21.2.3三角形的中位线 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.2.3三角形的中位线 学习目标 01 02 理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线 定理； 能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题. 重点 难点 复习引入 导入新课 问题 平行四边形的性质和判定有哪些？ 边： 角： 对角线： B O D A C AB∥CD, AD∥BC AB=CD, AD=BC AB∥CD, AB=CD ∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC AO=CO,DO=BO 判定 性质 我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，利用三角形的全等性质进行研究，今天我们一起来利用平行四边形来探索三角形的某些问题吧. 思考 如图，有一块三角形蛋糕，准备平分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，该怎样分呢？ 探索新知 如图，在△ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，连接 DE . A B C D E 像 DE 这样，连接三角形两边 中点的线段叫作三角形的中位线 . ∵D，E 分别是边 AB，AC 的中点 ∴DE 为△ABC 的中位线 ∵DE 为△ABC 的中位线 ∴D，E 分别是边 AB，AC 的中点 A B C D E F 一个三角形有三条中位线. 思考： 1. 一个三角形有几条中位线？自己试着画一画． 分别是DE、DF、EF 2. 三角形的中位线和中线一样吗？ A B C D E F A B C 不一样. 三角形的中线是连接三角形顶点与其对边中点的线段. 三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段， 三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半. D E ∵△ABC中,若D、E分别是边AB、AC的中点. ∴DE∥BC,DE=0.5BC． 三角形中位线定理： 符号语言： F 重要发现： ①中位线DE、EF、DF把△ABC分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形,它们是四边形ADFE和BDEF,四边形BFED和CFDE,四边形ADFE和DFCE. ②顶点是中点的三角形,我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一. 8 【例1-1】如图,在△ABC中,D、E分别为AC、BC的中点,AF平分∠CAB,交DE于点F.若DF=3,求AC的长. 解：∵D、E分别为AC、BC的中点， ∴DE∥AB， ∴∠2＝∠3. ∵AF平分∠CAB， ∴∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴AD＝DF＝3， ∴AC＝2AD＝2DF＝6. 1 2 3 9 中位线 倍长 构造全等三角形 平行四边形 作等长延长线 得线段相等、角相等 得线段相等、平行 F 如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 的中点. 求证：DE∥BC，且 DE = BC. 【思路分析】 A B C D E 方法一 证明：如图，延长DE到F，使EF = DE，连接CF. 在△ADE和△CFE中， ∵AE=CE，∠ADE=∠CEF，DE = FE， ∴△ADE≌△CFE. ∴∠A =∠ECF，AD = CF. ∴CF∥AB. ∵BD = AD， ∴CF = BD. ∴四边形DBCF是平行四边形 （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） ∴DF∥BC（平行四边形的定义）， DF = BC（平行四边形的对边相等）. ∴ DE∥BC，DE= BC. F A B C D E 4. 在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点.以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么？ 解：3个. 平行四边形DFCE, 平行四边形DFEB, 平行四边形DEFA. A D C B F E 12 5. 已知：如图所示，在△ABC中，点D是AB的中点，点E是AC的中点，点F是BC的中点，连接DE，AF. 求证：线段DE、AF互相平分． 证明：连接DF、EF， ∵点D是AB的中点，点E是AC的中点，点F是BC的中点， ∴DF∥AE，EF∥AD， ∴四边形ADFE是平行四边形， ∴ DE、AF互相平分． 【例2-1】如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形. 证明：连接AC. ∵E,F,G,H分别为各边的中点, ∴EF∥HG,EF=HG. ∴EF∥AC,EF=0.5AC.HG∥AC,HG=0.5AC. ∴四边形EFGH是平行四边形. 【归纳】顺次连结四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形. 14 1.如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点． 求证：四边形EFGH为平行四边形. 证明：如图，连接BD. ∵E,F,G,H分别为四边形ABCD四边之中点. ∴EH是△ABD的中位线,FG是△BCD的中位线， ∴EH∥BD且EH=0.5BD,FG∥BD且FG=0.5BD， ∴EH∥FG且EH=FG, ∴四边形EFGH为平行四边形. 15 例 6 求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形. 已知：如图，在四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点. 求证：四边形 EFGH 是平行四边形. A B C D E F G H 分析：题目中给出了四边形各边中点，可以连接四边形的一条对角线，利用三角形中位线定理证明要证的四边形一组对边平行且相等，从而证明它是平行四边形. A B C D E F G H 证明：连接 AC . ∵AH = HD，CG = GD， ∴HG∥AC，且 HG = AC . 同理 EF∥AC，且 EF = AC . ∴四边形 EFGH 是平行四边形. ∴ HG EF . 练 习 1. 如图，在△ABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点. 以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？ 为什么它们是平行四边形？ 解：如图，连接 DE，EF，FD. 能在图中画出 3 个平行四边形， 分别是▱BEFD，▱DECF，▱DEFA. 理由：一组对边平行且相等的四边形 是平行四边形. 【选自教材第65页 练习 第1题】 2. 如图，△ABC 的中线 BD，CE 相交于点 O，且 F，G 分别是 OB，OC 的中点. 求证：四边形 DEFG 是平行四边形. 证明：∵BD，CE 是 △ABC 的中线， ∴D，E 分别是 AC，AB 的中点， ∴DE 是 △ABC 的中位线. ∴DE∥BC，且 DE = BC . ∵F，G 分别是 OB，OC 的中点，∴FG 是 △OBC 的中位线， ∴FG∥BC，且 FG = BC . ∴DE FG . ∴四边形 DEFG 是平行四边形. 【选自教材第65页 练习 第2题】 思维拓展 如图，在四边形ABCD中，AB = CD，M，N， P分别是AD， BC，BD的中点，∠ABD = 20°，∠BDC = 70°，求∠PMN的度数． 解：∵M，N，P分别是AD，BC，BD的中点， ∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线. ∴PM = AB，PN = DC，PM∥AB，PN∥DC. ∵AB = CD，∴PM = PN.∴△PMN是等腰三角形. ∵PM∥AB，PN∥DC， ∴∠MPD =∠ABD = 20°，∠BPN =∠BDC = 70°. ∴∠MPN =∠MPD+(180°−∠NPB) = 130°. ∴∠PMN =(180°−130°)÷ 2 = 25°． 思维拓展 如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD = 12，AC = 16，E，F分别为 AB，CD 的中点，求 EF 的长． G 解：取BC边的中点G，连接EG ， FG． ∵E，F分别为AB，CD的中点， ∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线. 又BD = 12，AC = 16，AC⊥BD， ∴EG = 8，FG = 6，EG⊥FG. ∴ ∴EG∥AC, FG∥BD, C C A B D C O 平行四边形中与周长有关的结论： （1）C△AOB = C△DOC = (AC + BD) + AB (或CD)； （2）C△AOD = C△BOC = (AC + BD) + AD (或BC)； （3）C△AOB － C△BOC = AB － BC ； （4）C△ABC － C△ABD = AC － BD . 4. 在 ▱ ABCD 中，∠A = 45°，AB = 4，AD = 2. 求 ▱ ABCD 的面积. 解：如图，过点 B 作 BE ⊥ AD 于点 E， ∴∠BEA = 90°. ∵∠A = 45°，∴∠ABE = 45°= ∠A . ∵AB = 4，∴易得 BE = AB = . ∴S▱ABCD =AD·BE = 2× = . 解析：由勾股定理得： ， ∵D，E分别为 ， 的中点， ∴ ，故选：C. 练习5 如图，每个小正方形的边长均为1，在 中（其中B，C为网格格点），D，E分别为 ， 的中点，则线段 的长为( ) A. B.2 C. D.3 练习6 如图，A，B，C分别是 的边 ， ， 的中点，连接 ， ， ，若 的面积为2，则 的面积为( ) A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 解析：∵A，B，C分别是 的边 ， ， 的中点， ∴ ， 是 的中位线， ∴ ， ，∴四边形 是平行四边形， ∴ .故选：C. $