2026年中考数学一轮专题复习三十一：二次函数中线段最大值问题

2025一2026学年九年级中考数学一轮专题复习三十一：二次函数中线段最大值问题 1,如图，在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两 点，与y轴交于点C,点P是直线BC上方抛物线上一动点. A B (1)求抛物线的表达式： (2)过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,当PE的长为最大值时，求点P的坐标. 2.如图，抛物线y=ax2+bx-3过A1,0),B(-3,0)两点，直线AD交抛物线于点D,点D 的横坐标为-2，P(m,n是线段AD上的动点. (I)求直线AD及抛物线的解析式； (②)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q,求线段PQ的长度1与m的关系式，m为何 值时，PQ最长？ 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A(3,0),B(0,-3),点P是直线 AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,设点P的横坐标为t, 2 2 -3米B 1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式： (②)若点P在第四象限，求线段PM最大值； (3)是否存在这样的点P,使得以点P,M,B,O为顶点的四边形为平行四边形？若存在， 请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由. 4.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过三点A(-1,0),B(3,0),C(0,3). 备用图 (1)求此拋物线的解析式； (2)点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂 足为F,交直线BC于点E,作PD1BC于点D,当动点P在什么位置时，线段PD的长最 大，求线段PD的最大值，并求此时P点的坐标： (3)抛物线上一点M,当∠BCM=15°时，请直接写出点M的横坐标. 5.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标 为(-1,0)，与y轴交于点C(0,3),作直线BC,动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴， 交抛物线于点M,交直线BC于点N,设点P的横坐标为m, W AOP小 (1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式： (②)当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值； (3)当点P在线段OB上运动时，若aCMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值. 6.如图，抛物线y=ax2+bx+3(a,b为常数，a≠0)的顶点坐标为1,4)，与x轴相交 于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C, AO 外 (1)求点A和点B的坐标： (2)点P(m,n是直线BC上方该抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴，与直线BC相交于点Q, 求线段PQ的最大值. 7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与 y轴交于点C,连接BC.若在第四象限的抛物线上取一点M,过点M作MD⊥x轴于点D, 交直线BC于点E. y B M (1)求抛物线的表达式. (2)抛物线上是否存在点M,使得ME有最大值？若存在，求出点M的坐标和ME的最大值： 若不存在，请说明理由. 8.如图，抛物线y=axr+(b+a)x+4aa>0)的顶点为A,与y轴交于点B,过点A的直线 y6+号交y于aC交抛物发于另一点D(点刀在A的右边，线段C=号 2 4 ,动点P在直线AD下方的抛物线上，过P作PG‖y轴交AD于点G. (1)求a的值. (2)求直线AC和抛物线的解析式. (3)求线段PG的最大长度. 9.如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A-1,0),B(3,0),与y轴交于点C,点D为 直线BC下方抛物线上一动点. -3-2-0 1 24H (1)求抛物线的解析式； (②)过点D作y轴的平行线，交BC于点P,小明认为当点D为抛物线顶点时，此时DP最大， 试判断小明的说法是否正确，并说明理由 (3)求三角形BCD面积的最大值. 10.二次函数y=x2+bx+c的图象过A-1,0),B(3,0)两点，与y轴相交于点C. 图1 备用图 (1)求二次函数的解析式： (②)若点P是第四象限内抛物线上的一动点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标： (3)若点M是平面内一点，是否存在以A,C,B,M为顶点的平行四边形，若存在，请求出 点M的坐标，若不存在，请说明理由. 11.如图，已知抛物线y=-x2-2x+3与x轴相交于A,B两点（点B在点A的左侧)，与y轴 交于点C. B 1)求点A,B,C的坐标. (2)在抛物线的对称轴1上是否存在点M,使得△AMC的周长最小？若存在，求出点M的坐 标；若不存在，请说明理由， (3)若点P是直线BC上方抛物线上的一点，求点P到直线BC距离的最大值， 12.已知二次函数图象的顶点坐标为M(L,O),直线y=x+m与该二次函数的图象交于A,B 两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在y轴上.P(a,0)是x轴上的一个动点，过P作x轴 的垂线分别与直线AB和二次函数的图象交于D、E两点. 1ΨA 3 MP主 M 备用图 ()求m的值及这个二次函数的解析式： (②)若点P的横坐标为2，求△ODE的面积； (3)当0<a<3时，求线段DE的最大值： (④)当PA+PB的值最小时，直接写出点P的坐标. 13.如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)与x轴 相交于A,B两点，其中点A的坐标为-3,0)，且点(2,5)在抛物线y=ax2+bx+c上. (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)点C为抛物线与y轴的交点； ①点P在抛物线上，且SPoc=4Soc,求点P点坐标； ②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D,求线段QD长度的最大值， 14.如图，抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A,B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C, 顶点为D. VA A 备用图 (1)请求出点A,C,D的坐标： (2)若P是第二象限的抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴交AC于点E,求线段PE长 度的最大值. 3 15.已知二次函数y=-二x2+bx+c图象与y轴交于点A(0,3),与x轴交于点B和C(4,0)(点 B在点C的左侧)，点P是该图象位于第一象限的一动点， B (备用图) (1)求该二次函数的表达式： (2)过点P作PH∥y轴，交AC于点H,当点P在何处时，HP的值最大，最大值是多少？ 参考答案 1.【详解】(1)解：将点A(-1,0)、B(3,0)代入y=-x2+bx+c, -1-b+c=0 -9+3b+c=0' 「b=2 解得c=3 y=-x2+2x+3; (2)解：如图所示： A C A B a D X 当x=0,则y=3, C(0,3), 设直线BC的解析式为y=kx+m, .m=3 3k+m=0' ,k=-1 解得 (m=3, y=-x+3, 设P(t,-2+2t+3,则E(1,-1+3), E=f+23-34--+ -1<0, :抛物线开口向下，有最大值， 则当：时，PE有最大雀？此时P》】 2.【详解】(1)解：将A1,0),B(-3,0)代入y=ax2+bx-3, a+b-3=0 得{9a-3动-3=0 a=1 解得： b=2 .拋物线的解析式为y=x2+2x-3, 当x=-2时，y=-3, D点的坐标为-2，-3， 设直线AD的解析式为y=kx+ck≠0)， [k+c=0 把点A1,0),D(-2,-3)的坐标代入得： -2k+c=-31 k=1 解得： c=-1' .直线AD的解析式为y=x-1; (2)解：：P(m,n在线段AD上， .n=m-1, .P(m,m-1), .Qm,m2+2m-3, 1=m-1-m2+2m-3=-m2-m+2 :当m=一2时，线段O的长度有最大值。 3.【详解】(1)解：把A(3,0),B(0,-3代入y=x2+mx+n, 得 0=9+3m+n m=-2 ,解得 -3=n n=-3 所以抛物线的解析式是y=x2-2x-3. 设直线AB的解析式是y=kc+b, 把A3,0),B(0,-3)代入y=x+b, 0=3k+b 得 -3=b，解得 k=1 b=-3