2026年中考数学一轮专题复习：3.3 一次函数 课件

专题3.3一次函数 中考数学一轮复习 同学，一次函数我们要重点复习一次函数的相关概念与图象性质、一次函数与一次方程（组）和不等式、一次函数的实际应用、一次函数的几何综合，让我们一起梳理下重点知识和典型例题吧． 考点剖析 一次函数 实际应用 3 1 相关概念与图象性质 方程（组）和不等式 2 几何综合 4 一次函数 函数定义 1．在一个变化过程中，我们称数值变化的量为变量． 2．在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量． 3．函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值． 知识点一：函数的有关概念 4．函数的解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式． 函数定义 知识点一：函数的有关概念 确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义， 而且还要注意问题的实际意义． 1．描点法画函数图象的一般步骤如下： （1）第一步，列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； （2）第二步，描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； （3）第三步，连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来． 函数的图象 知识点一：函数的有关概念 2．函数的表示方法： （1）列表法：通过表格展示变量对应关系（直观但局限性大）． （2）解析式法：用数学表达式表示函数关系（如）． （3）图象法：用坐标系中的曲线或折线表示函数关系（直观展示变化趋势）． 函数的表示 知识点一：函数的有关概念 1．正比例函数的定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 正比例函数 知识点二：一次函数 k的符号 k>0 k<0  图象     增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 位置 图象经过第一、三象限 图象经过第二、四象限 x y O x y O 2．正比例函数的图象： （1）一般地，正比例函数(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线； （2）当 k>0 时，直线经过第三、第一象限，从左向右上升，即随着x的增大y 也增大； （3）当k<0时，直线经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小． 正比例函数 知识点二：一次函数 1．一次函数的定义：一般地，形如(k,b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数.当 b=0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 2．一次函数的图象：一次函数(k≠0)的图象可以由直线平移 |b|个单位长度得到(当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移).一次函数 (k≠0)的图象也是一条直线，我们称它为直线． 一次函数 知识点二：一次函数 k、b的符号 图象 与轴交点的位置 经过象限 性质 k＞0 b＞0 正半轴 第一、二、三象限 y随x的增大而增大 b＝0 原点 第一、三象限 b＜0 负半轴 第一、三、四象限 k＜0 b＞0 正半轴 第一、二、四象限 y随x的增大而减小 b＝0 原点 第二、四象限 b＜0 负半轴 第二、三、四象限 x y O x y O x y O x y O x y O x y O 3．待定系数法确定一次函数的步骤 （1）设函数解析式为(k≠0)或(k≠0)． （2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组． （3）解方程或方程组求出k，b的值． （4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式． 一次函数 知识点二：一次函数 1．一次函数与方程、不等式 （1）与一元一次方程：的图象与x轴交点横坐标即方程的解． （2）与一元一次不等式： ①的解集对应图象在x轴上方的部分； ②的解集对应图象在x轴下方的部分． 一次函数与方程、不等式 知识点二：一次函数 1．问题类型：租车方案、购物优惠、通讯套餐选择等实际问题． 2．解决步骤： （1）分析问题：明确变量（如费用、人数、时间等）； （2）建立函数模型：分别列出不同方案的函数解析式． （3）求解与比较： ①求交点（解析式联立）确定临界值； ②通过图象或表格比较不同区间内的最优解； ③结合图象或计算解决问题． （4）决策：根据需求选择最优方案． 知识点三：一次函数的应用 知识梳理 知识点1 一次函数的概念与图象 一般地，如果 （k，b为常数，),那么y叫做x的一次函数. 注意：①k，b为常数，这里强调. ②含自变量的式子是一次整式. ③正比例函数是一种特殊的一次函数 1.一次函数的概念 当时， 就成为，这时,y叫做x的正比例函数. 2.一次函数的图象 一次函数是（k，b是常数，）必过点（0，b）、（，0）点的一条直线.以下图为例 知识梳理 知识点2 一次函数的图象性质 解析式 ，(是常数，)，特别地，当时，（），是正比例函数. 图象特征 一次函数（k，b是常数，）必过点（0，b）、（，0）点的一条直线 k 决定函数图象的走向和增减性 函数图象从左向右呈上升趋势,y随x的增大而增大 函数图象从左向右呈下降趋势,y随x的增大而减小 决定函数图象与y轴交点的位置 ＜0 交点在y轴正 半轴上 交点在原点 交点在y轴负 半轴上 交点在y轴正 半轴上 交点在原点 交点在y轴负 半轴上 大致图象 经过的象 限位置 经过一、二、三象限 经过一、三 象限 经过一、三、四象限 经过一、二、 四象限 经过二、四 象限 经过二、三、 四象限 知识梳理 知识点3 一次函数图象的平移 平移前解析式 平移方式() 平移后解析式 口诀 () 向左平移个单位长度 左加右减 向右平移个单位长度 向上平移个单位长度 上加下减 向下平移个单位长度 知识梳理 知识点4 待定系数法求一次函数解析式 ①一设：设一次函数解析式为 （） ②二列：找出函数图象上的两个点， 代入中，得到二元一次方程组 ③三解：解这个二元一次方程组， 得到的值 ④四还原：将所求待定系数的值 代入中即可 1.待定系数法的步骤 2.举例 按照一设、二列、三解、四还原的步骤进行 例1：已知一次函数过点 (1,3) 和 (2,5)，求表达式. 设一次函数为 y=kx+b. 代入两点得：3=k+b，5=2k+b. 解得 k=2，b=1. 所以表达式是 y=2x+1. 例2：已知一次函数过点 (0,4) 和 (3,-2)，求表达式. 设一次函数为 y=kx+b. 代入两点得：4=b，-2=3k+b. 解得 k=-2，b=4. 所以表达式是 y=-2x+4. 知识梳理 知识点5 一次函数图象与一次方程（组）、不等式的关系 一次函数与的图象交点的坐标为 A则二元一次方程组的解为 从“数”的角度看 从“形”的角度看 中，时，的 取值范围是 的解集 的解集是函数 的图象位于轴上 方部分对应的的取值范围; 中，时，的 取值范围是 的解集 的解集函数 的图象位于轴下 方部分对应的的取值范围; 一次函数（）的图象与的交点A,则一元一次方程的解为 一次函数与一 元一次的关系 一次函数与二元 一次方程组的关系 一次函数与一 元一次不等式 典型例题 一次函数的相关概念 与图象性质 考点1 例1 已知一次函数 （）图象经过，B（2，5）两点， 完成下列习题： (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象； (2)观察图象，该一次函数图象经过第______象限， y随x的增大而______； (3)直线AB的解析式为____________； (4)该一次函数图象与x轴的交点坐标为_______，与y轴的交点坐标为_______； (5)点P(1，4)________(填“在”或“不在”)该一次函数图象上； (6)若点C(x1，y1)，D(x2，y2)是该一次函数图象上的两点，且，则y1___y2； (7)函数图象向上平移3个单位后的解析式是_____________. 解：（1）如图所示，AB即为所求直线； （2）由图象可得，图象经过一、二、三象限， y随x的增大而增大，故答案为：一、二、三，增大； 典型例题 一次函数的相关概念 与图象性质 考点1 例1 已知一次函数 （）图象经过，B（2，5） 两点，完成下列习题： (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象； (2)观察图象，该一次函数图象经过第______象限， y随x的增大而______； 解析 描点连线成图 解：（3）设直线的解析式为， 将点，代入得，，解得：， 直线的解析式为 故答案为: 典型例题 一次函数的相关概念 与图象性质 考点1 例1 已知一次函数 （）图象经过，B（2，5） 两点，完成下列习题： (3)直线AB的解析式为____________； 解析 解：(4) ∵直线的解析式为∴当时，，当时，,∴直线与的交点坐标为，与的交点坐标为，故答案为: ； (5) 当时，代入可得 ，所以 不在函数图象上，故答案为：不在; 典型例题 一次函数的相关概念 与图象性质 考点1 例1 已知一次函数 （）图象经过，B（2，5） 两点，完成下列习题： (4)该一次函数图象与x轴的交点坐标为_______，与y轴的交点坐标为_______； (5)点P(1，4)________(填“在”或“不在”)该一次函数图象上； 解析 在函数图象上的点一定满足函数表达式 解：（6）∵直线的解析式为，，∴随的增大而增大,∴当时,故答案为：; (7) ∵直线，∴向上平移3个单位后的解析式为，故答案为：. 典型例题 一次函数的相关概念 与图象性质 考点1 例1 已知一次函数 （）图象经过，B（2，5） 两点，完成下列习题： (6)若点C(x1，y1)，D(x2，y2)是该一次函数图象上的两点，且，则y1___y2； (7)函数图象向上平移3个单位后的解析式是_____________. 解析 典型例题 一次函数的相关概念 与图象性质 考点1 1.正比例函数中，越大，直线越靠近y轴；反之，越小，直线越靠近x轴. 2.判断一次函数的增减性，只看k的符号，与b无关. 3. 一次函数（）的自变量x的取值范围是全体实数而且图象是一条直线，因此没有最大值与最小值.但由实际问题得到的一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限制，做题时要注意具体问题具体分析. 4.对于与y轴交于(0,b)，当时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴； 当时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴；当，⇔ 的图 象在一、二、三象限； ，⇔ 的图象在一、三、四象限；， ⇔ 的图象在一、二、四象限； ， b⇔ 的图象在二、三、四象限. 解题通法 解：把点代入，得，把代入，得解得．由（1）可得，令代入，得,∴由图象可得的解集为，令代入，得，∴由图象可得的解集为，故答案为：，， 典型例题 一次函数与一次 方程（组）、不等式 考点2 例2 如图，直线与直线相交于 点．求，的值的解集 为 ，解集为 . 解析 解由（1）可得点P的坐标为，由图象可得方程组 的解为, 故答案为：; (4)由图象可得的解集为:,故答案为：. 典型例题 一次函数与一次 方程（组）、不等式 考点2 例2 如图，直线与直线相交于 点．方程组的解为 ； 的解集为 . 解析 典型例题 一次函数与一次 方程（组）、不等式 考点2 1.由于任何一个一元一次方程可以转化为(a、b为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 2.关于x的一元一次不等式(或＜0)的解集是以直线和x轴的交点为分界点， x 轴上(下)方的图象所对应的x 的取值范围. 3. 任何一个二元一次方程组可以转化为的形式，所以解一元一次方程组可以转化为当两个函数值相等时求交点坐标，就是对应的二元一次方程组的解. 解题通法 解：设航空模型的单价为元，则航海模型的单价为元，根据题意得：，解得，经检验，是方程的解，也符合题意，，航空模型的单价为元，航海模型的单价为元； 典型例题 一次函数的实际应用 考点3 例3 为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多元，用元购买航空模型的数量是用元购买航海模型数量的．求航空和航海模型的单价； 解析 设购买航空模型个，学校花费元，则购买航海模型个， 航空模型数量不少于航海模型数量的，，解得， 根据题意得：， ，当时，取最小值，最小值为， 此时，购买航空模型个，购买航海模型个，学校花费最少．  典型例题 一次函数的实际应用 考点3 例3 为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多元，用元购买航空模型的数量是用元购买航海模型数量的．学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠若购买航空、航海模型共个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 解析 典型例题 一次函数的实际应用 考点3 1.针对方程、不等式和函数等综合问题的求解，需要根据实际问题将其中的函数关系抽象出来，利用讨论法探讨不同函数值之间的大小关系，随后构造不等式与方程，利用方程将不等式的解集求出来，最后写出答案，考虑自变量要取整数，结合经济因素，利用函数性质展开分析，从而找到最佳解决方案． 2.一次函数图象的应用解题关键，结合函数图象及性质，弄清图象上的一些特殊点的实际意义及作用，寻找解决问题的突破口，这是解决一次函数应用题常见的思路 3.解此类问题应做到三个方面：(1)看图找点，(2)见形想式，(3)建模求解． 解题通法 解：点在直线：上，，点的坐标为，的长为，，设直线的解析式为，把，坐标代入得：，解得，直线的解析式为； 直线的解析式为，点坐标为， ； 典型例题 一次函数的几何应用 考点4 例4 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点， 直线与轴、轴交于点、点，与交于点，连接，已 知的长为．求点的坐标及直线的解析式；求的面积； 解析 解：(3)由(1)知，直线 的解析式为，∴点B坐标为(0,4)， 如图所示：设点P坐标为(m,-m+4)，当P在射线DB上时， ∵S△APD=S△ABD-S△ABP，∴12=12AB⋅ -12AB⋅， 即12=12×3×1 - 12×3m，解得m=23，∴P (23,103)；当P在射线DC上时， 过点A作x轴的平行线交BC于点Q，则Q(3,1)，∴S△ADQ= 12AQ⋅(-1)=12×3×2=3，S△APQ=12AQ⋅(-1)=12×3(-m+3).∴S△ADP=S△ADQ-S△APQ，∴12=3-32(-m+3)，解得m=43，∴P(43,83). 综上所述，点P的坐标为(23,103)或(43,83).  典型例题 一次函数的几何应用 考点4 例4 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点， 直线与轴、轴交于点、点，与交于点，连接，已 知的长为．若直线上有一点使得的面积等于的面积， 直接写出点的坐标． 解析 典型例题 一次函数的几何应用 考点4 解题通法 三角形面积公式 等面积转化 “补”     BM∥AC→S△ABC＝S△ACM   “割”   S△ABC＝ (yD－yB)(xC－xA) 再见 $