例子可以解答本题； （2）估算出的范围，进而求出的小数部分，即a的值，再仿照题意进行分母有理化即可得到答案； （3）根据长方形面积计算公式求出另一边长即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴的整数部分为1， ∴的小数部分为，即， ∴； 【小问3详解】 解：∵矩形的面积为，一边长为， ∴矩形的另一边长为， ∴该矩形的周长为． 19. 如图，在平行四边形中，点E是的角平分线与的交点，小谷想在平行四边形里面再剪出一个以为边的平行四边形，小谷的思路是：作的角平分线，将其转化为证明三角形全等，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形使问题得到解决，请根据小谷的思路完成下面的作图与填空： （1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线与交于点F，连接，．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）根据（1）中作图，求证：四边形为平行四边形． 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，①_______________． ∴②_______________． ∵分别平分． ∴，． ∴③_________________ ∵在与中， ∵， ∴． ∴，④_________________． ∴，即， ∴⑤________________． ∴四边形为平行四边形． 【答案】（1）见解析； （2）；；；； 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，尺规作图： （1）根据作已知角的平分线的作法，即可； （2）根据平行四边形的性质以及角平分线的定义可得，证明，可得，，从而得到，进而得到，即可求证． 【小问1详解】 解：如图，，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴． ∵分别平分． ∴，． ∴， ∵在与中， ∵， ∴． ∴，． ∴，即， ∴． ∴四边形为平行四边形． 故答案为：；；；；. 20. 如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入． （1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？ （2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 【答案】（1） （2）需要， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用； （1）过作，因为，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，通过三角形的面积转化，即可求解； （2）以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，，由等腰三，比较与的大小即可判断，由勾股定理得，即可求解．掌握勾股定理及其逆定理，能作出适当的辅助线，将实际问题转化为勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得 ，，， 如图，过作， ， ， 是直角三角形，且， ， ， 解得：， 答：山地C距离公路的垂直距离为； 【小问2详解】 解：公路有危险需要暂时封锁，理由如下： 如图，以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，， 则， ， ， 由（1）可知，， ， 有危险需要暂时封锁， 在中， ， ， 即需要封锁的公路长为． 21. 如图，在四边形中，，对角线与相交于点，、分别是边、的中点． （1）求证：； （2）当，，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）连接、，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，再根据等腰三角形的性质即可得证； （2）根据等腰三角形性质和三角形外角的性质求出，，再求出的长度，最后根据直角三角形的性质求出的长度． 【小问1详解】 证明：连接、，如图， ，点、点分别是边、的中点， ，， ， 是的中点， 是的垂直平分线， ． 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ，， ， 在中，，， ， 的长是5． 【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形性质，等腰三角形性质等知识点的理解和掌握，能求出和的长是解题的关键． 22. 如图，在四边形中，，对角线BD的垂直平分线与边、分别相交于点M、N． （1）求证：四边形是菱形； （2）若菱形的周长为68，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，得到，再由证出四边形是平行四边形，再由得到四边形是菱形． （2）由菱形的性质得到，再由勾股定理求出的长，然由菱形面积计算公式得出答案． 【小问1详解】 证明：， ， 是对角线的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 四边形是菱形，周长为52， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握菱形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 23. 如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F． （1）求证：△ABF≌△ECF； （2）若∠AFC=2∠D，连接AC、BE，求证：四边形ABEC是矩形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABF＝∠ECF， ∵EC＝DC， ∴AB＝EC， 在△ABF和△ECF中， ∵∠ABF＝∠ECF，∠AFB＝∠EFC，AB＝EC， ∴△ABF≌△ECF． （2）∵AB＝EC，又AB∥EC， ∴四边形ABEC是平行四边形． ∴AF＝EF，BF＝CF． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D， 又∵∠AFC＝2∠D， ∴∠AFC＝2∠ABC． ∵∠AFC＝∠ABF＋∠BAF， ∴∠ABF＝∠BAF． ∴FA＝FB． ∴FA＝FE＝FB＝FC， ∴AE＝BC． ∴四边形ABEC是矩形． 24. 综合与实践：如图1，在正方形中，连接对角线，点O是的中点，点E是线段上任意一点（不与点A，O重合），连接、．过点E作交直线于点F． （1）如图1，试猜想线段与的数量关系，并说明理由； （2）如图1，求证：； （3）如图2，当E在线段上时（不与点C，O重合），交延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1） 解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点E作交的延长线于点G， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴在中，， 在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先根据正方形的性质可证得，由此可得，，再根据同角的补角相等证得，等量代换可得，由此可得，再等量代换即可得证； （2）过点E作交的延长线于点G，先证明，利用勾股定理可得，再证明，由此可得，最后再等量代换即可得证； （3）仿照（1）和（2）的证明即可证得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，理由如下： 如图，过点E作交于点G，设与的交点为点P， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由（1）可知：， ∴， 在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，作出正确的辅助线并能灵活运用相关图形的性质是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $