2026年 九年级数学中考二轮复习 函数知识的应用 解答题专题提升训练

2026年春九年级数学中考二轮复习《函数知识的应用》解答题专题提升训练（附答案） 一、一次函数的应用 1．智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一、某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作.在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用秒采摘苹果的个数比用秒采摘苹果的个数多个． (1)求的值； (2)现公司有个这样的机器人，每个机器人搭载个相同的机械手同时工作小时，将采摘的苹果全部进行加工，粗加工每个苹果利润元，精加工每个苹果利润元，且要求精加工数量不多于粗加工数量的倍，为获得最大利润，精加工数量应为多少个？最大利润是多少元？ 2．仔细阅读下表中的内容，据表中信息完成任务一和任务二． 背景 某学校计划购入A，B两款学习机，辅助日常教学，经过市场调研，了解到这两款学习机的相关信息如下： 信息一： ①购买3台A款学习机和4台B款学习机共需6200元； ②购买2台A款学习机和8台B款学习机共需8400元． ☆任务一 (1)求每台A款学习机，每台B款学习机的价格； 信息二 该校决定购买这两款学习机共50台，配备给部分班级作教学实验，两款都要购买，且购买B款学习机的数量不超过A款的1.5倍． ☆任务二 (2)请为该校提供最省钱的购买方案． 3．某校“书法社”和“音乐社”两个社团开展课外实践活动．如图①，“书法社”同学骑自行车从中央广场出发前往社区文化站参加书法展，“音乐社”同学坐小型新能源旅游观光车从区少年宫出发，途经社区文化站后前往中央广场参加活动（两个社团在社区文化站与中央广场之间沿同一路段行驶），两个社团同时出发且匀速行驶．已知旅游观光车的速度是自行车速度的3倍，如图②表示的是两个社团离社区文化站的距离与行驶时间之间的函数图象．观察函数图象回答下列问题： (1)“书法社”骑自行车的速度为　　　； (2)求图象中a与b的值； (3)请求出P点的坐标，并说明点P表示的实际意义． 4．跨学科主题学习活动中，小明同学对“小球在水平轨道上滚动距离随运动时间变化的关系”开展深入探究，小明先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【设计实验方案】 如图1，一个黑色小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到水平木板A点处开始，用仪器测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s），滚动距离y（单位：cm）的数据． 【收集数据】 运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 … 滚动距离y/cm 0 26 48 66 80 90 … 【建立模型】 根据表格中的数值，在图2的平面直角坐标系中描点，连线，通过观察图象发现，可以用二次函数近似地表示y与x的函数关系． (1)直接写出y与x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； 【应用模型】 (2)求小球在水平木板上滚动的最大距离； (3)若小球到达木板A点处的同时，在前方cm处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则小球能否追上小车？请说明理由． 5．某通信公司推出A，B两种套餐（按月计费），具体资费如下表所示： 套餐A 套餐B 套餐基础费/元 129 159 套餐内免费流量/GB 30 40 套餐外流量价格/（元/GB） 使用套餐A，B每月所需的费用（元），（元）关于每月使用的流量的函数图象如图所示，已知当时，两函数图象重合． 请你根据以上信息，解决下列问题： (1)填空：_________，_________； (2)请分别求出，关于的函数解析式； (3)该通信公司决定推出一个免费流量为的新套餐C（按月计费），套餐外流量单价同套餐A．若要当时，使用套餐C每月的花费比使用套餐A每月的花费少30元，则套餐C的基础费应该定为多少元？ 二、反比例函数的应用 6．挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长，这就导致人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿直线前进，但实际上走的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．某学校数学兴趣小组通过实验发现，人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径米与其两腿迈出的步长之差厘米（）拟合后的函数为反比例函数，其图象如图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： (1)求与之间的函数表达式； (2)若小昆两腿迈出的步长之差为0.5厘米，则他蒙上眼睛走的大圆圈的半径为多少米？ (3)若小明蒙上眼睛走的大圆圈的半径不小于70米，求其两腿迈出的步长之差的取值范围． 7．某景区游客服务中心为游客休息室配备了智能饮水机，该饮水机放满水后，初始温度25℃．接通电源自动加热，水温每分钟上升15℃，加热至100℃时停止加热，此后水温（℃）与通电时间（min）成反比例关系，直至降至25℃后再次自动加热，其水温与时间的关系如图，回答以下问题： (1)分别求出和时，关于的函数表达式（需先推导的值）． (2)计算图中的数值． (3)景区开放时间为，且工作人员需在游客进入景区前完成水温调控（前可操作），如果工作人员在接通电源，第一批游客预计到达休息室，请问他们能否喝到之间的温水？ 8．生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)线段的函数解析式和定义域为______； (2)双曲线段的函数解析式和定义域为______； (3)求该大棚在时内，温度不低于的时长是______； (4)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟______小时，能满足上述要求． 9．如图2，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根长为100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点为处挂一个重的物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧秤与中点的距离（单位：），观察弹簧秤的示数（单位：）的变化情况．得出如下几组实验数据： /cm 10 15 25 30 30 20 a 10 (1)表中的值是__________； (2)小明通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系，在如图1所表示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图像； (3)根据以上数据与图像判断，当增大时，是增大还是减小？请说明理由． 10．在一定的电压下，电流和可变电阻之间成反比例关系．小明用一个蓄电池作为电源组装了一个电路，如图①所示，通过实验，得到电流值随着电阻值的变化而变化的几组数据如下表所示． … 2 3 4 6 12 … … 24 16 12 8 4 … 请解答下列问题： (1)这个蓄电池的电压值是__________V； (2)请在图②所示的坐标系中，通过描点画出电流I和电阻R之间的关系图象，并直接写出I和R之间的函数关系式； (3)如果要使此电路长期正常工作，需保持电流不得低于且不得超过，则可变电阻的阻值应控制在什么范围内． 三、二次函数的应用 11．一个长，宽的矩形包装纸片上印有5个完全相同的抛物线型图案，每个抛物线型图案的高恰好是矩形的宽，最左边和最右边的两个抛物线分别经过矩形纸片的一个顶点，这5个抛物线型图案之间的间距均为（如图①），取左边两个抛物线图案，以BC的中点为坐标原点建立如图②所示的平面直角坐标系，G为图②左侧抛物线的顶点． (1)求图②中左侧抛物线的表达式（不要求写自变量的取值范围）； (2)根据需要，沿矩形纸片的对称轴将它裁剪成两块（图①中的虚线为裁剪线），裁剪线与相邻两条抛物线分别交于E，F两点，试求的长． 12．学校的洗手台上放了一瓶抑菌洗手液（如图1），按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口A点喷出（如图2）．以吸液管底为原点，吸液管所在直线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知喷口A点到台面高度为，为，喷出的一滴洗手液轨迹呈抛物线形，其关系式为，这滴洗手液在水平方向喷出时，到台面高度为． (1)求这滴洗手液轨迹的函数关系式； (2)当这滴洗手液落到台面上时，落点离喷口A点的水平距离是多少？ (3)小明洗手时手心向上平行于台面接洗手液，他的手心约为，现在点M到喷口A点的水平距离为．若小明恰好能接到这滴洗手液，求手心到台面的高度h的取值范围． 13．综合与实践 问题情境：如图，某生态景观园区为打造“滨水乐仪”主题片区，安装了音乐喷泉装置．喷泉的水柱从底座（水平面上）O点喷出，其距水面的竖直高度y（单位：）与距喷口点O的水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，测得的几组数据如下表： 0 10 20 30 40 0 7.5 10 7.5 0 问题解决： (1)将表格中各组对应值作为点的坐标，在图1所示的平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象，并求出y与x的函数关系式． (2)为提升音乐喷泉表演的观赏效果，现要在该抛物线形水柱正下方的水面铺设一条观赏灯带，灯带的每一个位置均处于抛物线形水柱的正下方，为使得观赏效果最佳，要求抛物线形水柱上的每一个点到灯带的距离不低于，求这条观赏灯带可铺设的最大长度（结果保留根号）． (3)如图2，在一场主题活动中，调整了喷泉的喷射参数，使得水柱距水面的竖直高度y（单位：）与距喷水点O的水平距离x（单位：）近似满足关系式：．在距喷口点O水平距离处有一个互动装置点M，要求水柱能落在距互动装置点M的范围内（含），求t的取值范围． 14．南阳月季甲天下，“三顾之城”受追捧．位于南阳市北郊的中国月季园在一年一度的开园仪式上，搭建了一个抛物线形花墙拱门，负责人在设计时利用了数学中抛物线知识，他先测量出拱底为7.2米，然后在点B处横竖分别放两根长度为3.2米的木棒，末端恰好落在点A和拱门内壁C处．据此，他在纸上画出图形，如图1，以点O为原点，所在直线为x轴，1米为单位长度建立平面直角坐标系、（忽略拱门厚度） (1)请求出拱门最高点距地面的高度； (2)若要在花墙拱门内搭建一个矩形“支架”（由三根钢管组成）、使E、F两点在抛物线上，D、G两点在地面上（如图2所示），请你计算一下最多需准备多少米该种钢管； (3)若身高都为1.8米的仪仗队穿过拱门，仪仗队成员的平均肩宽为0.35米，头和肩的宽度差忽略不计，负责人准备将队形设计成每排6人，当每两人间的距离为d米时，队伍能安全通过拱门（每两人间必须有空隙，仪仗队员的头不能触碰拱门）．直接写出d的取值范围． 15．小聪与小明在家属院打羽毛球时，不慎将羽毛球挂在了一棵树枝处（记为点），为取下羽毛球，小明准备用石子沿抛物线轨迹投掷，他把石子举到头顶上方，出手位置距地面1.8m，石子在距小明水平距离处达到最高点，最高点距水平地面约；以小明脚站立点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，其中是石子距原点的水平距离，是石子距水平地面的高度． (1)求石子运动轨迹的二次函数解析式． (2)测得羽毛球到小明的水平距离是，羽毛球距地面的高度约为，（1）中的二次函数图象与点在同一平面内． ①小明此次投掷的石子能击中羽毛球吗？ ②若小明想让石子击中羽毛球，且保持抛物线形状和最大高度不变，他应如何水平调整位置？ 16．总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下，根据以下销售情况，完成销售任务． 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出30件，每件盈利30元． 市场调查 每件衬衫每降价1元，甲店一天可多售出2件． 每件衬衫每降价1元，乙店一天可多售出3件． 情况设置 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，设每件衬衫降价x元． 任务解决： (1)分别表示降价后甲、乙两店每天的销售量（用含x的代数式表示）． (2)当两家分店一天的利润额相等时，每件衬衫下降多少元？ (3)每件衬衫降价多少元时，两店每天的总利润之和最大？最大利润是多少元？ 17．根据以下素材解决问题 人形智能机器人销售盈利方案 素材1 随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形智能机器人的应用场景不断拓展．某科技公司自主研制出A，B两种型号智能机器人，已知每台种型号智能机器人制造成本为7万元，每台种型号智能机器人制造成本为6万元． 素材2 科技公司市场调研发现，售出3台型智能机器人、4台型智能机器人共收入62万元；售出2台型智能机器人、5台型智能机器人共收入60万元． 素材3 两种型号机器人的总销售量（台）与型智能机器人每台销售单价（万元／台）之间的关系如图所示．    根据以上信息解决下列问题： (1)任务一确定销售单价：求A，B两种型号智能机器人每台的销售价格． (2)任务二拟定最优方案：若B型机器人按任务一中求出的销售单价，其销售量占总销量的．求A型机器人的销售单价定为多少时，A，B两种型号的机器人利润之和最大． 18．某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为米，位置的墙最大可用长度为米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图的三处各留米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长米． (1)若饲养场（矩形）的一边长为米，则另一边____米． (2)若饲养场（矩形）的面积为平方米，求边的长． (3)饲养场的面积有最大值吗？若有，求出边的长；若没有，请说明理由． 19．如图，在中，，．动点P从点C出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点B、C重合时，取线段的中点Q，过点P作，在的上方取线段，使，以为边作矩形．设点P的运动时间为t秒．矩形与重叠部分图形的面积为S． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当点N在边上时，求t的值； (3)当矩形与重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围． 20．综合与实践 【问题情境】如图1，虚线所示的宽为、高为的矩形区域是室内客厅墙面的一块空白装饰区，设计师计划在矩形区域上方用装饰线条围出抛物线造型，点分别是抛物线与矩形左右侧边的交点，两点到矩形上侧的边的距离均为，抛物线的顶点恰好落在矩形上侧的边的中点处．以矩形下侧的边所在直线为轴，抛物线的对称轴为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）． 【问题解决】 (1)请在图1中建立平面直角坐标系，并求出该抛物线的函数表达式． (2)在（1）的条件下，设计师对抛物线下方的墙面区域，设计了以下两种装修方案：方案一：如图2，在矩形下方区域围出两条完全相同的新抛物线造型装饰线条，它们的开口方向与（1）中的抛物线相反，但开口大小（二次项系数的绝对值）相同，这两条抛物线的顶点都在矩形下侧的边上．点分别是抛物线与矩形左右侧边的交点，且在同一条水平线上．方案二：如图3，利用与矩形下侧的边垂直的两条等长装饰线条和，将抛物线下方区域分割为三个装饰区块，其中点均在矩形下侧的边上，且整个装饰图形关于轴对称． ①方案一中，设计师助理认为图2中点到矩形下侧的边的距离与点到矩形上侧的边的距离的比值为，请通过计算验证该说法是否正确． ②方案二中，若到矩形右侧边的水平距离等于点在竖直方向到抛物线的距离的5倍，当两条装饰线条的总长度（）最大时，请直接写出的长度． 参考答案 1．(1) (2)精加工数量应为个，最大利润是元 【分析】（1）根据“一个机械手用秒采摘苹果的个数比用秒采摘苹果的个数多25个”建立分式方程求解即可； （2）根据题意令粗加工个数为个，则精加工个数为个，得不等式，解出，再得出对应的利润与的函数关系，根据函数性质求最大值即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解． （2）解：共采摘苹果个数为个， 令粗加工个数为个，则精加工个数为个， 则， 解得， 总利润为， 故越小，利润越大， 最小为， ∴总利润最大为元， 对应精加工个数为个， 故精加工数量应为个，最大利润是元． 2．(1)每台A款学习机的价格是1000元,每台B款学习机的价格是800元 (2)购买20台A款学习机，30台B款学习机，最省钱 【分析】（1）根据购买两款学习机的两组总价条件，列二元一次方程组，求解两款的单价； （2）先设购买款的数量，用它表示款数量和总费用；再根据款数量不超过 款倍的约束条件，求费用函数的最小值，得到最省钱方案． 【详解】（1）解：设每台款学习机的价格是元，每台B款学习机的价格是元． 由题意得，解得， ∴每台款学习机的价格是1000元，每台款学习机的价格是800元． （2）解：设购买台款学习机，台款学习机，总费用为元． 由题意可得：， 解得． 由题意得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，w取得最小值， 此时，，． ∴购买20台款学习机，30台款学习机，最省钱． 3．(1) (2)， (3)，它表示“书法社”和“音乐社”同学相遇的时间和距离社区文化站的距离 【分析】（1）根据速度=路程÷时间求解即可； （2）根据图象，得中央广场与区少年宫的距离为，区少年宫与社区文化站的距离为，根据公式计算即可； （3）利用待定系数法，相遇的意义求解即可． 【详解】（1）解：根据图象，得中央广场与社区文化站的距离为，“书法社”骑自行车用时间为， 故速度为； （2）解：根据题意，得旅游观光车的速度是自行车速度的3倍， 故旅游观光车的速度为； 根据图象得区少年宫与社区文化站的距离为，社区文化站与中央广场的距离为， 故“音乐社”从少年宫到文化站用时为， 即； 因为“音乐社”从社区文化站与中央广场用时为， 所以； （3）解：设“书法社”运动的图象解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为； 设返回文化站运动的图形解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为； 根据题意，得， 解得， 故. 点P表示的实际意义是“书法社”同学骑自行车从中央广场到社区文化站的途中，与“音乐社”同学坐小型新能源旅游观光车从社区文化站前往中央广场的途中相遇． 4．(1) (2) (3)能追上小车，见解析 【分析】（1）根据数据特征判断函数类型，利用距离与时间为点的坐标得二次函数关系式； （2）根据二次函数有最大值，求出顶点式即可求解； （3）通过分析黑色小球与小车的位置关系，建立方程，求解并验证是否符合实际运动情况，判断能否追上及对应的时间． 【详解】（1）解：根据题意，设二次函数的表达式为经过，， 则， 解得, 则y与x的函数关系式． （2）由（1）可知， 所以当时，y 取最大值，最大值为98． 答：小球在水平木板上滚动的最大距离是cm． （3）根据题意，小车运动的路程为：， 则，     解这个方程，得，．     由（2）可知，当时小球停止运动，， 所以当时小球能追上小车． 5．(1)3；40 (2)； (3)套餐的基础费应该定为189元 【分析】（1）当时，两函数图象重合，此时满足套餐刚结束免费流量阶段，即可得；再根据套餐基础费为元，套餐内免费流量为，即可求出； （2）两直线均为分段函数，根据（1）中、的值可直接求出两直线的解析式； （3）设套餐的基础费为元，根据使用套餐每月的花费比使用套餐每月的花费少元可得关于的一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：；． 根据图象可知，，． （2）解：当时，， 故 由题意，得当时，， 故 （3）解：设套餐的基础费为元， 根据题意，得， 解得． 答：套餐的基础费应该定为元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是根据表中数据画出函数图象并求出函数解析式． 6．(1) (2)当某人迈出的步长差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米 (3)某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于70米，则其两腿迈出的步长之差 【分析】（1）设反比例函数解析式为，将图象中的点代入解析式求解，即可解题； （2）将代入（1）中解析式求解，即可解题； （3）根据题意建立不等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 由图象可知，反比例函数过点， ， ， 与之间的函数表达式为； （2）解：当时，， ∴当某人迈出的步长差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米； （3）解：当时，即， ， ∴某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于70米，则其两腿迈出的步长之差． 7．(1) (2) (3)能喝到符合要求的温水，理由见解析 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握一次函数与反比例函数的解析式是解题关键． （1）使用待定系数法求函数的表达式； （2）根据（1）中的反比例函数表达式计算出b的值； （3）根据题意可得总通电时间为，再由，可得对应第4个周期的第，处于的降温阶段，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 当时，与成一次函数关系， 设， 将；代入表达式得： ， 解得， ∴； 当时，与成反比例关系， 设， 将代入表达式得：， 解得， ∴， 综上所述，． （2）解：将代入反比例函数的表达式得： ， 解得． （3）解：由题意可知，该饮水机的工作周期是20分钟，工作人员于通电，第一批游客到达， ∴总通电时间为， ∵， 即对应第4个周期的第，处于的降温阶段， 当时，， 该温度在范围内，因此能喝到符合要求的温水． 8．(1)线段的函数解析式为，定义域为； (2)双曲线段的函数解析式为，定义域为； (3)12 (4)1 【分析】（1）将点与代入函数解析式，由待定系数法求解即可； （2）设出双曲线段的函数解析式，再将点代入函数解析式求解即可； （3）分别求解出升温阶段与恒温系统关闭阶段，温度为的时间，再计算时常即可； （4）求出现在符合光照和温度的时间，进而根据要求即可解答． 【详解】（1）解：设线段的函数解析式为， ∵点与在线段上， ∴，解得， ∴线段的函数解析式为，定义域为； 故答案为：，； （2）解：双曲线段的函数解析式为， ∵点在双曲线上， ∴，解得， ∴双曲线段的函数解析式为， ∵当时，可得，解得， ∴定义域为； 故答案为：，； （3）解：∵线段的函数解析式为， 令，可得，解得， 又∵双曲线段的函数解析式为， 令，可得，解得， ∴从3时开始到15时，温度不低于，即时长为时； 故答案为：12； （4）解：由题意，日照时间为，共10小时， 需保证植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于， ∵该大棚在时内，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为8小时，不满足条件； 故推迟1小时时，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为9小时，满足条件 故至少推迟1小时，能满足上述要求． 故答案为：1． 9．(1) (2)函数图象如图 (3)当增大时，是减小，理由见解析 【详解】（1）解：由表格发现， ∴当时，， 解得； （2）解：先根据表格描点，再依次连接各个点即可画出这个函数的图像： （3）解：根据以上数据与图像判断，当增大时，是减小， 理由：根据函数图象发现随着值的增大，对应的值越来越小；或由可得当增大时，是减小． 10．(1)48 (2)见解析； (3)可变电阻的阻值应控制在不低于且不高于范围内 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，也考查了电流、电阻、电压之间的关系，理解题意是正确解题的关键． （1）由，求解即可； （2）根据数据描点、作图，设，将点代入求解即可； （3）将、分别代入，求出对应的阻值，即可得到可变电阻的阻值的控制范围． 【详解】（1）解：∵在一定的电压下，电流和可变电阻之间成反比例关系， ∴， 代入，可得． （2）解：画图如答图所示． 设， 将点代入得：， 解得， ． （3）解：当时，；当时，． 故可变电阻的阻值应控制在不低于且不高于范围内． 11．(1)； (2)． 【分析】（1）先求得，抛物线的顶点，再利用待定系数法求解即可； （2）将代入，求得，再根据轴对称的性质求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴，抛物线的顶点， ∴设图②中左侧抛物线的表达式为， 将代入得， 解得， ∴图②中左侧抛物线的表达式为； （2）解：将代入， 得， 解得，， ∴， ∵E，F两点关于轴对称， ∴， ∴． 12．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）令，解一元二次方程即可； （3）分当洗手液恰好落到手心左端M和洗手液恰好落到手心右端N两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意，抛物线过、两点． 把、代入， 得： 解得： 所以洗手液轨迹的函数关系式为． （2）解：令，得． 解得或（舍去）． 与喷口水平距离为cm． 故洗手液最远能喷射到离喷口水平距离的位置． （3）解：由题意得，点M横坐标为，点N横坐标为． 当洗手液恰好落到手心左端M时： 令，得， 当洗手液恰好落到手心右端N时： 令，得， ∵，抛物线开口向下； ∴在时，y随x增大而减小． ∴手心离台面的高度h的范围是． 13．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据表格确定每一个点的坐标，然后在坐标系中描点，再连线即可作图，再由待定系数法求解函数关系式； （2）对于，令，则，求出方程的根，即可求解这条观赏灯带可铺设的最大长度； （3）对于中，令，求出方程的根，根据题意可得，即可求解的取值范围． 【详解】（1）解：描点画图如答图所示： 根据表格中的数据可得，抛物线的顶点坐标为， 设与的函数关系式为， ∵当时， ∴ 解得 ∴与的函数关系式为； （2）解：由题意得，对于，令， 则 解得， ∴， 答：观赏灯带可铺设的最大长度为； （3）解：在中，令 则 解得（舍去）， 根据题意，要使水柱能落在距互动装置点M的范围内(含)， 则，即， ∴ 解得． 14．(1)拱门最高点距地面的高度为米 (2)最多需准备米该种钢管 (3) 【分析】（1）由题意可得，，利用待定系数法求出抛物线形花墙拱门的解析式为，再将抛物线解析式化为顶点式，即可得出结果； （2）由（1）可得抛物线的对称轴为直线，设点的横坐标为，那么，则点的横坐标为，求出，，表示出，再由二次函数的性质即可得出结果； （3）令，则，求得，，再结合题意计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：米，米， ∴，米， ∴， 设抛物线形花墙拱门的解析式为， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线形花墙拱门的解析式为， ∵， ∴拱门最高点距地面的高度为米； （2）解：由（1）可得抛物线的对称轴为直线， 设点的横坐标为，那么， 由题意可得，点和点关于对称轴对称， ∴点的横坐标为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，的值最大，为米， 故最多需准备米该种钢管； （3）解：令，则， 解得：，， ∴（米）， ∵仪仗队成员的平均肩宽为0.35米，负责人准备将队形设计成每排6人， ∴（米）， ∵当每两人间的距离为d米，每两人间必须有空隙，仪仗队员的头不能触碰拱门， ∴d的取值范围． 15．(1) (2)①不能；②小明应该后退米或前进米 【分析】（1）设出顶点式，利用待定系数法进行求解即可； （2）①求出时的函数值，进行判断即可；②设出新的解析式，待定系数法求出函数解析式，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点坐标为，经过点， 设抛物线的解析式为，把点，代入，得， 解得， ∴； （2）解：①∵， ∴当时，， ∵， ∴小明此次投掷的石子不能击中羽毛球； ②设新的抛物线的解析式为，把代入，得：， 解得或， ∵，， ∴小明应该后退米或前进米． 16．(1)甲店每天的销售量为件，乙店每天的销售量为件 (2)每件衬衫下降元； (3)每件衬衫降价元时，两店每天的总利润之和最大，最大利润是元 【分析】（1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列方程，解方程即可； （3）设两店每天的总利润为元，得到，得到当时，有最大值，最大值为，即可得到答案． 【详解】（1）解：甲店每天的销售量为：件， 乙店每天的销售量为：件 （2）解：根据题意得， 解得， 答：每件衬衫下降元； （3）解：设两店每天的总利润为元， 根据题意得，， ， 当时，有最大值，最大值为， 答：每件衬衫降价元时，两店每天的总利润之和最大，最大利润是元． 17．(1)型智能机器人每台的销售单价为万元，型智能机器人销售单价为万元， (2)A型机器人的销售单价定为万元时，A，B两种型号的机器人利润之和最大． 【分析】（1）列二元一次方程求解即可； （2）根据题意，构造二次函数，求最大值即可． 【详解】（1）解：设型智能机器人每台的销售单价为万元，型智能机器人销售单价为万元， 解得：， ∴型智能机器人每台的销售单价为万元，型智能机器人销售单价为万元， （2）解：设总销售量（台）与型智能机器人每台销售单价（万元／台）之间的关系为：， 将，代入得 ， 解得：， ∴， 设A型机器人的销售单价定为万元， ∴A，B两种型号的机器人利润之和为：， ∴， ∴当时，取得最大值， ∴A型机器人的销售单价定为万元时，A，B两种型号的机器人利润之和最大． 18．(1) (2)边的长为米 (3)饲养场的面积有最大值，此时米 【分析】（1）直接根据图形计算即可； （2）设米，则米，根据矩形的面积等于长乘以宽，即可列方程求解； （3）设饲养场的面积为，米，则米，由矩形的面积等于长乘以宽可得，根据二次函数的性质即可判定． 【详解】（1）解：（米）； （2）设米，则米， 依题意得， 整理得， 解得，， 当时，（米），，不合题意，舍去； 当时，（米），符合题意． 边的长为米； （3）饲养场的面积有最大值， 设饲养场的面积为，米，则米， 根据题意得， 整理得， ， 当时，饲养场的面积有最大值为平方米， 即饲养场的面积有最大值，此时米． 19．(1)； (2)2； (3)． 【分析】（1）根据时间乘以速度得，可得，再根据得出答案； （2）说明，可得答案； （3）先求出当点M在上时，，当矩形与重叠部分图形为四边形时，或，画出图形，再求出面积即可． 【详解】（1）解：根据题意可知， ∵点Q是的中点， ∴， ∴； 矩形中，； （2）解：如图，当点N在边上时， ∵ ∴. ∵， ∴， ∴， 即， 解得； （3）解：当时，； 当点M在上时，可知， ∴， 即， 解得． 当时， 根据题意，得，， ∴． 20．(1)，图见详解 (2)①设计师助理的说法不正确，见解析 ② 【分析】（1）根据对称性建立坐标系，利用待定系数法求函数表达式； （2）①确定抛物线的顶点坐标和二次项系数，利用待定系数法求出函数表达式，然后求解即可； ②设，根据函数表达式求出相关距离，然后列出的函数表达式，利用二次函数的图象和性质求出最值即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如下： 由题意得，，抛物线的顶点的坐标为， ∴设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：①设计师助理的说法不正确，理由如下： 由题意得，过点的抛物线和过点的抛物线的二次项系数都为， ∵过点的抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴过点的抛物线的函数表达式为 当时，， ∵点到矩形上侧的边的距离为，， ∴设计师助理的说法不正确； ②设， 则到矩形右侧边的水平距离为， 点在竖直方向到抛物线的距离为， ∴， 整理得， ∴当时，的长度最大， 根据对称性可得，，即当时，的长度最大， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $