2026年九年级中考数学专题复习：3.4反比例函数 课件

中考数学一轮复习 专题3.4 反比例函数 同学，反比例函数我们复习几个重点：反比例函数的图象性质及应用，让我们一起梳理下重点知识和典型例题吧． 反比例函数 考点剖析 4 反比例的实际应用 3 1 反比例的概念及图象性质 反比例的几何意义 反比例的几何综合 2 反比例函数 反比例函数的概念 1．一般地，形如（为常数， ）的函数称为反比例函数. 反比例函数的解析式也可以写成、的形式. 2．解析式的特征： 　①等号左边是函数，等号右边是一个分式； ② ； ③分母中含有自变量，且指数为. 知识点一：反比例函数的相关概念 反比例函数的概念 知识点一：一元二次方程的有关概念 注意: （1）反比例函数（）的自变量的取值为一切非零实数，函数的取值是一切非零实数. （2）反比例函数的表达式中，分子是不为零的常数，分母不能是多项式，只能是的一次单项式． （3）反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值. 反比例函数的图象与性质 知识点二：反比例函数的图象与性质 性质 表达式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过象限 一、三象限 二、四象限 反比例函数的图象与性质 知识点二：反比例函数的图象与性质 性质 k>0 k<0 增减性 在每个象限内，随的增大而减小 在每个象限内，随的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若在双曲线的一支上，则在双曲线的另一支上； ②图象关于直线对称，即若在双曲线的一支上，则在双曲线的另一支上； ③图象关于直线对称，即若在双曲线的一支上，则在双曲线的另一支上. 即：反比例函数的图象关于直线成轴对称,关于原点成中心对称. 反比例函数的图象与性质 知识点二：反比例函数的图象与性质 注意: （1）反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提． （2）反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出的符号． （3）双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 待定系数法求反比例函数解析式 知识点二：反比例函数的图象与性质 （1）设反比例函数的解析式为（为常数，）； （2）把已知的一对，的值带入解析式，得到一个关于系数的方程； （3）解方程求出系数； （4）将所求的值代入所设解析式中. 由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式． 一点一垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 知识点三：反比例系数的几何意义 一点两垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 知识点三：反比例系数的几何意义 【拓展】 S矩形ABOE=S矩形CDOF S矩形AEFG=S矩形CGBD S▱ABCD= 两点一垂线 【模型结论一】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于，=. 知识点三：反比例系数的几何意义 两点一垂线 【模型结论二】反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和． 知识点三：反比例系数的几何意义 两点两垂线 【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于. 知识点三：反比例系数的几何意义 求一次函数与反比例函数的交点坐标 1．从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由值的符号来决定． ①值同号，两个函数必有两个交点； ②值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2．从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 知识点四：反比例函数与一次函数综合 涉及自变量取值范围 1．当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标． 2．针对时自变量的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的的范围． 知识点四：反比例函数与一次函数综合 用反比例函数解决实际问题的步骤 （1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； （2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； （3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； （4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； （5）解：用函数解析式去解决实际问题． 知识点五：反比例函数的实际应用 用反比例函数解决实际问题的注意点 （1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； （2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； （3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 知识点五：反比例函数的实际应用 易错点： 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 知识梳理 知识点1 反比例的相关概念及图象性质 概念：一般地，形如 (为常数且≠0)的函数，叫做反比例函数，其中是自变量，是的函数. 由于反比例函数 (≠0)中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对对应值或图象上一个点的坐标，即可求出的值，从而确定解析式. ① 注意：①为常数，这里强调≠0，称为比例系数； 函数的自变量的取值范围是：≠0的全体实数. 1.反比例函数概念 2.反比例函数的三种形式 3.待定系数法求出k的值 知识梳理 表达式 y= (为常数且≠0) 图象 反比例函数的图象由两条曲线组成， 图象无限接近坐标轴，但不相交 经过 象限 一、三象限 （x、y同号） 二、四象限 （x、y异号） 增减性 在每个象限内， y随x的增大而减小 在每个象限内， y随x的增大而增大 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限(或第二、四象限)，而说图象的两个分支分别在第一、三象限(或第二、四象限)． 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号． 常数k 的符号 反比例函数图象的位置 函数的增减性 当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 【易错提醒】 反比例函数的图象是轴对称图形，其对称轴为直线或 反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为原点. 知识点1 反比例的相关概念及图象性质 4.图象与性质 解：A、该函数图象在二、四象限，故A不符合题意； B、当时，随增大而增大，故B不符合题意； C、若A(x1，y1)在该函数图象上，则，故C符合题意； D、若点A(x1，y1)和点B(x2，y2)在该函数图象上，且且且，则，故D不符合题意； 故选：C． 典型例题 反比例的相关概念及图象性质 考点1 例1 关于反比例函数，下列说法正确的是(    ) A. 该函数图象在一、三象限 B. 当时，随增大而减小 C. 若A(x1，y1)在该函数图象上，则 D. 若点A(x1，y1)和点B(x2，y2)在该函数图象上，且，则 解析 解题通法 ①反比例函数所有性质（如图象象限、增减性）都依赖的符号，因此先明确的正负是解题关键； ②理解反比例函数图象上点与函数解析式间的关系 点在图象上 → 坐标满足 ③反比例函数图象分别在两个象限，注意增减性的 “范围限制”，仅在同一象限内成立，跨象限时先比符号，再比大小； 解：当时，函数的图象在第一、三象限，函数在第一、三、四象限，故选项C不符合题意，选项D符合题意； 当时，函数的图象在第二、四象限，函数在第一、二、四象限，故选项A、B不符合题意，故选：D． 典型例题 例2 函数与（为常数，≠0 ），在同一平面直角坐标系中的大致图象是(    ) A. B. C. D. 解析 核心突破： 分时、当时，两种情况分别求出对应函数图象经过的象限即可得到答案． 解题通法 反比例的相关概念及图象性质 考点1 典型例题 例3 已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由． 解析 解题通法 解：（1）把代入，得， ∴∴反比例函数的表达式为y = （2）解：∵=3>0， ∴函数图象位于第一、三象限， 在每个象限y随x的增大而减小 ∵点都在反比例函数的图象上， -3<0<1<3， ∴，∴ ． 反比例的相关概念及图象性质 考点1 求表达式：用待定系数法，代入已知点坐标求k． 步骤：代入已知点坐标 →解方程求k→写出反比例函数表达式． 3.比函数值：先通过k的符号判断图象象限和增减性，再分析点的象限，分正负或同象限用增减性比较． 步骤：① 判断k符号，确定象限分布和增减性（k>0时，各象限内y随x增大而减小；k<0则相反）； ② 分析各点所在象限（如负x对应第二/三象限，正x对应第一 / 四象限）； ③ 同象限内用增减性比较，异象限先分正负（如第三象限 y为负，第一象限y为正，负<正）． 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 典型例题 解析 ①反比例函数图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上； ②反比例函数图象关于y=x对称 即若（a，b）在反比例函数图象上，则（b，a）在也在该图象上. 解题通法 解：(法一)∵函数的图象经过点和， ∴和关于原点对称 ， ∴ 反比例的相关概念及图象性质 考点1 0 (法二)∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴ 例4 知识梳理 知识点2 反比例函数k的几何意义 ① 反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. ② 反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 利用值求面积时，因为有正负性，所以要加上绝对值符号. 利用面积确定值时，要注意图象所在的位置, 当图象分别位于第一、三象限时，. 当图象分别位于第二、四象限时，. 注意：数形结合的数学思想的运用. 反比例函数中的几何意义（2种基础模型） 解：连接OA，AC ， ∵▱ABCD， ∴ ∴AD OD， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴ ∴, ∵在第二象限， 典型例题 例5 如图，▱ABCD的顶点A在反比例函数的图象上，点D在轴上，点B，C在x轴上，AB与y轴交于点E，连接CE，若，则k的值为______． 解析 利用反比例函数中比例系数k的几何意义求解：若题中已知面积时考虑用k的几何意义，由面积得|k|，再结合图象所在象限判断k的正负，从而得出k的值，代入解析式即可. 解题通法 反比例函数k的几何意义 考点2 ∴ ∴ 故答案为：． 典型例题 例6 解析 反比例函数k的几何意义 考点2 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是 ． N 解：如图，作轴于，作轴于， 则， ∵点A，B的坐标分别为(5,0)，(2,6)， ∴BC=OM=2，BM=OC=6，AM=3， ∵DNBM，∴△ADN∽△ABM， ∴， ∵BD=2AD，∴， ∴DN=2，AN=1， ∴ON=OA-AN=4， ∴D点坐标为(4,2)，代入得，k=2×4=8， ∴反比例函数解析式为， ∵BC x轴， ∴点E与点B纵坐标相等，且E在反比例函数图象上， ∴E(,6)，∴CE=， ∴ 利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义. 反比例函数解决问题关键： ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； ②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； ③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 知识梳理 知识点3 反比例函数的实际应用 ①审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； ②设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； ③求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； ④写：出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； ⑤用：函数解析式去解决实际问题． 【易错提醒】 列反比例函数解决问题的步骤 典型例题 反比例的实际应用 考点3 解析 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； ②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义 解题通法 例7 为实践活动：确定LED台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材1：图1为某厂家设计的一款亮度可调的LED台灯，图2为对应的电路图， 电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻R2来调节亮度， 电流I与总电阻R成反比例，其中R＝R1＋R2.已知R1＝5Ω， 实验测得当R2＝10Ω时，I＝0.4A. 素材2：图3是该台灯电流和光照强度的关系，研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在300-750lux之间(包含临界值). 完成下列任务：(1)求I关于R的函数表达式． (2)为使得光照强度适宜人眼阅读，确定R2的取值范围． 解：(1)设I关于R的函数表达式为I＝. 把R＝R1＋R2＝15Ω，I＝0.4A代入， 得0.4＝. ∴k＝6. ∴I关于R的函数表达式为. (2)由图3，得当光照强度在 300～750 lux之间(包含临界值)时，电流0.1A≤I≤0.25A. 由(1)，得I＝， ∴24 Ω≤R≤60 Ω. ∵R1＝5 Ω， ∴19 Ω≤R2≤55 Ω. 解：作DG⊥x轴于点，设AG＝a， 则DG＝a，点D(1＋，)．AD＝AC＝2a，则BC＝，∴点B(1＋2a，)． ∴(1＋a)·a＝(1＋2a)·， 解得a＝1.∴D(2，)．∴k＝2. 典型例题 反比例的几何综合 考点4 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，点B在反比例函数y＝ (x＞0)的图象上，BC⊥x轴于点C，∠BAC＝30°，将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上，则k的值为 ． 解析 解题通法 例8 解题关键：利用翻折性质得角度、线段关系，设参数，通过特殊角的关系表示翻折后点和原点的坐标，再根据反比例函数列方程求解. 核心思路：几何关系→坐标表达→函数性质→方程求解 （1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、， ∴反比例函数的解析式为：， 把，代入 解得 ∴一次函数的解析式为：； 典型例题 反比例的几何综合 考点4 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 解析 ①熟知反比例函数及一次函数的图象与性质 ②求图形面积注意利用割补法进行转化求值，化斜为直巧用坐标转化底高. （2）解：设直线与轴交于点 ，当时，， 的面积 ． 解题通法 例9 解：正方形的边长为1，点在反比例函数的图象上， ，，在反比例函数的解析式为：， 是的中点，，，， 同理，，，， ∴顶点的坐标为，． 典型例题 反比例的几何综合 考点4 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的顶点分别在轴，轴上，点在反比例函数图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为 ． 解析 例10 再见 2 $