题型4 二次函数综合题综合训练-【练客中考】2026年安徽新中考数学二轮重难题型培优

综合训练 类型1」二次函数中的代数推理(2025.23,2024.23) 1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0),其图象 2.(2025合肥包河区三模)已知抛物线y=ax2+ 上不同两点的坐标分别为(m,n),(2-m,n), bx+3的对称轴为直线x=1,且与x轴交于 记y的最小值为p. A(-1,0),B两点，与y轴交于点C. (1)若p=-4,请直接写出该二次函数图象的 (1)求抛物线表达式及顶点坐标； 顶点坐标； (2)已知点P为抛物线对称轴上一点，若S△C4= (2)若n-p=9a,求m的值； 4,求P点的坐标； (3)点(m+t,n+t)与(2-m+t,n-2t)(t≠ (3)若抛物线y=ax2+(b+m)x+3+n上仅 0)也在该函数图象上，判断”，是否为定值？ 存在一个点Q(x1,y1),使得2x1+y1=0,且 0≤m≤2，求n的最大值 若是，求出该值；若不是，说明理由， ! 安徽数学二轮重难题型培优 35 3.(2025合肥蜀山区一模)已知P(x1,y1),4.(2025合肥庐江县二模)已知抛物线C1y=无- Q(2)是抛物线y=2+b:-子上的两个 2mx+m2+m-1的顶点为M;抛物线C2:y= (x-n)2-n+3的顶点为N. 不同点， (1)点M是否在直线y=x-1上？请说明 (1)若P,Q两点都在直线y=- 上，求线段 理由； PQ的长； (2)已知点N在直线y=x-1上，m=2n-1, (2)若抛物线关于y轴对称，直线PQ过坐标 点A(s,t)在抛物线C2上，且s≠n,点B在抛 物线C1上 原点0，*品+品的值： ①若AN∥BM,求直线BM的表达式（用s表 (3)若点P,Q在抛物线对称轴的左侧，x1,x2 示)； 为整数，且x1<x2,证明：x1-x2+y1-y2为 ②若点B的坐标为(s+P,t+q),且p=s+1, 正值。 求q的最小值 36 安徽数学二轮重难题型培优 5.已知点(1,2)在抛物线当1=x2+2bx+c(b,c 6.(2025南充改编)抛物线y=a2+2ax- 为常数)上. 4 (1)用含b的代数式表示c; (a≠0)与x轴交于A(3,0),B两点，N是抛物 (2)当b的值变化时，抛物线y1=x2+2bx+c 线顶点. 的顶点总在另一抛物线y2=-x2+Px+g上. (1)求抛物线的表达式及点B的坐标； (i)求p,9的值； (2)抛物线上两点P(m,y),Q(m+2,y2),若 PQ∥BN,求m的值； (ii)若抛物线y1=x2+2bx+c和抛物线y2= (3)已知点M(-1,-5),如果不垂直于y轴 -x2+px+q围成的封闭区域内（不包含边 的直线1分别与抛物线在第三、四象限交于点 界)有且只有2个横纵坐标均为整数的点，求 G,H,满足∠GMN=∠HMN.探究直线l是否 b的取值范围. 过定点？若直线1过定点，求定点坐标；若不 过定点，请说明理由. 安徽数学二轮重难题型培优 37 类型2二次函数的平移变换(2020.22) 7.(2025宜宾改编)已知抛物线y=-x2+bx+c 8.抛物线G:y=x2-2mx+m+5(m为常数)的 与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，其中 顶点为C. A(3,0),C(0,3). (1)求点C的坐标（用含m的式子表示）； (1)求b,c的值； (2)经过探究发现，随着m的变化，点C始终 (2)点D为抛物线上第一象限内一点，连接 在某一抛物线H上，若将抛物线G向右平移n BD,与直线AC交于点E,若DE:BE=1:2, (n>0)个单位长度后，所得抛物线顶点D仍 求点D的坐标； 在抛物线H上. (3)若F为抛物线的顶点，平移抛物线使得新 (i)求n与m之间的关系； 顶点为P(m,n)(m>1),若P又在原抛物线 (i)若y=x2-2mx-m+5在x≤3时，都有y 上，新抛物线与直线x=1交于点N,连接FP, 随x的增大而减小，设抛物线H的顶点为E, PW,∠FPN=120°.探究新抛物线与x轴是否 求直线CE与x轴交点的横坐标的最大值. 存在两个不同的交点.若存在，求出这两个交 点之间的距离；若不存在，请说明理由 38 安徽数学二轮重难题型培优 类型3二次函数与几何图形的面积问题(2023.23) 9.(2025合肥瑶海区二模)在平面直角坐标系10.已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交于 中，点0是坐标原点，抛物线y=-x2+bx+c A(-3,0),B(2,0)两点，与y轴交于点C. (b>0)与x轴交于A,B两点（点A在点B的 (1)求此抛物线的函数表达式； 左侧)，与y轴交于点C,点P为抛物线的顶 (2)已知点D是抛物线上位于第三象限内的 点，直线PC交x轴于点D. 一个动点，过点D作DE⊥x轴于点E,连接 (1)若点C的坐标为(0,3) AC交DE于点F,设点D的横坐标为m. (i)当点A的坐标为(-1,0)时，求抛物线的 (i)当FD=2E0时，求m的值； 顶点坐标； (ii)连接BD,EC交于点P,连接CD,设S1= (ii)当PC=CD时，求直线PD的表达式； SABEP,S2=SACDP,S=S1-S2.试探究：在点D (2)若c=4-年，Sa=3,求6的值 运动的过程中，S是否存在最大值？若存在， 请求出S的最大值；若不存在，请说明理由. 安徽数学二轮重难题型培优 39 类型4二次函数与直线的交点问题(2021.22) 11.(2025合肥庐阳区一模)已知抛物线C:y= 12.(2025合肥瑶海区一模改编)已知抛物线 (a+c)x2+(a+c)x+c与x轴只有1个交 y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0), 点，且c>0. B(4,0),与y轴交于点C. (1)若c=1,求a的值； (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)抛物线将所在平面分成两个区域，若抛 (2)若点E为线段BC上任意一点（不与端 物线的开口向上，我们把抛物线上方的区域 点重合)，过点E作y轴的平行线交抛物线 叫作抛物线的内部，把抛物线下方的区域叫 于点F,过点F作y轴的垂线交抛物线于点 作抛物线的外部；若抛物线的开口向下，我 G,以EF,FG为邻边构造矩形EFGH. 们把抛物线下方的区域叫作抛物线的内部， (i)设点E的横坐标为m,矩形EFGH的周长 把抛物线上方的区域叫作抛物线的外部.抛 为L,求L关于m的函数表达式； 物线的内部和外部均不包括抛物线本身.如 (i)当直线y=n与(i)中函数L的图象交 图，区域A和区域E分别为两条抛物线的内 点有3个（从左到右依次为P1,P2,P3),直线 部，区域B和区域F分别为这两条抛物线的 y=n2与(i)中函数L的图象交点有2个（从 外部.点P(-2,3)在抛物线C:y=(a+c) 左到右依次为Q1,Q2),且满足PP2=Q1Q2 x2+(a+c)x+c的内部， 时，直接写出n2-n1的值. ()求c的取值范围； (ii)点Q的坐标为(3,5).若线段PQ与抛 物线C只有1个公共点，求c的取值范围. 第11题图 40 安徽数学二轮重难题型培优 类型5二次函数与几何图形的判定 13.(2025合肥包河区一模改编)抛物线y=ax2+14.(2025泸州改编)在平面直角坐标系x0y中， bx+6与x轴负半轴交于点A,与x轴正半轴 抛物线y=-x2+bx+c经过点(2,3)，与x 交于点B,与y轴交于点C,OB=OC=3OA. 轴交于点A(-1,0)和点B. (1)求抛物线的对称轴； (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P(m,n)(m≥2)是抛物线上一个动点， 连接AP,CP,AP交y轴于点D,作PQ⊥x轴 (2)第一象限内点C,D在直线y=之+分 于点Q 上，点E在x轴上，F是抛物线上位于第一象 (i)若点Q是OB的中点，求△PAC的面积； 限的点，若四边形CDEF是正方形，求点F (i)若以点C,D,P,Q为顶点的四边形为平 的坐标； 行四边形，求m的值 (3)设点P(x1,y1)在抛物线y=-x2+bx+c 上，点Q(x1,y2)在抛物线y=x2-(4m-2)x+ 4m2+2上，当1≤x1≤2时，y2-y1的最小值 为3，求m的值. 安徽数学二轮重难题型培优 41解得a=(合去： ②当0<n-1≤，即1<n≤时。 3 在x=3处取得最大值为y=(4-n)2-3, 在x=n-1处取得最小值为y=-3, .(4-n)2-3-（-3)=5. 解得n1=4-5,n2=4+5(舍去)； ③当≤n-1<3,即 ≤n<4时， 在x=0处取得最大值为y=(1-n)2-3, 在x=n-1处取得最小值为y=-3, .(1-n)2-3-(-3)=5. 解得m1=1-5(舍去)，n2=1+√5； ④当n-1≥3，即n≥4时， 在x=0处取得最大值为y=(1-n)2-3, 在x=3处取得最小值为y=(4-n)2-3, .(1-n)2-3-[(4-n)2-3]=5. 解得1=9（舍去） 综上所述，n的值为4-5或1+5. 8.解：已知t=2a,则抛物线C,:y=ax2-4a2x=a(x- 2a)2-4a3, C2:y=a(x-2a-2)2-4a3, :点4(，)在抛物线C,上， 把x=经-3a代入C 可得y1=a(3a-2a)2-4a3=a3-4a3=-3a3, :点B(x2,y2)在抛物线C2上，把x=x2代入C2, 可得y2=a(x2-2a-2)2-4a3, y1>y2, .-3a3>a(x2-2a-2)2-4a3, 整理得a(x2-2a-2)2<a3. .a>0, (x2-2a-2)2<2,即-a<x2-2a-2<a 解不等式-a<x2-2a-2可得x2>a+2, 解不等式x2-2a-2<a可得x2<3a+2, 又5<x2<6时，总有y1>y2, 「a+2≤5 l30+2≥6，解得号 3 sas3. 综合训练 1.解：(1)该二次函数图象的顶点坐标为(1，-4)： (2):(m,n)在函数y=a(x-1)2+p的图象上， n=a(m-1)2+p, .n-p=a(m-1)2=9a, .a>0, .(m-1)2=9, ∴.m1=4,m2=-2: 安徽数学 (3)m,是定值 .（m+t,n+t)和（2-m+t,n-2t)在函数y= a(x-1)2+p的图象上， .n+t=a(m+t-1)2+p①， n-2t=a(2-m+t-1)2+p②， 由①-②得，3t=4at(m-1), .t≠0 a(m-1)=3 Γ4 (m,n)在函数y=a(x-1)2+p的图象上， .n=a(m-1)2+p③， 由①-③得t=at(2m+t-2). t≠0，.2a(m-1)+t=1,.at=-2, 1 a(m-1=-3,m-1-3 at 2…=2 2.解：(1)：抛物线对称轴为直线x=1,且与x轴交 于A(-1,0),B两点， .根据对称性可得B(3,0), 故可设y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a, 又抛物线y=ax2+br+3,-3a=3, 解得a=-1, .抛物线表达式为y=-x2+2x+3,当x=1时， y=4,.顶点坐标为(1,4)； 轮 (2)画出抛物线如解图，A(-1,0),C(0,3),延长 AC交直线x=1于点D. y↑ D 型 B 第2题解图 由待定系数法可知直线AC的表达式为y=3x+3, .D(1,6) 设P(1,p), Saa=2p.1-0)=4, .0P=8..16-pl=8, 解得p=-2或p=14,.P(1,-2)或(1,14)； (3)由抛物线y=ax2+(b+m)x+3+n上仅存在 一个点Q(x1,y1),使得2x1+y1=0, 则联立)-2x ly=ax+(b+m)x+3+n' 即方程ax2+(b+m+2)x+3+n=0有两个相等 的实数根， 参考答案 21 ∴.方程-x2+(4+m)x+3+n=0有两个相等的 实数根， 令△=0，即(4+m)2+4(3+n)=0, 整理可得n=-4m2-2m-7=-(m+4)2-3, :0≤m≤2，∴.当m=0时，n有最大值-7. 3（①解：P,Q两点都在直线y=-上 令+如号-县 4’ 266-1 解得x=b+1 2, k-=1=1 2 .线段PQ的长为1； (2)解：抛物线y=+加-4关于)轴对称。 名=0，解得6=0y=-子 若P.Q都在x轴上，由-=0可得x=宁或 1 1 x=20P=00=2, 0+0 2+2=4: 若直线PQ不与x轴重合，设直线PQ的表达式为 一轮重 y=kx, 联立 y=-4 题 Ly =hx, 培优 可得-低=0，解得=±+打 2 不妨设x2>x1,则x2>0,x<0, x1+x2=k,x2=-4, 1 .x,-2=-√2+1（不符合题意的已舍去）， 11 0p+00 1 1 = 二十 √+y √x2+y2 1 1 √x,2(k2+1)√x22(2+1) 1 +x+ 1,x1-x2 √2+1· 1 -+1 √2+1 =4, 11 综上，0P+00=4: 22 安徽数学 (3)证明：x,-x2+y1-y2=x-2+x+b1-4 号-，+4=(x-x)(x++6+1), 点P,Q在抛物线对称轴的左侧，且x,<x2, b 6<<-26-<0, 1,2为整数， ≤-1<-号-1 <-分-1 5++6+1<-合-1-合+6+1-0， .x1-x2和x1+x2+b+1都是负数， .(1-x2)(x1+x2+b+1)是正数， 即x1-x2+y1-y2为正值. 4.解：(1)在，理由如下： y=x2-2mx+m2+m-1=(x-m)2+m-1, .∴.点M的坐标为(m,m-1), 把x=m代入y=x-1,得y=m-1, .点M在直线y=x-1上； (2):点N的坐标为(n,-n+3),点N在直线y= x-1上，.-n+3=n-1, 解得n=2,.m=2n-1=3, .抛物线C,:y=x2-6x+11=(x-3)2+2, ∴.M(3,2), 抛物线C2y=(x-2)2+1,.N(2,1), ,点A(s,t)在抛物线C2上， .t=(s-2)2+1: ①设直线AW的表达式为y=x+b(k≠0)， 2k+b=1 s+b=（-2)2+1解得/=6-2 1b=5-2s1 .·AN∥BM, .设直线BM的表达式为y=(s-2)x+c, 代入点M(3,2),得2=3(s-2)+c, c=8-3s, .直线BM的表达式为y=(s-2)x+8-3s; ②点B(s+p,1+9)在抛物线C,上，t=(s-2)2+1, .t+9=(s+p-3)2+2, .(s-2)2+1+q=(s+p-3)2+2, .q=p2+2p-2s-6p+6, p=s+1, .q=p2+2p-2s-6p+6=332-4s+1=3(s y3>0g的最小值为-写 5.解：(1)把点(1,2)代入y1=x2+2bx+c, 参考答案 得2=12+2b+c, 解得c=1-2b; (2)(i)抛物线y,=x2+2bx+c=(x+b)2+c-b 的顶点坐标为(-b,c-b2), .c=1-2b ∴.抛物线y1=x2+2bx+c的顶点坐标为(-b,-b2 -2b+1), 令-b=x,则-b2-2b+1=-x2+2x+1, .顶点总在二次函数y2=-x2+2x+1的图象上， .p=2,9=1: (ii):y2=-x2+2x+1=-(x-1)2+2, .抛物线y2的顶点坐标为(1,2)， 如解图，当-b<1,即b>-1时，抛物线y1=x2+ 2bx+1-2b经过点(0，-1)时，是临界状态， 此时-1=1-2b, 解得b=1, 封闭区域内的整点为(0,0)； 当抛物线y,=x2+2bx+1-2b经过(-3,0)时，为 临界状态，此时0=9-6b+1-2b, 解得6=子： 此时区域内有(0,0)，(0，-1)两个整点，满足 题意， 5 .1<b≤4 当-b>1,即b<-1时，由抛物线的对称性可得 -界≤6<-3 综上，6的取值范围为1<6≤子或-星≤6<-3. Y 3 第5题解图 6.解：(1)把A(3,0)代入y=ar2+2ax-15 得a=4 小抛物线的表达式为y=+宁5 令y=0则g+-5=0, 解得x1=-5,x2=3,.B(-5,0); 物线顶点， 安徽数学 .N(-1,-4), 设直线BN的表达式为y=k,x+b,(k,≠0)， .B(-5,0),N(-1,-4), -56,+6=0 「k=-1 ,解得 1-k,+b=- (6=-51 ·.直线BN的表达式为y=-x-5, :PQ∥BN, .可设直线PQ的表达式为y=-x+n, 则点Pm,i+分m-).0(m+2,子(m+ 2+m+2)-. 1 115 4m+m-=-m+n且4(m+2)+ m+2-5-(m+2)+ 解得m=-4; (3)直线1过定点 设直线l的表达式y=x+b(k≠0)，直线l与抛物 线相交于点G(x3,y3),H(x4,y4), [y= Ly=hx+b .x2+(2-4k)x-15-46=0, .4>0,x3+x4=4k-2,x34=-15-4b, 如解图，分别过点G,H作直线MN的垂线，垂足分 轮 别为C,D,则GC=-1-x3,MC=y3+5,HD=x4+ 1,MD=y4+5, 题 镜 M 第6题解图 .∠GMN=∠HMN, tan∠GMN=tan∠HMN,即GC=H MC MD' -1-x3x4+1 y3+5y4+5' .(x3+1)(y4+5)+(x4+1)(y3+5)=0, .(x+1)(kx4+b+5)+(x4+1)(x3+b+5) =0, ∴.2kx3x4+(k+b+5)(x3+x4)+2b+10=0, .2k(-15-46)+(k+b+5)(4k-2)+2b+ 10=0 .-4k(b-k+3)=0, 直线1不垂直于y轴，.k≠0， b-k+3=0,b=k-3, 参考答案 23 ∴.直线1的表达式为y=x+k-3=k(x+1)-3, :无论k为何值，x=-1时，y=-3, 直线1过定点(-1，-3) 7.解：(1)依题意，分别把A(3,0),C(0,3)代入y= -x2+bx+c, 得0=-9+36+ [b=2 13=c ,解得 c=3 .b=2,c=3; (2)由(1)得y=-x2+2x+3, 令y=0,则0=-x2+2x+3, 解得x1=3,x2=-1,故B(-1,0), 如解图1，分别过点E,D作EN⊥OA于点N,DMI OA于点M, 则∠ENB=∠DMB=90°， 又.·∠DBM=∠EBN, ∴.△DMB∽△ENB, BM DM BD ·BN=EN-BE' B DE:BE=1:2, 0 DM BD BM 3 八EN=BE=BN=2 设点M的横坐标为a, 第7题解图1 则BM=a+1, 一轮重 N=号a+1), 六点N的横坐标为子a-3 .21 型 由题意易得△EAN为等腰直角三角形， =n=号含知 DM=2(3-3）=5-a, 3102 由(1)得y=-x2+2x+3, DM=-a2+2a+3,∴.5-a=-a2+2a+3, 解得a=1或a=2, ∴点D的坐标为(1,4)或(2,3)： (3)存在. y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, F为抛物线的顶点，∴.F(1,4), 如解图2，过点P作PH⊥FN于点H. yt 第7题解图2 24 安徽数学 由题意得平移后的抛物线的表达式为y=-(x- m)2+n, 把x=1代入，得yw=-(1-m)2+n, 点P(m,n)在y=-(x-1)2+4上， .n=-(m-1)2+4, .(m-1)2=4-n, .yw=-(1-m)2+n=-4+n+n=-4+2n, .N(1,-4+2n),.PF2=(m-1)2+(n-4)2, PW2=(m-1)2+[n-(-4+2n)]2=(m-1)2+ (n-4)2, ∴.PF=PW2,即PF=PN, .∴.△FPN是等腰三角形， ∠FPN=120°，∠FPH=2×120°=60°， 则m∠PH=m60-识-共=5， .4-n=3(m-1), 令t=m-1,.4-n=3t,即n=-3t+4, n=-(m-1)2+4, .-3t+4=-2+4,即t2-3t=0, .t(t-3)=0,t1=0,2=3, ∴.m-1=0或m-1=3, 解得m=1(舍去)或m=3+1, .P(1+3,1), .平移后的抛物线的表达式为y=-(x-1-√3)2 +1, 令y=0,则0=-(x-1-3)2+1, 解得x1=2+√3，x2=3,则1x1-21=2, ∴.新抛物线与x轴存在两个不同的交点，这两个交 点之间的距离为2. 8.解：(1)抛物线G:y=x2-2mx+m+5=(x-m)2 -m2+m+5的顶点为C, ∴.C(m,-m+m+5); (2)C(m,-m2+m+5), .抛物线H的表达式为y=-x2+x+5, 将抛物线G向右平移n个单位长度后，抛物线的 表达式为y=(x-m-n)2-m2+m+5, 此时的顶点D(m+n,-m2+m+5), (i).·抛物线顶点D仍在抛物线H上， .-m2+m+5=-(m+n)2+(m+n)+5, 整理得n2+2mn-n=0,即n(n+2m-1)=0. .n>0, .n=-2m+1; (ii):y=x2-2mx-m+5在x≤3时，y随x的增 大而减小， ∴.对称轴为直线x=m≥3， :抛物线=-产+5+5-(-子产+头 参考答案 121 E(24, 设直线CE的表达式为y=x+b(k≠0)，将点C,E 的坐标分别代入， [-m2+m+5=mk+b [k=-m+2 ,解得 1 l6=2m+5 1 ∴.y=(-m+ 2) 2m+5 2m+51 1 1、 21 (m-2）+ 当y=0时，得x= 4 1 m-2 1 m-2 1.211 2中4 1 m2 .x随m的增大而减小， 又：m≥3，当m-3时，x有最大值号 :直线CB与x轴交点的横坐标的最大值为号 9.解：(1)()把点A和点C的坐标代人抛物线的表 达式中得-1-b+c=0 =3 解得6=2 1c=31 .抛物线的表达式为y=-x2+2x+3=-(x- 1)2+4, .抛物线的顶点坐标为(1,4)： (i)在y=-x2+bx+c(b>0)中，当x=0时，y=c, .C(0,c). ,点C的坐标为(0,3)， .c=3. PC=CD. .C为PD的中点。 :直线PC交x轴于点D,即点D的纵坐标为0， .点P的纵坐标为6， .抛物线的表达式为y=-x2+bx+3=-(x- b b2 P(2,4+3) 62 六4+3=6， .b=23或b=-2√3（舍去）， .P(3,6), 设直线PD的表达式为y=x+b'(k≠0)， 则将点P与点C的坐标代入，得{ 「√3k+b'=6 b'=3 解得=3 b'=3 .直线PD的表达式为y=3x+3; 2)当c=4-时，抛物线的表达式为y=-中 安徽数学 b+4、B “点P的坐标为(3,4)， -b)2+4=0, 令y=-(x-2) 解得=+2或x=分-2。 (分+2,0. 可求出直线C的表达式为y-62+4-号， 如解图，过点P作PE∥y轴交直线BC于点E, 则（台分·台4-）.即8分4-0. ∴.PE=4-(4-b)=b. :SarBc=SAPCE+S△PBE, 2PE(x-e)+2PE(x。-)=3. .b2+4b-12=0, 解得b=2或b=-6(舍去)， .b的值为2. E 0 一轮重难题型培优 第9题解图 10.解：(1)抛物线y=ax2+x+c经过点A(-3, 0),B(2,0), ·.将点A,点B的坐标分别代入， 用286 lc=-6’ .抛物线的函数表达式为y=x2+x-6; (2)(i)如解图1，根据题意可知点D(m,m2+m- 6),且-3<m<0, .AE. 1B. -5-4-2-1012345x -2 D -3 -4 C 第10题解图1 参考答案 25 则点E(m,0), 当x=0时，y=-6, .C(0,-6). 设直线AC的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，将 点A,点C的坐标分别代入， 得3张+60 1b=-6 ,解得2 1b=-6' .直线AC的表达式为y=-2x-6, .∴.F(m,-2m-6), .FD=-2m-6-(m2+m-6）=-m2-3m, E0=-m. .'FD=2E0,.-m-3m=-2m, 解得m=0(不合题意，舍去)或m=-1, .m的值为-1. (i)在点D运动的过程中，S存在最大值， 如解图2，根据题意可知点D(m,m2+m-6),且 -3<m<0,则点E(m,0), 2 6 P345 一轮重难题型培优 第10题解图2 .'DE =m2-m+6,0E -m,BE =2-m. SABEP SABDE -SADEP:SACDP SACDE SADEP S1=S△BE,S2=S△cm, .S=S1-S2=SABP-SAcr=S△BE-S△DEP- SAcE+SADEP=S△BDE-S△cDE =20E·a版-E,0k -DE(BE-OE) =7(-m2-m+6)(2-m+m) =(m+)产+ -1<0, S有最大值， 即当m=一时，S的鼓大值是空 11.解：(1)当c=1时，y=(a+1)x2+(a+1)x+1, ,·抛物线C:y=(a+c)x+(a+c)x+c与x轴只 有1个交点， .4=(a+1)2-4(a+1)=0, 解得a=-1(不合题意，舍去)或a=3, 26 安徽数学 .a的值为3： (2)(i).:抛物线C:y=(a+c)x2+(a+c)x+c 与x轴只有1个交点， ∴.△=(a+c)2-4c(a+c)=(a+c)(a-3c)=0, .a+c≠0， .a-3c=0 ∴.a=3c, .抛物线C的表达式为y=4cx2+4cx+c, c>0, .抛物线开口向上， 点P(-2,3)在抛物线C的内部， .4c·(-2)2+4c·(-2)+c<3, 解得0<c<宁 (i)当x=-2时， y=4c·(-2)2+4c·(-2)+c=9c, 当x=3时，y=4c·32+4c·3+c=49c, :抛物线C的对称轴为直线x=~2(a+c) a c 、1 2’ .点P,Q在对称轴的两侧， :点Q的坐标为(3,5)，线段PQ与抛物线C只 有1个公共点，点P在抛物线的内部， 9e<3,解得c<号， :点P在抛物线的内部， .点Q在抛物线上或外部， .5 ·49c≥5，解得c≥49 e的取值范围为≤c<宁 12.解：(1)抛物线y=-x2+br+c与x轴交于点 A(-1,0),B(4,0), 「-1-b+c=0 -16+4b+c=0 解得6=3 lc=41 .抛物线对应的函数表达式为y=-x2+3x+4: (2)y=-+3x+4=-(-+草. 4 、抛物线的对称轴为直线x=2, 3 当x=0时，y=4, .C(0,4), 设直线BC对应的函数表达式为y=kx+b,(k,≠ 0), 「4k1+b1= 「k=-1 ,解得 b1=4 6,=4, .直线BC对应的函数表达式为y=-x+4, 点E的横坐标为m, ∴.E(m,-m+4）, 参考答案 EF∥y轴， .F(m,-m2+3m+4), ∴.EF=-m2+3m+4-(-m+4)=-m2+4m, 如解图1，当点E在点H左制，即0<m<弓时。 3 由抛物线的对称性得F,G关于直线x=2对称， FG⊥y轴， .∴.G点横坐标为3-m, .∴FG=3-m-m=3-2m, ∴.矩形EFGH的周长L=2(EF+FG)=2(-m2+ 4m+3-2m)=-2m2+4m+6; 如解图2，当点E在点H右侧，即子<m<4时， 由抛物线的对称性得F,6关于直线x=弓对称。 :FGLy轴， ∴.G点横坐标为3-m, .FG=m-(3-m)=2m-3, .矩形EFGH的周长L=2(EF+FG)=2(-m2+ 4m+2m-3)=-2m2+12m-6, 综上可得，L关于m的函数表达式为 3 「-2m2+4m+6(0<m<2） L= 3 -2m+12m-6(2<m<4) (i)4或3-2√2. B 图 图2 第12题解图 13.解：(1)令x=0,则y=6, .C(0,6), .0C=6, :抛物线与x轴负半轴交于点A,与x轴正半轴 交于点B,0B=0C=30A, A(-2,0),B(6,0), 地物线的对称轴为直线女6,2-2： (2)(i)将A(-2,0),B(6,0)代入y=ax2+bx+6, 得4-26+6=0 1 ,解得 [a=-2 36a+6b+6=0 (b=2 1 抛物线的表达式为y=-2t+2x+6, Q是OB的中点， 安徽数学 .Q(3,0), 当=3时y=3×3驴+2x3+6 2 P3,5. 设直线AP的表达式为y=kx+b,(k≠0)， ,-2k+b1=0 3 则 15,解得 3k+b,=2 (b,=3 3 ·.直线AP的表达式为y=2x+3, 令x=0,则y=3, .D(0,3), ..0D=3, .∴.CD=6-3=3 se=700x1,=子×5-： (ii):点P(m,n)(m≥2)是抛物线上一个动点， 1 P(m,-2m+2m+6),则Q(m,0), 当点D在原点上方时，如解图1， 0M=2,40=m+2,P0=-m+2m+6, 由题意得OD∥PQ, .∴.△AOD∽△AQP ÷00即m 2 2m+2m+6m+2, 轮重难 :0D=-m+4m+12 m+2 型 .CD=6-OD=m, 以点C,D,P,Q为顶点的四边形为平行四边形， D=0.即m=-2m+2m+6, 解得m=1±√13， m≥2，.m=1+√13： 当点D在原点下方时，如解图2， 0A=240=m+210=-(-+2m+6) 2m2-2m-6, ·OD∥PQ,∴.△AOD△AQP, D-40.即， OD -_2 OPAO' 2m2-2m-6m+2, ∴0D=m-4m-12 m+2 .∴.CD=6+OD=m, 以点C,D,P,Q为顶点的四边形为平行四 边形， 1 CD=PQ,即m=2m-2m-6, 参考答案 27 解得m=3±√/21， m≥2，.m=3+√21. 综上，m的值为1+√13或3+√21 图1 图2 第13题解图 14.解：(1)把(2,3)，A(-1,0)代入y=-x2+bx+c, 得-4+26+c= L-1-b+c=0 解得∫62 lc=3' .抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3; (2)如解图，过点F作FH⊥x轴于点H,设直线 CD交y轴于点K. 在y=+号中，令x=0得y=分，令y=0得 x=-1, k(0,宁，直线y=宁+号与销交点为 A(-1,0), 一轮重难 :0k=号0A=: 型培优 六ian∠K40=0然-1 04=2 四边形CDEF是正 方形， .EF∥CD,DE=EF ∴.∠FEH=∠KAO, AO EHB龙 m∠PBn-分 第14题解图 设FH=t,则EH=2t, .EF=√F开+EH=5t, .DE EF =5t, :∠ADE=90°， mL0-- ∴.AD=2DE=25t, .AE=√DE2+AD2=√(5t)2+(25t)2=5t, .∴.AH=AE+EH=5t+2t=7t、 .0H=AH-0A=7t-1, .F(7t-1,), 把F(71-1,)代入y=-x2+2x+3得1=-(71- 1)2+2(7t-1)+3, 解得：=0（合去）或：-弱 28 安徽数学 F(2027 7'49)； (3)点P(x1y,)在抛物线y=-x2+2x+3上， 点Q(x1,y2)在抛物线y=x2-(4m-2)x+4m2+ 2上， .y1=-x2+2x1+3, y2=x-(4m-2)x1+4m2+2, .2-y1=x号-(4m-2)x,+4m2+2-(-x7+ 2x1+3)=2x-4x1+4m2-1=2(x1-m)2+ 2m2-1, 当m≤1时，若1≤x1≤2，则x,=1时，y2-y,的最 小值为3， .2(1-m)2+2m2-1=3, 舒得a生舍去)或m1, m=1-3 2 当1<m<2时，若1≤x,≤2，则x1=m时，y2-y 的最小值为3， .2m2-1=3, 解得m=√2或m=-2(舍去)， .m=2; 当m≥2时，若1≤x1≤2，则x1=2时，y2-y1的最 小值为3， .2(2-m)2+2m2-1=3, 解得m1=m2=1(舍去). 综上所述，m的值为'，或2 题型五几何综合探究题 设问突破一线段问题 例1(1)解：在正方形ABCD中， ∠A=∠B=90°，AD=AB=BC=DC=5, .CH=1, .HF FB=AE =2, .BE=3. .EG⊥EF, .∠GEF=90°， .∴.∠FEB=∠EGA=90°-∠GEA, ,∠EGA=∠FEB 在△AGE和△BEF中， ∠A=∠B LAE =BF ∴.△AGE≌△BEF(AAS), .·.AG=BE=3, .DG=2; (2)证明：由(1)知△AGE≌△BEF, .AG=BE. 参考答案