2026年中考数学专题复习：3.6二次函数的应用 课件

中考数学一轮复习 专题3.6 二次函数的应用 同学，二次函数基础知识我们复习几个重点：二次函数的实际应用、图象应用、几何综合等，让我们一起梳理下重点知识和典型例题吧． 整式及其运算 考点剖析 4 抛物线形问题 5 3 1 图形运动问题 利润问题 方案选择问题 图形面积问题 2 几何综合问题 6 二次函数的应用 一元一次方程解应用题的常见类型 面积最值问题 利用图形面积公式构造关于x的二次函数，利用二次函数图象的顶点坐标求出最值，注意解题时必须结合自变量的取值范围和函数的增减性确定最值 抛物线形问题 将实际问题转化为数学问题，建立函数模型，利用二次函数的性质解决问题 销售利润问题 根据“利润=(售价-进价)×销量列出函数解析式，利用二次函数的性质求最值 知识点：二次函数的应用 一元一次方程解应用题的常见类型 动点问题 首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算 存在性问题 一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在 知识点：二次函数的应用 利用方程解决实际问题的基本思路 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 知识点：一元一次方程的应用 注意：二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 知识梳理 知识点 用二次函数解决实际问题的一般步骤 审题，仔细审题，理清题意； 找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； 检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论 1.审 2.设 3.列 4.解 5.检 典型例题 例1 每年5月的第三个星期日为全国助日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”.康宁公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售.根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元.设每辆轮椅降价元，每天的销售利润为 元. （1）求与 的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大?最大利润为多少元? 解析 利润问题 考点1 当时，最大， 最大值为 . 答：与的函数关系式为 ；每辆轮椅降价20元时每天的销售利润最大，最大利润为12240元. 解：（1）由题意，得 . 每辆轮椅的利润不低于180元， ， . ,对称轴为直线 ， 当时，随 的增大而增大， 典型例题 例1 解析 利润问题 考点1 （2）当时， ， 解得， （不合题意，舍去）. （辆）. 答：这天售出了64辆轮椅． 解题通法 每年5月的第三个星期日为全国助日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”.康宁公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售.根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元.设每辆轮椅降价元，每天的销售利润为 元. （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ ①二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式； ②设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量 求出w关于x的函数表达式； ③实际问题中自变量的取值要使实际问题有意义,因此在求二次函数的最值时,一定要注意自变量的取值范围. 典型例题 例2 解析 某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价． (1)求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元； (2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ （1）解：设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验：是方程的解， 元， 答：今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元. （2）解：设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大， 根据题意得出： ， 整理得：， 根据二次函数的性质得出：当时，利润最大， ， 答：当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元． 利润问题 考点1 某商场计划用5400元购买一批商品，若将进价降低10%，则可以多购买该商品30件．市场调查反映：售价为每件25元时，每天可卖出250件．如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件． (1)求该商品原来的进价； (2)在进价没有改变的条件下，若每天所得的销售利润为2000元，且销售量尽可能大时，该商品的售价是多少元/件？ 典型例题 方案选择问题 考点2 例3 解析 （1）解：设该商品原来的进价为元． 由题意：， 解得，经检验，是原方程的解， 答：该商品原来的进价为20元； （2）解：设提价元，根据题意得： ， 解得或5， 销量尽可能大，， 商品的售价是每件30元； 典型例题 方案选择问题 考点2 解析 （3）解：设提价元，由题意得： ； ， 抛物线对称轴是直线，开口向下， 对称轴左侧随的增大而增大， 对称轴右侧随的增大而减小， 某商场计划用5400元购买一批商品，若将进价降低10%，则可以多购买该商品30件．市场调查反映：售价为每件25元时，每天可卖出250件．如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件． (3)在进价没有改变的条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案． 方案A：每件商品涨价不超过5元；方案B：每件商品的利润至少为16元． 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由． 方案：根据题意得，，则，当x=5时，利润最大，（元)， 方案：根据题意得，，解得：， 则，故当时，利润最大， （元， ， 综上所述，方案最大利润更高． 例3 某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园， 用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米． （1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积； （2）在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药， 每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元， 学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹. 典型例题 例4 解析 图形面积问题 考点3 (1)设花园平行于墙的一边长为 米，面积为 平方米， 则垂直于墙的一边长为 米， ， 当 时， 有最大值，最大值是 ， 此时 . 答：当花园平行于墙的一边长为60米、垂直于墙的一边长为20米时，花园面积最大，最大面积为1 200平方米． (2)设种植牡丹的面积为 平方米，则种植芍药的面积为 平方米， 由题意可得 ， 解得 ，即牡丹最多种植700平方米， （株）. 答：最多可以购买1400株牡丹． 典型例题 解析 抛物线形问题 考点4 解：(1)∵点是抛物线上的一点， 把点代入中，得：， 解得，∴抛物线的解析式； （2）解：由（1）得： ， ∴抛物线最高点对坐标为； 在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线最高点的坐标； (3)斜坡上点B处有一棵树，点B是的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度． 例5 典型例题 解析 抛物线形问题 考点4 （3）解：过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E、D，∵∠BOD=∠AOE，∠BDO=∠AEO=90°， ∴△OBD∽△OAE，∴ ， 又∵点B是OA的三等分点，∴ ， ∵A(3, )，∴AE= ，OE=3，∴ ，解得BD=， ∴解得OD=1， ∴点C的横坐标为1，将x=1代入中， ， ∴点C的坐标为(1, )，∴CD=， ∴CB=CD-BD= - =2， 在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线最高点的坐标； (3)斜坡上点B处有一棵树，点B是的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度． 例5 典型例题 抛物线形问题 考点4 同学们在操场上进行铅球训练，小明尝试利用数学模型研究铅球的运动情况,其运动路径可看作抛物线，他以水平方向为 轴，单位长度为 ，建立了如图所示的平面直角坐标系.小明在投掷铅球时，铅球出手时铅球离地面的高度为 ，经测量，铅球落地时，铅球离出手点的水平距离刚好是 ． （1）小明投掷的铅球运行的水平距离为 时，铅球达到最大高度， ①求该铅球运行路线所在抛物线的表达式； ②当铅球距出手点的水平距离为 时，求铅球距离地面的高度. 解析 将代入， 得 ,解得， . 故抛物线的表达式为 . ②将代入，得 . 即铅球距出手点的水平距离为时， 铅球距离地面的高度为 . 解：（1）① 铅球出手时铅球离地面的高度为 ， 可设抛物线的表达式为 . 由铅球运行的水平距离为 时，铅球达到最大高度， 可知， ， . 例6 典型例题 例6 抛物线形问题 考点4 同学们在操场上进行铅球训练，小明尝试利用数学模型研究铅球的运动情况,其运动路径可看作抛物线，他以水平方向为 轴，单位长度为 ，建立了如图所示的平面直角坐标系.小明在投掷铅球时，铅球出手时铅球离地面的高度为 ，经测量，铅球落地时，铅球离出手点的水平距离刚好是 ． 解析 解得， ， 则 ， 当时， 取最大值，最大值为1.6. 答：的最大值为， 此时铅球运行的水平距离为 . （2）根据题意可设小红投掷铅球时，铅球运动轨迹 所在抛物线的表达式为 ， 由题意知，该抛物线的对称轴为直线 ， 且该抛物线经过点 ， 则,, . 将代入， 得 , （2）已知小红在投掷铅球时，铅球出手时铅球离地面的高度和铅球落地时铅球离出手点的水平距离均与小明相同，但小红投掷的铅球在距出手点水平距离为 时达到最大高度.假设铅球运行的水平距离相同时，小红投掷铅球时铅球的所在位置与小明投掷铅球时铅球所在位置的高度差为，求 的最大值及此时铅球运行的水平距离. 典型例题 例7 解析 图形运动问题 考点5 如图，在矩形中，，点E是边上的动点， 连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧）， 且，． (1)如图1，当点E为AD边的中点时，点B，E，F 在同一直线上，求BF的长 （1）解：∵矩形中，， ∴AB=CD=4，BC=AD=8， ∠A=∠ADC=90°，， ∵点E在AD的中点 ∴AB=AE=ED=DC=4， ∴BE=CE=4，∠AEB=45°， ∵点B、E、F在同一直线上， ∴∠AEB=∠FED=45°， ∵∠F=90° ∴ED=4= EF， ∴EF=2， ∴BF=BE+EF=6． 典型例题 例7 解析 图形运动问题 考点5 如图，在矩形中，，点E是边上的动点， 连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧）， 且，． (2)如图2，若∠BCE=30°，设CE与BF交于点K．求证：BK=FK． （2）证明：如图：过B作交于H，∵AD∥BC， ∴∠BCE=∠CED，∠AEB=∠CBE， ∵∠BCE=30°， ∴BH= BC=4=AB,∠BCE=∠CED=30°， ∵BE=BE ∴Rt△ABERt△BEH(HL )， H ∴∠AEB=∠BEH， ∴∠AEB=∠BEH=∠CBE， ∴BC=CE， ∵CE=2EF， ∴EF= CE= BC=BH，∵∠FEC=∠BHE=90°,∠EKF=∠HKB， ∴△BHK≌△FEK(AAS)， ∴BK=FK． 典型例题 例7 解析 图形运动问题 考点5 如图，在矩形中，，点E是边上的动点， 连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧）， 且，． (3)在点E的运动过程中，BF的长是否存在最大（小）值？ 若存在，求出BF的最值；若不存在，请说明理由． 解：存在，BF的最小值，最大值．． 如图：过点F作AB的垂线，交AB延长线于点M， 过点E作AB的平行线交BC于点N，交MF于点P． 则设AE=x,BF=y． ∵四边形ABCD和四边形EFGC都是矩形， ∴∠FPE=∠ENC=∠FEC=90°， ∴∠PEF+∠PFE=90°,∠PEF+∠NEC=90°， ∴∠PFE=∠NEC， ∵∠FPE=∠ENC=90°，∴△PEF∽△NCE， ∴，即 ∴PF=2, ， ∴在中，， ，                 当时，y有最小值为．                      ∵，∴当时，y有最大值为， ∴在点E的运动过程中， 的长存在最小值，最大值． 典型例题 图形运动问题 考点5 利用二次函数解决运动型几何问题的方法 对于运动型几何问题中的函数应用问题，解题时应深入理解运动图形所在的条件与环境，用运动的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动过程中的不变量、不变关系和特殊关系，然后化“动态”为“静态”、化“变化”为“不变”，通过分析找出题中各图形的结合点，借助函数的性质予以解决. 当图形(或某一事物)在运动的过程中某一量取到最大值或最小值时，其位置必定在一个特殊的位置,这是普遍规律. 解题通法 利用待定系数法求解二次函数解析式 ①设函数解析式 ②代入已知坐标 ③解方程组 ④还原解析式 典型例题 例8 几何综合问题 考点5 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交两点(点在点的左侧)，与y轴交于点C，点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段上一点(不含端点)，过点作交抛物线于点Q，交线段AD于点，点是直线上一点，连接，求的周长最大值． (1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)与x轴交于 A(－4，0)，B(2，0)两点， ∴解得, ∴抛物线的表达式为y＝－x2－x＋4． 解题通法 解析 典型例题 几何综合问题 考点5 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交两点(点在点的左侧)，与y轴交于点C，点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段上一点(不含端点)，过点作交抛物线于点Q，交线段AD于点，点是直线上一点，连接，求的周长最大值． (2)过点Q作QM⊥EF于点M，如图，则∠QME＝90° ∵FQ＝EQ，QM⊥EF，∴EF＝2EM， ∵A(－4，0)，D(0，3)，∴OA＝4，OD＝3， 在Rt△AOD中，由勾股定理得AD＝5． ∵PQ⊥x轴，∴PQ∥OC， ∴∠QEM＝∠ADO，∴cos ∠QEM＝cos ∠ADO， ∴＝＝，∴EM＝QE，EF＝QE， ∴△FEQ的周长＝QE＋EF＋FQ＝QE， ∴当QE最大时，△FEQ的周长最大． 设Q，其中－4<m<0． ∵A(－4，0)，D(0，3)， ∴直线AD对应的函数表达式为y＝x＋3， ∴E， ∴QE＝－m2－m＋4－＝－m2－m＋1 ＝－＋， ∵－<0，∴当m＝－时，QE有最大值，最大值为， ∴△FEQ周长的最大值为＝8.1． 解析 例8 典型例题 几何综合问题 考点5 1. 求线段长 (1)与x轴垂直的线段的长：纵坐标相减(上减下)； (2)与y轴垂直的线段的长：横坐标相减(右减左). 2. 线段数量关系问题 (1)若两条线段的长均可计算或表示出来，直接根据线段数量关系列方程求解； (2)若两条线段的长无法直接计算或表示出来，可通过与x轴或y轴的平行线构造相似三角形，将线段进行转化，再根据线段数量关系列方程求解 3. 利用二次函数性质求线段最值 (1)求竖直线段的最值 第一步：设M(t，at2＋bt＋c)，则N(t，mt＋n)； 第二步：表示线段MN的长，MN＝at2＋bt＋c－mt－n； 第三步：化简MN＝at2＋bt＋c－mt－n＝at2＋(b－m)t＋c－n，利用二次函数性质求最值. (2)求斜线段的最值，利用锐角三角函数化斜为直得：MP＝MN·sin∠MNP，再根据(1)的步骤求解. 解题通法 典型例题 几何综合问题 考点5 (1)将A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－5)代入y＝ax2＋bx+c 得 解得 ∴二次函数的表达式为y＝x2－4x－5． 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过x轴上点A(－1，0)、点B(5，0)，过y轴上点 C(0，－5)，点P(m，n)(0＜m＜5)是抛物线上的一个动点． (1)求该二次函数的表达式； 解析 例9 典型例题 几何综合问题 考点5 (2)设直线BC对应的函数表达式为y＝kx＋t， 将B(5，0)，C(0，－5)代入y＝kx＋t， 得解得 ∴直线BC对应的函数表达式为y＝x－5， 过点P作PQ⊥x轴，交BC于点E，交x轴于点Q，如图， ∵P(m，n)(0＜m＜5)， ∴P(m，m2－4m－5)，E(m，m－5)， ∴PE＝(m－5)－(m2－4m－5)＝－m2＋5m， 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过x轴上点A(－1，0)、点B(5，0)，过y轴上点 C(0，－5)，点P(m，n)(0＜m＜5)是抛物线上的一个动点． (2)求四边形OCPB面积的最大值； 解析 例9 S四边形OCPB＝S△BOC＋S△PBC ＝S△BOC＋S△PEC＋S△PEB ＝OB·OC＋PE·(m－xC)＋PE·(xB－m) ＝×5×5＋PE·(xB－xC) ＝(－m2＋5m)×5 ＝－m2＋m＋＝－＋， ∵－<0， ∴当m＝时，四边形OCPB的面积最大，为． 典型例题 几何综合问题 考点5 (3)如图，∵y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9， ∴抛物线对称轴为直线x＝2， 当点P的横坐标m满足2＜m＜5时，点P在对称轴右侧， ∴PF＝2(m－2)＝2m－4， 由(2)知PE＝(m－5)－(m2－4m－5)＝－m2＋5m， 当PE＝PF时，△PEF为等腰直角三角形， ∴－m2＋5m＝2m－4，整理得m2－3m－4＝0， 解得m＝4或m＝－1(不符合题意，舍去)， 此时n＝42－4×4－5＝－5，即点P(4，－5)， ∴当点P的坐标为(4，－5)时，△PEF为等腰直角三角形． 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过x轴上点A(－1，0)、点B(5，0)，过y轴上点C(0，－5)， 点P(m，n)(0＜m＜5)是抛物线上的一个动点． (3)当点P的横坐标m满足2＜m＜5时，过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作 PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，求使△PEF为等腰直角三角形的点P的坐标． 解析 例9 解题通法 ①对于四边形面积计算，面积转化为两个三角形面积之和求解. ②面积最值转化为二次函数最值问题. ③特殊三角形的存在性问题，注意分类讨论利用性质建立方程求解. 再见 $