精品解析：贵州贵阳市第一中学2025-2026学年高二下学期4月教学质量监测数学试题

2025~2026学年高二年级4月教学质量监测 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合}，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则复数z的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，方向相反，且，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 设是定义在R上且周期为3的奇函数，当时，，则（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 6. 在正四棱台中，，若侧棱与底面的所成角为60°，则该四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 某学校组织同学们参加心理游园活动，5名同学被分配到甲、乙两个活动区，每个活动区至少一名同学，不同的分配方案有（ ） A. 20种 B. 30种 C. 60种 D. 15种 8. 已知为坐标原点，过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 有如下命题，其中为真命题的有（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 若幂函数的图象过点，则 C. 函数的最小值为2 D. 在上存在零点，则m的取值范围是 10. 已知直线l：与圆C：，则（ ） A. 直线l过定点 B. 当时，直线l被圆C所截的弦长为 C. 直线l与圆C必然相交，且相交弦最短时直线l的方程为 D. 直线l与圆C必然相交，且相交弦最长时， 11. 函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于对称 C. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 D. 若方程在上有1个实数根，则m的取值范围是 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 等差数列的前n项和为，，且，则________. 13. 已知的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为________. 14. 已知函数，则过点且与曲线相切的直线的方程为________. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足. （1）求角B； （2），，求△ABC的周长. 16. 如图，在四棱锥中，，，平面平面，，是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 记为数列的前n项和，已知. （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前n项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）求. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若不等式恒成立，求a的最大值. 19. 已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，且，C的离心率为. （1）求C的方程； （2）若过点的直线与C交于D，E两点，求DE的中点的轨迹方程； （3）若直线l：与C交于M，N两点，设直线AM，BN的斜率分别为，，且，求t. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年高二年级4月教学质量监测 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合}，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合，而， 所以. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则复数z的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可得，即可由共轭复数的定义求解. 【详解】由题意可得，故， 故选：A 3. 已知平面向量，方向相反，且，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】平面向量，方向相反，所以向量，的夹角为， 所以， . 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， 则. 5. 设是定义在R上且周期为3的奇函数，当时，，则（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】因为是定义在R上且周期为3的奇函数， 所以. 6. 在正四棱台中，，若侧棱与底面的所成角为60°，则该四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出辅助线，根据条件求出棱台的高，利用棱台体积公式求出答案. 【详解】如图，分别为上底面和下底面的中心，连接， 则⊥底面，过点作于点，则底面， 因为，所以， 故，， 侧棱与底面的所成角为， 则，故， 故该正四棱台的体积为. 7. 某学校组织同学们参加心理游园活动，5名同学被分配到甲、乙两个活动区，每个活动区至少一名同学，不同的分配方案有（ ） A. 20种 B. 30种 C. 60种 D. 15种 【答案】B 【解析】 【详解】5名同学被分配到甲、乙两个活动区，每个活动区至少一名同学， 先将5名同学分成两组有两种情况， 则. 8. 已知为坐标原点，过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由焦点坐标可求出抛物线方程，也可得到直线方程，联立曲线，可得与交点纵坐标有关韦达定理；借助韦达定理计算可得，即可得，即可得A；计算可得B；借助弦长公式计算可得C；借助抛物线定义及韦达定理计算可得D. 【详解】因为抛物线的焦点坐标为，所以，解得，抛物线方程为； ，联立，则，恒成立， 设、，则，， 对A：由 ， 故，故A错误； 对B：， 故，故B错误； 对C： ，故C错误； 对D：，， 则 ，故D正确. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 有如下命题，其中为真命题的有（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 若幂函数的图象过点，则 C. 函数的最小值为2 D. 在上存在零点，则m的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由双曲线的性质计算判断A；由幂函数的定义求得，代入计算判断B；由基本不等式计算判断C；由零点的存在性定理计算判断D. 【详解】对于A，双曲线焦点在轴上且， 所以渐近线方程为，即，故A正确； 对于B，设幂函数， 因为其图象过点，所以，解得， 所以，则， 所以，故B错误； 对于C，因为， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最小值为2，故C正确； 对于D，因为函数，在定义域内单调递增， 所以函数在定义域内单调递增， 要使在上存在零点，则且， 即，解得， 所以在上存在零点，则m的取值范围是，故D正确； 10. 已知直线l：与圆C：，则（ ） A. 直线l过定点 B. 当时，直线l被圆C所截的弦长为 C. 直线l与圆C必然相交，且相交弦最短时直线l的方程为 D. 直线l与圆C必然相交，且相交弦最长时， 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，可整理为： ， 令，则，故直线l过定点，故A正确. 对于B，当时，，圆C：的圆心为 ， 到直线的距离为：， 所以直线l被圆C所截的弦长为，B正确； 对于C，因为，直线l恒过定点在圆内， 所以直线l与圆C必然相交， 当时，直线被圆截得的弦长最短， 由直线的斜率，直线的斜率 ，且 ， 则，所以直线l的方程为，化简可得，故C错误； 对于D，由C知直线l与圆C必然相交，直线过圆心时，相交弦最长， 所以 ，解得：，故D正确. 11. 函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于对称 C. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 D. 若方程在上有1个实数根，则m的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】由图象可知，又图象经过点列方程求，判断A；结合余弦函数性质验证B；根据函数图象变换法则，结合诱导公式判断C；令，可得在上有1个实数根，结合正弦函数性质判断D. 【详解】观察函数的图象可知，又因为过点， 所以，所以，， 所以，，又，所以，A错误； 所以， 因为时，， 所以函数的图象关于对称，B正确； 函数向左平移个单位长度， 可得函数的图象，所以C正确； 因为，由可得，， 令，由已知可得在上有个实数根， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 且时，，时，， 所以或，D错误. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 等差数列的前n项和为，，且，则________. 【答案】55 【解析】 【详解】在等差数列中，由，得， 因此，即公差，所以. 13. 已知的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得，解得， 则展开式的通项， 令，得，则. 14. 已知函数，则过点且与曲线相切的直线的方程为________. 【答案】或 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】，设切点为， 则切线方程为， 整理得， 故有， 整理得， 故或， 当时，直线的方程为，即； 当时，直线的方程为， 即； 即直线的方程为或. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足. （1）求角B； （2），，求△ABC的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简即可得出答案； （2）先求出，由正弦定理求出a、c，即可求出的周长 【小问1详解】 由正弦定理可得：， 因为， 所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，，所以， ， 由正弦定理可得：， 所以，解得：，. 所以求的周长为. 16. 如图，在四棱锥中，，，平面平面，，是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 如图，取的中点，因为，所以， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，所以， 又平面平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）通过面面垂直得到线面垂直，再利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）通过建立空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，再代入公式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为的中点，，所以， 过点作交于点，由平面平面， 可得，则， 以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，得； 设平面的法向量为， 则， 令，则，得； 设平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 17. 记为数列的前n项和，已知. （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前n项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）求. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ）； 【解析】 【分析】（1）先求出，然后时由得数列的递推关系，确定数列是等比数列，从而可得通项公式； （2）（ⅰ）求出，写出中各项，用分组求和法求和；（ⅱ）分类讨论：为偶数时由（ⅰ）得结论，为奇数时，由计算. 【小问1详解】 因为，所以， 时，，， 时， ，， 所以是首项为3，公比为3的等比数列， 所以； 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知， ； （ⅱ）由（ⅰ）知为偶数时，， 为奇数时，. 所以； 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若不等式恒成立，求a的最大值. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式方程求解即得； （2）分，和，通过导函数的符号判断函数的单调性即可； （3）依题意将问题转化为不等式恒成立问题，设，利用求导得出该函数的最大值为，解对数不等式即可求得参数的范围. 【小问1详解】 当时，，， ，， 故曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域为， ， 当时，，故在上单调递增， 当时，，令，可得：， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，，令，可得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 由可得， ，即在上恒成立， 设，即证明在上恒成立， ， 当时，，故在上单调递增，无最大值； 当时，令，可得， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以， 解得：，故a的最大值为. 19. 已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，且，C的离心率为. （1）求C的方程； （2）若过点的直线与C交于D，E两点，求DE的中点的轨迹方程； （3）若直线l：与C交于M，N两点，设直线AM，BN的斜率分别为，，且，求t. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率，即可求出椭圆方程. （2）设直线方程为，与椭圆联立方程，结合韦达定理得到的中点坐标，利用消参法求轨迹方程. （3）直线与椭圆方程联立，表达出斜率，根据等量关系，即可求出. 【小问1详解】 由题意，， 又离心率为，所以，从而， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 由椭圆方程知点在椭圆右侧，直线与椭圆不相交， 设直线方程为， 由得， ，解得， 设，中点为， 则，， ， 又， 消去参数得， 又，所以， 所以所求轨迹方程为； 【小问3详解】 由（1）知， 设，，，， 由得， 则，， 若，直线过原点，关于原点对称，不合题意，因此， 所以， 又，所以，即， 整理得， 所以， 即， 由题意是固定值，从而为常数，则不恒成立， 所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $