数学（重庆卷）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

**基本信息** 2026年中考数学考前最后一卷，以AI科技、云咖产业、国庆阅兵等时代情境为载体，融合四大名著、鸟形尊文创等文化元素，通过规律探究、几何综合、函数应用等梯度题目，考查抽象能力、推理意识与数据观念，适配中考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|相反数、中心对称图形、抽样调查等|AI品牌图标辨析结合图形性质，考查几何直观| |填空题|6/24|概率、圆的性质、新定义“倍半数”|“倍半数”新定义题，培养创新意识| |解答题|9/86|统计分析、二次函数综合、几何探究|24题二次函数与动点最值，25题几何旋转翻折，体现综合应用；国庆阅兵统计题考查数据观念|

2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必 须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 第I卷（请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题4分，共40分) 1[A][B][CI[D] 6 [A][B][C][D] 2 [A][B][c][D] 7 [A][B][c][D] 3[A][B][CI[D] 8 [A][B][c][D] 4[A][B][C][D] 9[A][B][GI[D] 5[A][B][CI[D] 10[A][B][C][D] 二、填空题（每小题4分，共24分) 11. 12. 13. 14. 15. 16. 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分） 17.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) A B C 19(10分) 20.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 22.（10分) 9 7 6 4 E 2 图1 012345678910元 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 北 0 西个东 南 759 B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) D E 0 A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) B D 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考考前最后一卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答： 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成： 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回. 第I卷 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、 D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1.2026的相反数是() C. 1 D.一 1 A.2026 B.-2026 2026 2026 2.一个可预见的A1时代正在到来.下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是 轴对称图形的是( 女%田 3.下列问题中，适合抽样调查的是() A.公司招聘员工，对应聘人员进行面试B.进入高铁站对旅客携带的物品进行安检 C.了解一批笔芯的使用寿命 D.调查你们班同学的视力情况 4.如图，OO为△ABC的外接圆，∠C=50°，则∠AOB的度数为() A.120° B.1009 C.90° D.50° 5.如图，某民族服饰的花边均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成， 第2个图案由7个基本图形组成，第3个图案由10个基本图形组成，.按照这一规律，第8个图案中基本 图形的个数为() 1/8 回学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 第1个 第2个 第3个 A.22 B.25 C.28 D.31 10 6.已知点(m,-2)在反比例函数y=-10的图象上，则m的值为() A.5 B.-5 C.2 D.-2 7.下列四个数中最大的是() A.3.14×10 B.3.14×10° C.6.28×10 D.6.28×10 8.普洱市思茅区是“云咖'主产区，当地通过品种改良和标准化种植提高生咖啡豆亩产量，亩产量从2023年 的95kg增长到2025年的120kg,若设生咖啡豆亩产量的年平均增长率为x,则可列方程为（) A.95(1+2x)=120 B.95(1+x)2=120 C.95(1+x2)=120 D.95(1+x)=120 9.如图，在正方形ABCD中，AB=5,点E在边BC上，连接AE,将线段AE绕点A逆时针旋转90°交CD 延长线于点F,连接EF,连接BD分别交AE,EF于点M,N.若CE=3,则线段MN的长度为() F D M B E A.19V2 B.3V5 C.292 D.39V2 14 2 14 14 l0.己知整式M=a,r+an-x+…+ax+a,其中n,a,a1,a-2,,a,a均为正整数，且 4+4+…+a-1+a.=6.若对任意i≥1(i为整数)，都有-a-≤1，且偶数次项系数之和等于奇数次 项系数之和，下列说法： ①满足条件的整式M中，n的最大值为4： ②当n=3时，满足条件的所有整式M的和为6x3+6x2+6x+6; ③所有满足条件的整式共有7个. 其中正确的个数是() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线 上. 11.《西游记》《水浒传》《三国演义》《红楼梦》是我国的四大名著.慧慧同学随机从中选出一部阅读， 选中《红楼梦》的概率是 12.如图，已知a∥b,将等腰直角三角形ABC按图所示放置.若A=25°，则∠2=一· 6 B 13.若n为正整数，且满足n<V37<n+1,则n= 14.若实数，n同时满足m-2√=3，m-2n=7,则m”的值为 15.如图，己知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,OB=BE.点P是劣弧AD上任意一点（不与点A, D重合)，CP交AB于点M,AP与CD的延长线相交于点P,当∠R=3∠PCD时，则1M BM 16.我们规定，一个四位正整数M=bca(各个数位上的数字互不相等)，若满足a+2b=C+d,则称这 个四位数为倍半数，例如：四位数5164，因为5+2×1=6+4，所以5164是“倍半数.按照这个规定，最 大的“倍半数”是一·一个“倍半数”M=abd,将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数 字调换位，得到-个新的四位数M=cd通，记0=M,0,e()=2,a-西，若 2Q(M)+6F(M)-a+c被7除余2，且M能被9整除，则满足条件的“倍半数”M为 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步 骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上， x+3<2x① 17.求不等式组： x+1≥x-1②的所有整数解。 3 2 318 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.小红学习了菱形和尺规作图后，进行了拓展性研究，她发现了菱形的一种作图方法，以下是她的探究 过程，请完成其中的作图和推理填空： 4 (I)用尺规完成以下作图：作∠BAC的平分线交BC于点D,作线段AD的垂直平分线分别交AB,AC,AD 于点E,F,G,连接DE,DF, (2)已知：在△ABC中，AD平分∠BAC,EF垂直平分AD.求证：四边形AEDF是菱形. 证明：EF垂直平分AD, .∴，∠AGE=∠AGF=90° EA=ED,① ,AD平分∠BAC, ② 在△AEG和△AFG中， 「∠AGE=∠AGF, ③ ∠EAG=∠FAG ∴.△AEG≌△AFG(ASA ∴.④ .AE=ED=DF=AF. ,四边形AEDF是菱形 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理 步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上 19.在观看了2025年国庆大阅兵后，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九 年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用x表示 学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A.90≤x≤100，B.80≤x<90,C.70≤x<80, D.60≤x<70,得分在90分及以上为优秀)，下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66,67,71,81,83,85,85,86,89,90,90,93,93,93,95,96， 98,99,100,100. 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：82,83,85,86,87,88. 4/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 九年级抽取学生竞 赛成绩扇形统计图 D A 45% B mo 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 a 90 10.3 九年级 88 94 b 11.0 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的a= ,b= ,m= (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出 一条理由即可) (3)若该校八年级有800名，九年级有700名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计 该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 20.先化简，再求值： ser-(-+-任 其中x=2cos60°--2， 518 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 21.重庆中国三峡博物馆围绕馆藏的战国青铜鸟形尊文物，开发了多款兼具文化内涵与实用性的文创商 品.该系列文创商品将鸟形尊憨态可掬的形态进行卡通化复原，其造型可爱、颜色醒目，深受年轻人喜爱.其 中鸟形尊冰箱贴和鸟形尊纸艺书签销售火爆.已知一个鸟形尊冰箱贴的售价比一个鸟形尊纸艺书签售价高 16元，且购买三个鸟形尊冰箱贴和两个鸟形尊纸艺书签共需108元， ()求一个鸟形尊冰箱贴的售价和一个鸟形尊纸艺书签的售价各是多少元？ (2)五一节促销期间，鸟形尊冰箱贴每个降价2元，鸟形尊纸艺书签每个降价元，促销后鸟形尊冰箱贴总 销售额为3300元，鸟形尊纸艺书签总销售额为900元，且鸟形尊冰箱贴的销量比纸艺书签多50%，求的 值. 22.如图1，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=12,D为BC中点，连接AD,AD=9,动点E以每秒2个单位 长度的速度从点B出发，沿折线B→D→A方向运动，动点F以每秒”个单位长度的速度从点A出发，沿 折线AC→D→A方向运动，点E,F同时出发，到点A时停止运动，设运动时间为x秒，点E到AB的 距离为y1,△ACD的周长与点F的运动路程之比为y2· 10 9 7 6 5 4 3 2 图1 012345678910 (I)请直接写出1，y2关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数y,y2的图象，并写出函数的一条性质： (3)结合函数图象，请直接写出y≤y,时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过02）· 618 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 23.如图，港口B位于港口A的正东方向相距20√3海里处，D岛位于港口B的正北方向，且位于港口A的 北偏东30°方向上，C岛位于港口B的北偏东75°方向，且位于D岛的南偏东60°方向 上.（2≈1.414，V5≈1.732 北 西个东 60 南 30 759 A B (I)求C、D两岛之间的距离.（保留根号） (②)甲船从港口A出发沿A→D匀速直线行驶，同时乙船从港口B出发沿B→C匀速直线行驶，已知甲、乙 两船的速度之比为2：1，当甲船到港口B的距离是乙船到港口B的距离的3倍时，求乙船行驶了多少海里？ (结果精确到小数点后一位) 24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-4,0),B两点，与y轴交于点 C(0,-2),抛物线的对称轴是直线x=-3 2 D (1)求该抛物线的解析式： (2)点P是直线AC下方抛物线上的一动点，连接OP与直线AC交于点Q,点D,E为抛物线对称轴上的动 PO 点（点D在点E的上方），且DE=2,连接DP,AE.当 00 取得最大值时，求点P的坐标及PD+DE+AE 的最小值： g在(2)中器取得最大值的条件下，将抛物线=m+b+ca20沿射线AC平移5个单位长度得到 00 新抛物线y',点G为点A的对应点，连接PG,PC,BG.点M为新抛物线y'上的动点.若 ∠GBM=∠BAG+∠CPG-45°，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其 中一种情况的过程。 718 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 25.在△ABC中，AB=AC,点D,E为△ABC所在平面内的点，且∠DAB=∠BAC. 图1 图2 图3 (I)如图1，若点D在线段BC上，点E为△ABC内一点，AE=AF,∠EAD=∠FAD,连接CE,BF,若 ∠ECB+∠FBC=1O0°，求∠EAD的度数： (2)如图2，若点D在线段AB右侧，点E为△ABC内一点，且∠DAE=60°，连接BD,CD,此时点C,E, D三点共线，已知∠ACB+∠ADB=90°，试猜想线段AE,AD,BD之间的数量关系并证明： (3)如图3，若点D在线段AB右侧，点E为AB中点，∠DAE=30°，连接DE并延长恰好经过点C,作点E 关于AD的对称点F,连接DF,O为直线AB上一动点，连接OD,OF,将△QDF沿OD翻折至△ABC 所在平面，点F的对应点为P,连接CP,M是CP中点，连接AM,当AM取最大值时，在CP左侧作任 意等边△MNK,连接PW,CK,当PN+CK的值最小，且等边△MK周长最小时，直接写出M的值. MN 8/8 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成： 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷 1、 选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．2026的相反数是（   ） A．2026 B． C． D． 2．一个可预见的AI时代正在到来．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列问题中，适合抽样调查的是（    ） A．公司招聘员工，对应聘人员进行面试 B．进入高铁站对旅客携带的物品进行安检 C．了解一批笔芯的使用寿命 D．调查你们班同学的视力情况 4．如图，为△ABC的外接圆，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，某民族服饰的花边均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成，第3个图案由10个基本图形组成，…按照这一规律，第8个图案中基本图形的个数为（   ） A．22 B．25 C．28 D．31 6．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 7．下列四个数中最大的是（   ） A． B． C． D． 8．普洱市思茅区是“云咖”主产区，当地通过品种改良和标准化种植提高生咖啡豆亩产量，亩产量从年的增长到年的．若设生咖啡豆亩产量的年平均增长率为，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，，点E在边上，连接，将线段绕点A逆时针旋转交延长线于点F，连接，连接分别交，于点M，N．若，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 10．已知整式，其中n，，，，…，，均为正整数，且．若对任意（i为整数），都有，且偶数次项系数之和等于奇数次项系数之和，下列说法： ①满足条件的整式M中，n的最大值为4； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③所有满足条件的整式共有7个． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 第Ⅱ卷 2、 填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．《西游记》《水浒传》《三国演义》《红楼梦》是我国的四大名著．慧慧同学随机从中选出一部阅读，选中《红楼梦》的概率是__________． 12．如图，已知，将等腰直角三角形按图所示放置．若，则______． 13．若为正整数，且满足，则__________． 14．若实数m，n同时满足，，则的值为________． 15．如图，已知是的直径，弦于点，．点是劣弧上任意一点（不与点，重合），交于点，与的延长线相交于点，当时，则_____． 16．我们规定，一个四位正整数（各个数位上的数字互不相等），若满足，则称这个四位数为“倍半数”，例如：四位数，因为，所以是“倍半数”．按照这个规定，最大的“倍半数”是______．一个“倍半数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数，记，，若被除余，且能被整除，则满足条件的“倍半数”为______． 3、 解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．求不等式组：的所有整数解． 18．小红学习了菱形和尺规作图后，进行了拓展性研究，她发现了菱形的一种作图方法，以下是她的探究过程，请完成其中的作图和推理填空： (1)用尺规完成以下作图：作的平分线交于点，作线段的垂直平分线分别交，，于点，，，连接，． (2)已知：在△ABC中，平分，垂直平分．求证：四边形是菱形． 证明：∵垂直平分， ∴ ，①________． ∵平分， ∴②________． 在和中， ∴． ∴④________． ∴． ∴四边形是菱形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．在观看了2025年国庆大阅兵后，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：82，83，85，86，87，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 90 10.3 九年级 88 94 11.0 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的_________，_________，_________； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校八年级有800名，九年级有700名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 20．先化简，再求值： ，其中． 21．重庆中国三峡博物馆围绕馆藏的战国青铜鸟形尊文物，开发了多款兼具文化内涵与实用性的文创商品．该系列文创商品将鸟形尊憨态可掬的形态进行卡通化复原，其造型可爱、颜色醒目，深受年轻人喜爱．其中鸟形尊冰箱贴和鸟形尊纸艺书签销售火爆．已知一个鸟形尊冰箱贴的售价比一个鸟形尊纸艺书签售价高16元，且购买三个鸟形尊冰箱贴和两个鸟形尊纸艺书签共需108元． (1)求一个鸟形尊冰箱贴的售价和一个鸟形尊纸艺书签的售价各是多少元？ (2)五一节促销期间，鸟形尊冰箱贴每个降价元，鸟形尊纸艺书签每个降价m元，促销后鸟形尊冰箱贴总销售额为3300元，鸟形尊纸艺书签总销售额为900元，且鸟形尊冰箱贴的销量比纸艺书签多，求m的值． 22．如图1，在中，为中点，连接，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，点，同时出发，到点时停止运动，设运动时间为秒，点到的距离为的周长与点的运动路程之比为． (1)请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23．如图，港口位于港口的正东方向相距海里处，岛位于港口的正北方向，且位于港口的北偏东方向上，岛位于港口的北偏东方向，且位于岛的南偏东方向上． (1)求、两岛之间的距离．（保留根号） (2)甲船从港口出发沿匀速直线行驶，同时乙船从港口出发沿匀速直线行驶，已知甲、乙两船的速度之比为2：1，当甲船到港口的距离是乙船到港口的距离的3倍时，求乙船行驶了多少海里？（结果精确到小数点后一位） 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，连接与直线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点D在点E的上方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线平移个单位长度得到新抛物线，点G为点A的对应点，连接，，．点M为新抛物线上的动点．若，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程． 25．在△ABC中，，点，为△ABC所在平面内的点，且． (1)如图1，若点在线段上，点为△ABC内一点，，，连接，，若，求的度数； (2)如图2，若点在线段右侧，点为△ABC内一点，且，连接，，此时点，，三点共线，已知，试猜想线段，，之间的数量关系并证明； (3)如图3，若点在线段右侧，点为中点，，连接并延长恰好经过点，作点关于的对称点，连接，为直线上一动点，连接，，将沿翻折至△ABC所在平面，点的对应点为，连接，是中点，连接，当取最大值时，在左侧作任意等边，连接，，当的值最小，且等边周长最小时，直接写出的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成： 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷 1、 选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．2026的相反数是（   ） A．2026 B． C． D． 2．一个可预见的AI时代正在到来．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列问题中，适合抽样调查的是（    ） A．公司招聘员工，对应聘人员进行面试 B．进入高铁站对旅客携带的物品进行安检 C．了解一批笔芯的使用寿命 D．调查你们班同学的视力情况 4．如图，为△ABC的外接圆，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，某民族服饰的花边均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成，第3个图案由10个基本图形组成，…按照这一规律，第8个图案中基本图形的个数为（   ） A．22 B．25 C．28 D．31 6．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 7．下列四个数中最大的是（   ） A． B． C． D． 8．普洱市思茅区是“云咖”主产区，当地通过品种改良和标准化种植提高生咖啡豆亩产量，亩产量从年的增长到年的．若设生咖啡豆亩产量的年平均增长率为，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，，点E在边上，连接，将线段绕点A逆时针旋转交延长线于点F，连接，连接分别交，于点M，N．若，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 10．已知整式，其中n，，，，…，，均为正整数，且．若对任意（i为整数），都有，且偶数次项系数之和等于奇数次项系数之和，下列说法： ①满足条件的整式M中，n的最大值为4； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③所有满足条件的整式共有7个． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 第Ⅱ卷 2、 填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．《西游记》《水浒传》《三国演义》《红楼梦》是我国的四大名著．慧慧同学随机从中选出一部阅读，选中《红楼梦》的概率是__________． 12．如图，已知，将等腰直角三角形按图所示放置．若，则______． 13．若为正整数，且满足，则__________． 14．若实数m，n同时满足，，则的值为________． 15．如图，已知是的直径，弦于点，．点是劣弧上任意一点（不与点，重合），交于点，与的延长线相交于点，当时，则_____． 16．我们规定，一个四位正整数（各个数位上的数字互不相等），若满足，则称这个四位数为“倍半数”，例如：四位数，因为，所以是“倍半数”．按照这个规定，最大的“倍半数”是______．一个“倍半数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数，记，，若被除余，且能被整除，则满足条件的“倍半数”为______． 3、 解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．求不等式组：的所有整数解． 18．小红学习了菱形和尺规作图后，进行了拓展性研究，她发现了菱形的一种作图方法，以下是她的探究过程，请完成其中的作图和推理填空： (1)用尺规完成以下作图：作的平分线交于点，作线段的垂直平分线分别交，，于点，，，连接，． (2)已知：在△ABC中，平分，垂直平分．求证：四边形是菱形． 证明：∵垂直平分， ∴ ，①________． ∵平分， ∴②________． 在和中， ∴． ∴④________． ∴． ∴四边形是菱形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．在观看了2025年国庆大阅兵后，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：82，83，85，86，87，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 90 10.3 九年级 88 94 11.0 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的_________，_________，_________； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校八年级有800名，九年级有700名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 20．先化简，再求值： ，其中． 21．重庆中国三峡博物馆围绕馆藏的战国青铜鸟形尊文物，开发了多款兼具文化内涵与实用性的文创商品．该系列文创商品将鸟形尊憨态可掬的形态进行卡通化复原，其造型可爱、颜色醒目，深受年轻人喜爱．其中鸟形尊冰箱贴和鸟形尊纸艺书签销售火爆．已知一个鸟形尊冰箱贴的售价比一个鸟形尊纸艺书签售价高16元，且购买三个鸟形尊冰箱贴和两个鸟形尊纸艺书签共需108元． (1)求一个鸟形尊冰箱贴的售价和一个鸟形尊纸艺书签的售价各是多少元？ (2)五一节促销期间，鸟形尊冰箱贴每个降价元，鸟形尊纸艺书签每个降价m元，促销后鸟形尊冰箱贴总销售额为3300元，鸟形尊纸艺书签总销售额为900元，且鸟形尊冰箱贴的销量比纸艺书签多，求m的值． 22．如图1，在中，为中点，连接，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，点，同时出发，到点时停止运动，设运动时间为秒，点到的距离为的周长与点的运动路程之比为． (1)请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23．如图，港口位于港口的正东方向相距海里处，岛位于港口的正北方向，且位于港口的北偏东方向上，岛位于港口的北偏东方向，且位于岛的南偏东方向上． (1)求、两岛之间的距离．（保留根号） (2)甲船从港口出发沿匀速直线行驶，同时乙船从港口出发沿匀速直线行驶，已知甲、乙两船的速度之比为2：1，当甲船到港口的距离是乙船到港口的距离的3倍时，求乙船行驶了多少海里？（结果精确到小数点后一位） 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，连接与直线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点D在点E的上方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线平移个单位长度得到新抛物线，点G为点A的对应点，连接，，．点M为新抛物线上的动点．若，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程． 25．在△ABC中，，点，为△ABC所在平面内的点，且． (1)如图1，若点在线段上，点为△ABC内一点，，，连接，，若，求的度数； (2)如图2，若点在线段右侧，点为△ABC内一点，且，连接，，此时点，，三点共线，已知，试猜想线段，，之间的数量关系并证明； (3)如图3，若点在线段右侧，点为中点，，连接并延长恰好经过点，作点关于的对称点，连接，为直线上一动点，连接，，将沿翻折至△ABC所在平面，点的对应点为，连接，是中点，连接，当取最大值时，在左侧作任意等边，连接，，当的值最小，且等边周长最小时，直接写出的值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．2026的相反数是（   ） A．2026 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用只有符号不同的两个数互为相反数解答即可． 【详解】解：的相反数是符号相反的． 2．一个可预见的AI时代正在到来．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形；中心对称图形是指绕某一点旋转后能够与自身重合的图形．根据定义对各选项图形进行判断即可． 【详解】解：A、该图形绕中心旋转后能与自身重合，是中心对称图形；找不到任何一条直线使折叠后两旁部分重合，不是轴对称图形，故符合题意； B、该图形沿中间竖直直线折叠后两旁的部分能重合，是轴对称图形；绕中心旋转后不能与自身重合，不是中心对称图形，故不符合题意； C、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意； D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意． 3．下列问题中，适合抽样调查的是（    ） A．公司招聘员工，对应聘人员进行面试 B．进入高铁站对旅客携带的物品进行安检 C．了解一批笔芯的使用寿命 D．调查你们班同学的视力情况 【答案】C 【分析】全面调查适用于范围较小、无破坏性、结果要求准确的调查，抽样调查适用于调查具有破坏性、范围过大等不适合全面调查的场景. 【详解】解：∵ 公司招聘员工，需要对应聘人员逐一面试考核，范围小且要求结果准确，适合全面调查，∴A不符合要求； ∵ 高铁站安检需要保障公共安全，必须对每位旅客携带的物品逐一检查，适合全面调查，∴B不符合要求； ∵ 了解一批笔芯的使用寿命，测试使用寿命会破坏笔芯，调查具有破坏性，无法开展全面调查，适合抽样调查，∴C符合要求； ∵ 调查班级同学的视力情况，班级人数少、范围小，适合全面调查，∴D不符合要求. 4．如图，为△ABC的外接圆，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 为△ABC的外接圆，， ∴根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍， ． 5．如图，某民族服饰的花边均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成，第3个图案由10个基本图形组成，…按照这一规律，第8个图案中基本图形的个数为（   ） A．22 B．25 C．28 D．31 【答案】B 【分析】根据前三个图形中基本图形的个数得出第n个图案中基本图形的个数即可解答． 【详解】解：观察发现第n个图案由个基本图形组成， ∴第8个图案中基本图形的个数为． 故选：B． 6．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点坐标代入解析式即可求出的值 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上 ∴， 解得 7．下列四个数中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法的概念以及数的大小比较．熟练掌握科学记数法的概念是解题的关键． 科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的值于小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数绝对值时，是负数． 比较科学记数法表示的数时，先比较10的指数，指数大的数更大；若指数相同，则比较系数． 【详解】解：∵ 选项A和C的指数为，选项B和D的指数为，且， ∴ 最大数在B和D中产生． 又∵ B和D指数相同，比较， ∴ ， 故选D． 8．普洱市思茅区是“云咖”主产区，当地通过品种改良和标准化种植提高生咖啡豆亩产量，亩产量从年的增长到年的．若设生咖啡豆亩产量的年平均增长率为，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意可得． 9．如图，在正方形中，，点E在边上，连接，将线段绕点A逆时针旋转交延长线于点F，连接，连接分别交，于点M，N．若，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转性质证得，从而得到；利用证得，求出与的关系；延长交的延长线于点，利用求出，再利用求出与的关系，最后根据计算即可． 【详解】解： ∵四边形是正方形，， ∴，，，， ∴． ∵， ∴． 由旋转的性质得，， ∵， ∴， ∴． 由题意得， 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 延长交的延长线于点， ∵，即， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得． ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． 10．已知整式，其中n，，，，…，，均为正整数，且．若对任意（i为整数），都有，且偶数次项系数之和等于奇数次项系数之和，下列说法： ①满足条件的整式M中，n的最大值为4； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③所有满足条件的整式共有7个． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】①要使n最大，则各项系数应尽可能小且满足条件，对于②，当时，根据条件确定所有可能的整式M，再求和；③，通过分析系数的取值情况，确定满足条件的整式个数． 【详解】解：①∵各项系数均为正整数，所以最小为1， 若，， ∵偶数次项系数之和等于奇数次项系数之和，且， ∴偶数次项系数之和与奇数次项系数之和都为3． 若各项系数最小为1，要满足，可以构造出，这 所以n的最大值为5，①错误； ②当时，， ∵，偶数次项系数之和等于奇数次项系数之和， ∴偶数次项系数之和与奇数次项系数之和均为3， 满足条件的整式有： ， 和为，②正确； ③当时，， ∵，偶数次项系数之和等于奇数次项系数之和， ∴，此时，有1个； 当时，， ∵，偶数次项系数之和等于奇数次项系数之和， ∴无法构造满足条件的整式； 当时，由②得：满足条件的整式，有4个； 当时，满足条件的整式有：，，有2个， 当时，满足条件的整式有：，有1个， ∴所有满足条件的整式共有个，③错误． 综上所述，正确的有1个． 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11．《西游记》《水浒传》《三国演义》《红楼梦》是我国的四大名著．慧慧同学随机从中选出一部阅读，选中《红楼梦》的概率是__________． 【答案】/0.25 【分析】确定所有等可能的结果总数，以及符合选中《红楼梦》这一条件的结果数，再代入概率公式计算． 【详解】解：由题意可知，随机选一部名著，所有等可能的结果共种，其中选中《红楼梦》的结果共种， 根据概率公式可得选中《红楼梦》的概率为． 12．如图，已知，将等腰直角三角形按图所示放置．若，则______． 【答案】/度 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，再由平行的性质可得，由此求解即可． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ． 13．若为正整数，且满足，则__________． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，通过平方法估算的范围即可． 【详解】解：计算 ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为6． 14．若实数m，n同时满足，，则的值为________． 【答案】 【分析】先将化简为，再分情况求出，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 则，， 当时，，无解； 当时，，解得：，符合题意； 当时，，解得：，与矛盾，故无解； 当时，，无解； 综上，，则． 15．如图，已知是的直径，弦于点，．点是劣弧上任意一点（不与点，重合），交于点，与的延长线相交于点，当时，则_____． 【答案】 【分析】设圆的半径是r，，由，求出，得到，因此，推出，得到，代入有关数据即可求出的长，得到的长，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵弦于点E，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵直径， ∴， ∴， 设圆的半径是r，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 16．我们规定，一个四位正整数（各个数位上的数字互不相等），若满足，则称这个四位数为“倍半数”，例如：四位数，因为，所以是“倍半数”．按照这个规定，最大的“倍半数”是______．一个“倍半数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数，记，，若被除余，且能被整除，则满足条件的“倍半数”为______． 【答案】 【分析】当数为最大的“倍半数”时，千位取最大的，十位取最大的，则，即，然后分别代入即可求解；对于满足条件的，有，，则，， 所以，可得能被整除，又能被整除，可得被整除，由得代入，则能被整除，然后讨论即可求解． 【详解】解：当数为最大的“倍半数”时，千位取最大的，十位取最大的， ∴，即， ∵，，各个数位上的数字互不相等， ∴当时，，此时“倍半数”为； 当时，，此时不存在“倍半数”； 当时，，此时“倍半数”为； 当时，不符合题意； 当时，不符合题意； ∵， ∴按照这个规定，最大的“倍半数”是； 对于满足条件的，有，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵被除余， ∴能被整除， ∵ ， ∴能被整除， ∴或， ∵，各个数位上的数字互不相等， ∴为偶数，即或或或或， ∵能被整除， ∴，即被整除， 由得代入代入，：得， ∴能被整除， （）当时， 当，则， ∴，此时无整数值，使得被整除； 当，则， ∴，此时无整数值，使得被整除； 当，则， ∴，此时无整数值，使得被整除； （）当时， 当，则，不符合题意； 当，则，不符合题意； 当，则， ∴， 当时，使得被整除， ∴，四个数字互不重复，符合所有条件， ∴； 当时，使得被整除， ∴，不符合题意； 当，则，不符合题意； 当，则， ∴， 当时，使得被整除， ∴，不符合题意； 当时，使得被整除， ∴，不符合题意； 当时，使得被整除， ∴，不符合题意； 故满足条件的“倍半数”是． 3、 解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．求不等式组：的所有整数解． 【答案】4、5 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，再确定两个解集的公共部分得到原不等式组的解集，最后找出解集内的所有整数即可． 【详解】解： 由①得； 由②得 ， ∴原不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为、． 18．小红学习了菱形和尺规作图后，进行了拓展性研究，她发现了菱形的一种作图方法，以下是她的探究过程，请完成其中的作图和推理填空： (1)用尺规完成以下作图：作的平分线交于点，作线段的垂直平分线分别交，，于点，，，连接，． (2)已知：在△ABC中，平分，垂直平分．求证：四边形是菱形． 证明：∵垂直平分， ∴ ，①________． ∵平分， ∴②________． 在和中， ∴． ∴④________． ∴． ∴四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【分析】（1）根据尺规作角平分线和线段的垂直平分线的步骤作图即可； （2）先由线段的垂直平分线得到，，再证明，即可求证． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵垂直平分， ∴ ，． ∵平分， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是菱形． 4、 解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．在观看了2025年国庆大阅兵后，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：82，83，85，86，87，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 90 10.3 九年级 88 94 11.0 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的_________，_________，_________； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校八年级有800名，九年级有700名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 【答案】(1)，， (2)八年级学生的知识竞赛成绩更好，理由见解析； (3)估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有755人． 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据中位数、方差的意义求解即可； （3）八、九年级人数分别乘以对应年级样本中优秀人数所占比例，相加即可． 【详解】（1）解：根据数据，八年级20名学生的竞赛成绩中，93出现次数最多， 所以众数， 由题知，九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据有6个， 所以占，则， 根据扇形图可知，竞赛成绩在C、D占，共名学生， 又20名学生竞赛成绩的中位数为从小到大排列第10、11位的平均值， 所以中位数， 故答案为：93；87.5；30． （2）解：八年级学生的知识竞赛成绩更好， 理由：两个年级的平均数相同，八年级的中位数高于九年级，方差小于九年级． （3）解：根据数据，八年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又八年级有800名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）； 九年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又九年级有700名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）； （人）． 答：估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有755人． 20．先化简，再求值： ，其中． 【答案】； 【分析】根据分式的加减乘除运算法则和因式分解，化简即可，再根据特殊角的三角函数值，计算出，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ， 原式． 21．重庆中国三峡博物馆围绕馆藏的战国青铜鸟形尊文物，开发了多款兼具文化内涵与实用性的文创商品．该系列文创商品将鸟形尊憨态可掬的形态进行卡通化复原，其造型可爱、颜色醒目，深受年轻人喜爱．其中鸟形尊冰箱贴和鸟形尊纸艺书签销售火爆．已知一个鸟形尊冰箱贴的售价比一个鸟形尊纸艺书签售价高16元，且购买三个鸟形尊冰箱贴和两个鸟形尊纸艺书签共需108元． (1)求一个鸟形尊冰箱贴的售价和一个鸟形尊纸艺书签的售价各是多少元？ (2)五一节促销期间，鸟形尊冰箱贴每个降价元，鸟形尊纸艺书签每个降价m元，促销后鸟形尊冰箱贴总销售额为3300元，鸟形尊纸艺书签总销售额为900元，且鸟形尊冰箱贴的销量比纸艺书签多，求m的值． 【答案】(1)一个鸟形尊冰箱贴的售价和一个鸟形尊纸艺书签的售价分别是和元 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设一个鸟形尊纸艺书签的售价为元，则一个鸟形尊冰箱贴的售价为元，依题意，列式，解得，即可作答． （2）先得鸟形尊冰箱贴每个元，鸟形尊纸艺书签每个元，依题意，，解得，最后验根，即可作答． 【详解】（1）解：设一个鸟形尊纸艺书签的售价为元， ∵一个鸟形尊冰箱贴的售价比一个鸟形尊纸艺书签售价高16元， ∴一个鸟形尊冰箱贴的售价为元， ∴， 解得， ∴（元）， ∴一个鸟形尊冰箱贴的售价和一个鸟形尊纸艺书签的售价分别是和元； （2）解：由（1）得一个鸟形尊冰箱贴的售价和一个鸟形尊纸艺书签的售价分别是和元； 则五一节促销期间，鸟形尊冰箱贴每个元，鸟形尊纸艺书签每个元， 依题意， 整理得 ∴， 经检验：是原分式方程的解， ∴． 22．如图1，在中，为中点，连接，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，点，同时出发，到点时停止运动，设运动时间为秒，点到的距离为的周长与点的运动路程之比为． (1)请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了动点函数图象，解直角三角形，一次函数和反比例函数综合，画函数图象，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （1）根据题意得出，，，的周长为，进而分段列出函数关系式，即可求解； （2）根据（1）中函数解析式，画出函数图象，根据函数图象写出函数的一条性质； （3）根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，为中点， ∴，， ∴，的周长为 动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动， ∴当时，点在上， 当时，点在上， ∴ ∴ ∵动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，点的运动路程为 ∴ ∴ （2）解：如图所示， 函数的一条性质：当时函数取得最大值为 （3）根据函数图象可得时的取值范围为或 23．如图，港口位于港口的正东方向相距海里处，岛位于港口的正北方向，且位于港口的北偏东方向上，岛位于港口的北偏东方向，且位于岛的南偏东方向上． (1)求、两岛之间的距离．（保留根号） (2)甲船从港口出发沿匀速直线行驶，同时乙船从港口出发沿匀速直线行驶，已知甲、乙两船的速度之比为2：1，当甲船到港口的距离是乙船到港口的距离的3倍时，求乙船行驶了多少海里？（结果精确到小数点后一位） 【答案】(1)海里 (2)乙船行驶了约10.0海里． 【分析】（1）先求出，再过点B作于点E，构建，求解即可； （2）先求出，设乙船行驶了海里时，甲船行驶到了点P，则，过P作于H，根据列方程求解，再验证甲是否还在上即可． 【详解】（1）解：根据题意，港口B位于港口A的正东方向，D岛位于港口B的正北方向， ∴是一个直角三角形，且，， 在中，已知海里， （海里），（海里）， ∵，， ∴， 过点B作于点E， 则在中，，，海里， ∴（海里），（海里）， 在中：， ∵，且，所以是等腰直角三角形， ∴海里 ∴（海里）， 答：C、D两岛之间的距离为海里． （2）解：由（1）得在，海里， 则（海里）， 设乙船行驶了海里时，甲船行驶到了点P，则海里， 过P作于H， 在中，，斜边海里， ∴海里，海里， ∵海里， ∴， 在中，甲船到B的距离， 即， 化简得， 解得， ∵距离，舍去负值，则 ， ， 精确到小数点后一位：， 甲行驶距离， ， 甲还在上，符合题意， 答：乙船行驶了约10.0海里． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，连接与直线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点D在点E的上方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线平移个单位长度得到新抛物线，点G为点A的对应点，连接，，．点M为新抛物线上的动点．若，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）根据对称性求出点坐标，写出两点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，作轴交于点，证明，得到，得到当最大时，最大，求出点坐标，连接，对称性得到，将点向上平移2个单位得到点，连接，进而得到，推出，得到当三点共线时的值最小，为的长，进而得到的值最小，进行求解即可； （3）易得，进而得到抛物线沿着射线方向移动个单位长度，等同于抛物线先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到新的抛物线，进而求出新的抛物线的解析式，推出，以点为顶点，为直角边在的上方和下方构造等腰直角三角形，确定第三个顶点的坐标，进而求出点与第三个顶点所形成的直线的解析式，联立直线解析式和新的抛物线的解析式，求出点的坐标即可. 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴抛物线的解析式可列为， 把，代入，得，解得， ∴； （2）解：∵，， ∴设直线的解析式为，把，代入，得， 解得， ∴， 作轴交于点，则， 设，则， ∴， ∴当时，的值最大，此时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， 故当时，最大， 连接，将点向上平移2个单位得到点，连接，则，， ∵在对称轴上，且， ∴轴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴当的值最小时，的值最小， ∵， ∴当三点共线时的值最小，为的长， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵将抛物线沿射线平移个单位长度得到新抛物线， ∴将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到新的抛物线， ∵， ∴， ∵点为点的对应点， ∴，即， ∵，， ∴轴，，， ∴， ∴， 作，则轴，， ∴， ∴， 以点为顶点，为直角边在的上方构造等腰直角三角形，过点作轴，于点，于点，则，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入，得， 解得， ∴， ∵， ∴点为直线与抛物线的交点， 联立，解得或（舍去）； ∴； 当以点为顶点，为直角边在的下方构造等腰直角三角形时， 同理可得，直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）； ∴； 综上：或． 25．在△ABC中，，点，为△ABC所在平面内的点，且． (1)如图1，若点在线段上，点为△ABC内一点，，，连接，，若，求的度数； (2)如图2，若点在线段右侧，点为△ABC内一点，且，连接，，此时点，，三点共线，已知，试猜想线段，，之间的数量关系并证明； (3)如图3，若点在线段右侧，点为中点，，连接并延长恰好经过点，作点关于的对称点，连接，为直线上一动点，连接，，将沿翻折至△ABC所在平面，点的对应点为，连接，是中点，连接，当取最大值时，在左侧作任意等边，连接，，当的值最小，且等边周长最小时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）先根据已知证明得出，根据可得，进而可得，根据，即可求解； （2）在上截取，连接，延长至，使得，连接，则是等边三角形，根据已知条件证明，得出是等边三角形，再证明得出，，进而证明则，得出，即可得出，根据，即可得证； （3）根据题意可得是等边三角形，设，得出，结合题意可得点在以为圆心，为半径的圆上运动，取的中点，连接，,得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，当在的延长线上时，取最大值，最大值为，以为边在的左侧作等边三角形，连接，证明得出，当共线时，取得最小值，当时，取得最小值，此时等边周长最小时，过点作于点，求得的长，证明得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵，即 ∴， ∴ ∴ （2）， 证明：如图，在上截取，连接，延长至，使得，连接， ∵， ∴ ∴ 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴ 又∵ ∴ 即 ∵ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴，则， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ （3）∵，，点为中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵连接并延长恰好经过点，点为中点， ∴， 设， ∴ ∵点是点关于的对称点 ∴， ∵将沿翻折至所在平面，点的对应点为， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， 取的中点，连接，, ∴， 又∵是中点， ∴ ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当在的延长线上时，取最大值，， 如图，以为边在的左侧作等边三角形，连接， ∵，是等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当共线时，取得最小值，当时，取得最小值，此时等边周长最小时，如图所示， 过点作于点， ∵，， ∴ 在中，， ∴ 在中，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵是的中点， 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ / 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考考前最后一卷 数学·参考答案 第I卷 一、 选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C B A D B B 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分) 11. 4025 12.70°/70度 13.6 14. 15.√5 16.9187 8046 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分） x+3<2x① 17.解： x+1>x-1② 3 2 由①得x>3; 2分 由②得x≤5,4分 :.原不等式组的解集为3<x≤5， 6分 .不等式组的整数解为4、5. .8分 18.(1)解：如图，即为所求； (2)证明：：EF垂直平分AD, .∠AGE=∠AGF=90° EA=ED,DF=AF.5分 :AD平分∠BAC, LEAG=LFAG.6分 在△AEG和△AFG中， 1/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∠AGE=∠AGF, AG=AG 7分 ∠EAG=∠FAG, .△AEG≌△AFG(ASA). .AE=AF.… 8分 .AE ED DF AF. .四边形AEDF是菱形. 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分) 19.(1)解：根据数据，八年级20名学生的竞赛成绩中，93出现次数最多， 所以众数a=93,1分 由题知，九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据有6个， 所以古之00%子30%，则m30,2分 根据扇形图可知，竞赛成绩在C、D占1-30%-45%=25%，共20×25%=5名学生， 又20名学生竞赛成绩的中位数为从小到大排列第10、11位的平均值， 所以中位数b87+88三87.5,3分 2 故答案为：93；87.5；30. (2)解：八年级学生的知识竞赛成绩更好， 理由：两个年级的平均数相同，八年级的中位数高于九年级，方差小于九年级。…6分 3解：根据数据，八年级学生知识竞赛成绩达到优秀占x100%=5 又八年级有800名，所以知识竞赛成绩达到优秀有800×55%=440（人）： 九年级学生知识竞赛成绩达到优秀占45%， 又九年级有700名，所以知识竞赛成绩达到优秀有700×45%=315（人）： 440+315=755（人). 答：估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有755人.10分 20.解：原式=3x-1x-x-1+x+2x-22(x-1-3x （x-1)1 x(x-1 2分 =-3x+1+x+2(x-2.xx-1) (x-102 -x-2 ..3分 2/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =-3x+1-xr-2) x-1 4分 -3xx-+x-1_xx-2 x-1x-1x-1 5分 =-3r2+3x+x-1-x2+2x x-1 -4x2+6x-1 6分 x-1 x=2os60-2=2×}2=-1 8分 原式=4×-+6×-1-111 -1-1 2 10分 21.(1)解：设一个鸟形尊纸艺书签的售价为x元， :一个鸟形尊冰箱贴的售价比一个鸟形尊纸艺书签售价高16元， .一个鸟形尊冰箱贴的售价为x+16)元， 3x+16）+2x=108,32分 解得x=12,4分 .16+12=28(元)， 一个鸟形尊冰箱贴的售价和一个鸟形尊纸艺书签的售价分别是28和12元；5分 (2)解：由(1)得一个鸟形尊冰箱贴的售价和一个鸟形尊纸艺书签的售价分别是28和12元： 则五一节促销期间，鸟形尊冰箱贴每个(28-2m)元，鸟形尊纸艺书签每个12-m)元， 依题意， 3300900 ×1+50%）. 28-2m12-m 7分 119 整理得 4-m12-m m=3,8分 经检验：m=3是原分式方程的解， 9分 .m=3. 10分 22.(1)解：：在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=12,D为BC中点，AD=9 .BC=2AD=18,AD =BD=9, :mD8=n8C是-子，s4CD的周张为C+0D+4n:AC+8:12+18-0 动点E以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿折线B→D→A方向运动， 当0<r号时，点E在D上，y=ERsin B-子x23 4 3 3/11 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当9≤x<9时，点E在AD上，AE=AD+DB-2x=18-2x y=EAsinB=218-2对= 4 x+12 3 40 9 30<r< 2 2分 4 9 、x+12 ≤x≤9 2 10 :动点F以每秒 3 个单位长度的速度从点A出发，沿折线A→C→DA方向运动，点F的运动路程为 309 :=10 =y0<X⑨2 (2)解：如图所示， 10 9 8 7 6 5 6分 3 2 012345678910x 函数的一条性质：当r=4.5时函数取得最大值为68分 (3)根据函数图象可得y1≤y2时x的取值范围为0<x≤2.6或8.2≤x≤910分 23.(1)解：根据题意，港口B位于港口A的正东方向，D岛位于港口B的正北方向， .△ABD是一个直角三角形，且ABD90,∠DAB=90°-30°=60°， 在Rt△ABD中，已知AB=20√3海里，∠DAB=60 BD=AB.tan60°=20V5×√5=60（海里），AD=2AB=40V5(海里)， :∠DBC=75°，∠BDC=60°， .∠BCD=180°-∠DBC-∠BDC=180°-75°-60°=45°， 4/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 过点B作BE⊥CD于点E, 北 D 西个东 60 南 30 则在Rt△BDE中，∠BDE=60°，∠DBE=30°，BD=60海里， :DE=BDxc0s60°=60x)-30(海里)，BE=BD×5in60°=60x5-30N5(海里. 2 在RtaBCE中：∠CBE=∠DBC-∠DBE=75°-30°=45°， :∠BEC=90°，且∠CBE=45°，所以△BCE是等腰直角三角形， .CE=BE=30V3海里 CD=DE+CE=30+30V5(海里)， 答：C、D两岛之间的距离为30+30V3海里.… 4分 (2)解：由(1)得在RtABCE,CE=BE=30V3海里， 则BC=VBE2+CE2=V305°+(305°=V2700+2700=5400=30V6(海里)， 设乙船行驶了x海里时，甲船行驶到了点P,则AP=2x海里， 过P作PH⊥AB于H, 北 D 西个东 60 南 301 75 A HB 在Rt&AHP中，∠PAH=60°，斜边AP=2x海里， AH=x海里，PH=V3x海里， :AB=20V3海里， :HB=205-x, 在RtePHB中，甲船到B的距离PB2=PH2+HB2, 即(3x2=(V3x)+203-x, 5/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 化简得x2+8V3x-240=0, 解得x=-8V5±52-8V524W5.-4N5士122， 2 2 :距离x>0,舍去负值，则x=12√2-4√万 x≈16.968-6.928， x≈10.04， 精确到小数点后一位：x≈10.0， 甲行驶距离2x≈20.0， AD=40V3≈40×1.732=69.28， 甲还在AD上，符合题意， 答：乙船行驶了约10.0海里。10分 24.(1)解：：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-4,0),B两点，与y轴交于点C(0,-2),抛物线 的对称轴是直线x=-3 1 B(1,0), ∴.抛物线的解析式可列为y=a(x+4)(x-1), 把c0,-2，代入，得-4a=-2,解得a=) +4x-)+32: 2 2分 (2)解：：A-4,0,C(0,-2), :.设直线AC的解析式为y=kc-2,把A-4,0,代入，得-4k-2=0, 解得女=分 1 y=2-2 作PH⊥x轴交AC于点H,则PH∥OC, 设P2+-小期-2小 1 2 :PH--Im m- 2-m2-3m+2= 2 2 子5-2mm+2+23分 6/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :当m=-2时，PH的值最大，此时)m2+3m-2=×-2}2+3x-2)-2=-3, 3 2 2 2 P(-2,-3）,5分 PH∥OC, .△PHQ∽aOCQ, PO PHPH 000c=2, .当PH最大时， P№最大， 00 故当P(-2,-3)时， 最大， OO 连接BE,将点B向上平移2个单位得到点K,连接DK,PK,则AE=BE,BK=2,K1,2), :D,E在对称轴上，且DE=2, :.DE∥BK∥y轴，BK=DE, :.四边形DEBK为平行四边形， :BE =DK, .AE DK, .AE +DE+PD =2+DK +PD, :当DK+PD的值最小时，AE+DE+PD的值最小， .DK+PD≥PK, 当P,D,K三点共线时AE+PD的值最小，为PK的长， ·AE+PD的最小值为PK=V-2-12+(-3-22=V34, AE+DE+PD的最小值为2+V34;7分 B (3)解：A-4,0),C(0,-2), 7/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .0A=4,0C=2, tan∠OAC= 0C21 0A42' :将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)沿射线AC平移√5个单位长度得到新抛物线y, ∴.将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到新的抛物线y, 2 2 点G为点A的对应点， .G-4+2,0-1,即G-2,-1, :P(-2,-3),C(0,-2), PG1x轴，PC=V22+3-22=V5,CG=V2+(2-=V5, .CG=PC, i∠CrG=∠CGP-(180-∠PcG=-0-∠PcG, 作CN⊥PG,则cN∥x轴，∠GCN=∠GCP, ∠BAC=∠ACN=∠PCG 2 GBM-ZBAG+∠CPG-45=)∠PCG+90-7∠PCG-45=45 以点G为顶点，BG为直角边在BG的上方构造等腰直角三角形BGH,过点G作IJ∥x轴，BI⊥IW于点I, HJ⊥IJ于点J,则BG=GH,∠BIG=∠GJH=∠BGH=90°，BI=1,GI=3,∠GBH=45°， ∠BG1=∠GHJ=90°-∠HGJ, .△BIG≌△GJH(AAS, .GJ=BI =1,HJ=IG=3, H-3,2, -3t+n=2 设直线BH的解析式为y=x+n,把H(-3,2),B(1,0)代入，得 t+n=0 8/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1 t= 解得 2 1 m=2 y= 1,1 -x+ 2 21 :∠GBM=45°=∠GBH, .点M为直线y= 1x+1与抛物线的交点， 2 2 11 y= 2+2 x=-3x=3 联立 y=2 或 y=-1 舍去 .M(-3,2): 当以点G为顶点，BG为直角边在BG的下方构造等腰直角三角形BGL时， 同理可得L(-1,-4),直线BL的解析式为y=2x-2, y=2x-2 .5V41 联立 -皮- -+ y=3-√41y=3+V41 袋L:w或目-网 l0分 HM) 1 25.(1)解：∠EAD=∠FAD,∠DAE= ∠BAC .∠EAF=LBAC .∠CAE=∠BAF 9/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 又：AC=AB,AE=AF .△EAC≌△FAB(SAS .∠FBA=∠ECA :∠ECB+∠FBC=100°，即LACB-∠ACE+∠ABC+∠FBA=I00° .∠ACB+∠ABC=100°， .∠BAC=80 1 LEAD=万∠BAC=40°3分 (2)AD=2AE+BD, 证明：如图，在AD上截取DG=BD,连接BG,延长CA至H,使得AH=AB,连接BH,DH, B E A 图2 :LDAE=60°，∠DME=2 ∠BAC .∠ABC=120 .∠BAH=60° 又：AH=AB, .△ABH是等边三角形， ∠AHB=∠ABH=60°，BA=BH, AB=AC AH, .∠ACB=∠ABC,∠ABH=∠AHB 又：∠ACB+∠ABC+∠ABH+∠AHB=180 :.∠ABC+∠ABH=∠ACB+∠AHB==X180°=90° 2 即∠HBC=90° .∠AHB=60° .∠ACB=30°， :∠ACB+∠ADB=90° 10/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∠ADB=60 DG=BD, .△BDG是等边三角形， .∠GBD=∠BGD=60°，则∠AGB=120°， ∴.LABG=∠HBD=60°-∠GBH .△ABG≌△HBD(SAS .∠BDH=∠BGA=120°，AG=DH .∠ADH=∠BDH-∠ADB=120°-60°=60 .∠ADH=∠EAD=60° .AE∥HD △CAE∽△CHD 能成 AEAC1 .HD=2AE, .AG=2AE, .AD=AG+GD=AG+BD=2AE+BD 7分 (3) MN 13 …10分 AM 10 11/112026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ■▣■■。。■。。。■。■=▣。▣=▣。■=。■==■■▣■▣▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[1【][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1[A][B][C][D] 5.[AJ[B][C1[D1 9.[A1[BJ[C1[D] 2[AJ[B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.(AJ[B1[C][D1 3.AJ[B1[C1[D1 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8.A][B][C1[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共24分） 11 12. 13. 14 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共个小题，每小题8分，共16分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(8分) 18.(8分) A B C 19.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(10分) 21.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) 迕 =1 c-.--- 9876 D F E 54321 B 图1 012345678910x 23.(10分) 北 D 西个东 60 南 309 B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) E A A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) B B D 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16．________ ________ 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分） 17．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） 19（10分） 20．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 选择题填涂样例： 正确填涂 4,保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂 [×][][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题4分，共40分） 1.Al[BIICIDI 5.Al[BIICI[D 9AIIBIICIIDI 2.IAIIBIICJIDI 6.1A]IBIICIIDI 10.[AJIB]ICIID] 3.[AlIBIICIIDI 7.AIIBIICI[DI 4.A1[B1[CI[D] 8.1A]IB]IC]ID] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 12. 13. 14. 15. 6 和晒口h脂山你+n:m么忙山F阳宀后从体内干效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本天邀共个小邀，母小邀8分，共16分.群合应与西乂子况明，址明过程叱演算步骤) 17.(8分) 18.(8分) A B 19.10分) 请在结题铭窑容题枢蜮，竹踏出黑鱼集摇猊框限或你载南溪无效！ 20.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) C 098765432 F E n 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) y个 A B B O 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) B B D E A 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！: 2026年中考考前最后一卷 数学 ·: (考试时间：120分钟试卷满分：150分) : 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 斯 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成： 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回. 第I卷 : 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、 : D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑. 1.2026的相反数是() 1 1 A.2026 B.-2026 C. D.- 2026 2026 2. 一个可预见的AI时代正在到来.下列是世界著名人工智能品牌公司的图标， 其中是中心对称图形但不 : 是轴对称图形的是() : : 3.下列问题中，适合抽样调查的是() A.公司招聘员工，对应聘人员进行面试B.进入高铁站对旅客携带的物品进行安检 C.了解一批笔芯的使用寿命 D.调查你们班同学的视力情况 : 4.如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠C=50°，则∠AOB的度数为() : : O : A.120° B.100 C.909 D.50 5.如图，某民族服饰的花边均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组 : 成，第2个图案由7个基本图形组成，第3个图案由10个基本图形组成，按照这一规律，第8个图案中 ·: 基本图形的个数为() 第1个 第2个 第3个 A.22 B.25 C.28 D.31 : 试题第1页（共6页） ⊙学科网·学易金卷做赶德：就限彩是 6.已知点(m-2)在反比例函数y=-10的图象上，则m的值为（) A.5 B.-5 C.2 D.-2 7.下列四个数中最大的是() A.3.14×10 B.3.14×10 C.6.28×10 D.6.28×10 8.普洱市思茅区是“云咖”主产区，当地通过品种改良和标准化种植提高生咖啡豆亩产量，亩产量从2023年 的95kg增长到2025年的120kg.若设生咖啡豆亩产量的年平均增长率为x,则可列方程为() A.95(1+2x)=120 B.95(1+x)2=120 C.95(1+x2)=120 D.95(1+x)=120 9.如图，在正方形ABCD中，AB=5,点E在边BC上，连接AE,将线段AE绕点A逆时针旋转90°交CD 延长线于点F,连接EF,连接BD分别交AE,EF于点M,N.若CE=3,则线段MN的长度为() 4. 19V2 8.3V2 c.29V2 0.392 14 2 14 14 10.已知整式M=a,+ax1+…+ax+a,其中n,a,a1,0-2,,a,a均为正整数，且 4+4+…+a-1+a.=6.若对任意i≥1(i为整数)，都有a-4-≤1，且偶数次项系数之和等于奇数次项 系数之和，下列说法： ①满足条件的整式M中，n的最大值为4； ②当n=3时，满足条件的所有整式M的和为6x3+6x2+6.x+6; ③所有满足条件的整式共有7个. 其中正确的个数是() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线 上. 11.《西游记》《水浒传》《三国演义》《红楼梦》是我国的四大名著.慧慧同学随机从中选出一部阅读，选 中《红楼梦》的概率是 12.如图，已知a∥b,将等腰直角三角形ABC按图所示放置.若∠1=25°，则∠2=一， b 试题第2页（共6页） 可学科网·学易金卷做将卷：限是鲁普 13.若n为正整数，且满足n<√37<n+1,则n= 14.若实数，n同时满足m-2√=3，m-2n=7,则m”的值为」 15.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,OE=BE,点P是劣弧AD上任意一点（不与点A, D重合)，CP交AB于点M,AP与CD的延长线相交于点P,当∠F=3∠PCD时，则1 BM 16.我们规定，一个四位正整数M=abca(各个数位上的数字互不相等)，若满足a+2b=。+d,则称这 个四位数为倍半数，例如：四位数5164，因为5+2×1=6+4，所以5164是“倍半数”.按照这个规定， 最大的“倍半数”是一·一个“倍半数"”M=abd,将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位 数字调换位置，得到一个新的四位数M=cb,记FM0=M-M 99 ，Q(M)=2·ad-cb,若 2Q(M)+6F(M)-a+c被7除余2，且M能被9整除，则满足条件的“倍半数”M为 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步 骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上， [x+3<2x① 17.求不等式组： +l≥-②的所有整数解. 3 2 18.小红学习了菱形和尺规作图后，进行了拓展性研究，她发现了菱形的一种作图方法，以下是她的探究 过程，请完成其中的作图和推理填空： B (1)用尺规完成以下作图：作∠BAC的平分线交BC于点D,作线段AD的垂直平分线分别交AB,AC,AD 于点E,F,G,连接DE,DF. (2)已知：在△ABC中，AD平分∠BAC,EF垂直平分AD.求证：四边形AEDF是菱形. 证明：，EF垂直平分AD, ∴.∠AGE=∠AGF=90° EA=ED,① .AD平分∠BAC, 试题第3页（共6页） .② : 在△AEG和△AFG中， O : 「∠AGE=∠AGF, ③ ∠EAG=∠FAG .△AEG≌△AFG(ASA). : .④ : ∴AE=ED=DF=AF. : .四边形AEDF是菱形. : 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步 张 骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上 19.在观看了2025年国庆大阅兵后，某学校组织了以“观阅兵，知强军“为主题的知识竞赛活动，从八、九 年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用x表示 河 学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A.90≤x≤100，B.80≤x<90,C.70≤x<80, 游 D.60≤x<70,得分在90分及以上为优秀)，下面给出了部分信息： 游 八年级20名学生的竞赛成绩是：66,67,71,81,83,85,85,86,89,90,90,93,93,93,95,96， 98,99,100,100. S 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：82,83,85,86,87,88. 九年级抽取学生竞 赛成绩扇形统计图 A 45% 马 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 世 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 a 90 10.3 九年级 88 94 b 11.0 根据以上信息，解答下列问题： : (1)上述图表中的a= ,b= ,= (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由：（写出 条理由即可) (3)若该校八年级有800名，九年级有700名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计 : O 该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 试题第4页（共6页） 20.先化简，再求值： (23) x(3x-)-3x=Dx+0+-2x+1xx 其中x=2c0s60°--2. 21.重庆中国三峡博物馆围绕馆藏的战国青铜鸟形尊文物，开发了多款兼具文化内涵与实用性的文创商 ·: : 品.该系列文创商品将鸟形尊憨态可掬的形态进行卡通化复原，其造型可爱、颜色醒目，深受年轻人喜爱.其 中鸟形尊冰箱贴和鸟形尊纸艺书签销售火爆.已知一个鸟形尊冰箱贴的售价比一个鸟形尊纸艺书签售价高 16元，且购买三个鸟形尊冰箱贴和两个鸟形尊纸艺书签共需108元， (1)求一个鸟形尊冰箱贴的售价和一个鸟形尊纸艺书签的售价各是多少元？ (2)五一节促销期间，鸟形尊冰箱贴每个降价2元，鸟形尊纸艺书签每个降价m元，促销后鸟形尊冰箱贴 总销售额为3300元，鸟形尊纸艺书签总销售额为900元，且鸟形尊冰箱贴的销量比纸艺书签多50%，求m ○ 的值。 22.如图1，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=12,D为BC中点，连接AD,AD=9,动点E以每秒2个单 : : 位长度的速度从点B出发，沿折线B→D→A方向运动，动点F以每秒智个单位长度的速度从点A出发。 沿折线A→C→D→A方向运动，点E,F同时出发，到点A时停止运动，设运动时间为x秒，点E到AB 尽 的距离为1，△ACD的周长与点F的运动路程之比为y2· 9 7 O 6 图1 可12345678910x (1)请直接写出y,y2关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围： : (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数y,y2的图象，并写出函数y的一条性质： 拟 (3)结合函数图象，请直接写出y,≤y,时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过02）. : 23.如图，港口B位于港口A的正东方向相距205海里处，D岛位于港口B的正北方向，且位于港口A的 : 北偏东30°方向上，C岛位于港口B的北偏东75°方向，且位于D岛的南偏东60°方向 上. （N2≈1.414，V5≈1.732 : : 北 西1 个东 60 南 30 75 A B O (1)求C、 D两岛之间的距离.（保留根号） : 试题第5页（共6页） 可学科网·学易金卷做好费：就限彩是籍” (2)甲船从港口A出发沿A→D匀速直线行驶，同时乙船从港口B出发沿B→C匀速直线行驶，己知甲、乙 两船的速度之比为2：1，当甲船到港口B的距离是乙船到港口B的距离的3倍时，求乙船行驶了多少海里？ (结果精确到小数点后一位) 24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=m2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-4,0),B两点，与y轴交于 3 点C(0,-2),抛物线的对称轴是直线x= 2 (1)求该抛物线的解析式： (2)点P是直线AC下方抛物线上的一动点，连接OP与直线AC交于点Q,点D,E为抛物线对称轴上的动 D在点E的上方)，且DB=2,连接DP,B.当O号取得最大值时，求点P的坐标及PD+DB+地 的最小值： B在(2)中%取得最大值的条件下，将抛物线)=m'+hx+ca≠0)沿射线AC平移5个单位长度得到 oo 新抛物线y',点G为点A的对应点，连接PG,PC,BG.点M为新抛物线y'上的动点，若 ∠GBM=∠BAG+∠CPG-45°，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的 其中一种情况的过程。 25.在△ABC中，AB=AC,点D,E为△ABC所在平面内的点，且∠DAE=∠BAC 2 图1 图2 图3 (1)如图1，若点D在线段BC上，点E为△ABC内一点，AE=AF,∠EAD=∠FAD,连接CE,BF,若 ∠ECB+∠FBC=1O0°，求∠EAD的度数： (2)如图2，若点D在线段AB右侧，点E为△ABC内一点，且∠DAE=60°，连接BD,CD,此时点C,E, D三点共线，已知∠ACB+∠ADB=90°，试猜想线段AE,AD,BD之间的数量关系并证明； (3)如图3，若点D在线段AB右侧，点E为AB中点，∠DAE=30°，连接DE并延长恰好经过点C,作点E 关于AD的对称点F,连接DF,O为直线AB上一动点，连接OD,QF,将△QDF沿OD翻折至△ABC 所在平面，点F的对应点为P,连接CP,M是CP中点，连接AM,当AM取最大值时，在CP左侧作任 意等边△MK,连接PW,CK,当PNW+CK的值最小，且等边△MNK周长最小时，直接写出W的值. AM 试题第6页（共6页）