2026年山东淄博市张店区中考数学二模考前模拟练习示范试卷

2026年山东省淄博市张店区中考数学二模考前模拟练习示范试卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）下列各数中最大的是（　　） A．3 B．0 C． D．﹣3 2．（4分）下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）下列计算正确的是（　　） A．a3+a3＝2a6 B．a3×a3＝a6 C．a6÷a3＝a2 D．（3a）3＝9a3 4．（4分）将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式放置，若∠1＝125°，则∠2的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．55° 5．（4分）学校准备定制一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如表所示．学校最终决定选择红色校服，其参考的统计量是（　　） 颜色 白色 红色 蓝色 学生人数 100 820 180 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 6．（4分）如图，是由正方形①、④、⑤、⑥和长方形②、③无重合、无缝隙组成的一个长方形，若已知正方形⑥的边长，则下列各对图形的周长之差：①和②；①和④；③和④；④和⑤能计算的有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 7．（4分）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，问有多少人，多少银两（注：明代当时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．设有x人，银子有y两，可列方程组是（　　） A． B． C． D． 8．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE，垂足为H，连结BH并延长，交CD于点F，连结DE交BF于点O．下列结论：①DE平分∠HDC；②BH＝HF；③AO⊥DE；④BC﹣CF＝2HE；其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（4分）如图，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B后的反射光线BC交x轴于点C（﹣1，0），若光线AB满足的函数关系式为：，则b的值是（　　） A．2 B． C． D．1 10．（4分）如图，在⊙O中，将沿弦AB翻折，使恰好经过圆心O，C是劣弧AB上一点．已知AE＝2，tan∠CBA，则AB的长为（　　） A． B．6 C． D． 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11．（4分）有一列数按如下顺序排列：，，，，，，…，则第2023个数是 　 　 ． 12．（4分）在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点A（2，3）旋转90°，得到点B，则点B的坐标是　 　 ． 13．（4分）如果代数式4x2+kx+25能够因式分解成（2x﹣5）2的形式，那么k的值是 　 　 ． 14．（4分）如图，△BCD为直角三角形，直角边BC在y轴正半轴上，反比例函数y（x＞0）过点D，与斜边BD交于A，E为x轴正半轴上一点，∠OAE＝∠BDC，若2，△AOE的面积为5，则k＝　 　 ． 15．（4分）如图，现有一张含30°的直角三角形纸片ABC，最短边BC＝1，分别以∠A，∠B，∠C为菱形的一个内角折出三个面积最大的菱形，则这三个最大菱形的面积最大值和最小值和为 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．解不等式组，并利用数轴确定不等式组的解集． 17．如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB∥DE，∠B＝∠E，BC＝EF． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若AF＝13，DC＝5，求AD的长． 18．嘉嘉和淇淇一起做游戏，她们面前有三张大小相同的卡片，分别写有三个分式，如图．要求排列卡片顺序组成“（②﹣①）×③”或“②÷①+③”的形式，然后先进行化简，再将“x＝﹣4”代入化简的结果求值． （1）淇淇发现三个分式中有一个还可以进行化简，这个分式是　 　 （填序号），化简的结果为　 　 ； （2）请你帮她们在题目要求的两个形式中任选一个，完成化简求值． 19．某校为了解学生的劳动教育情况，对九年级学生寒假期间“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（A：x＜60；B：60≤x＜80；C：80≤x＜100；D：x≥100，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求出本次抽样的学生人数并补全条形统计图； （2）已知该校九年级有600名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在60到100分钟（含60分钟）的学生有多少人？ （3）若D组中有3名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率． 20．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+b与反比例函数的图象交于A（﹣4，2）、B两点． （1）求出反比例函数的表达式和点B的坐标； （2）取第二象限内反比例函数上一点C（点C在点A右侧、直线AB上方），连接AC、BC，当△ABC的面积为30时，求点C的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，点D为第四象限内反比例函数图象上的一个动点．连接AD、CD，其中AD与x轴、y轴分别交于点M、P，CD与x轴、y轴分别交于点N、Q．试问是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 21．如图，在坡顶A处的同一水平面上有一建筑BC，在斜坡底P处测得该建筑顶点B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡PA攀行了13米到达坡顶，在坡顶A处又测得该建筑的顶点B的仰角为72°． （1）求坡顶A到地面的距离； （2）求该建筑BC的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.01） 22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点M从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，同时动点N从点C出发，以3cm/s的速度沿CA向点A运动，当一点停止运动时，另一点也随即停止运动．以AM为直径作⊙O，连接MN，设运动时间为t（s）（t＞0）． （1）试用含t的代数式表示出AM及AN的长度，并直接写出t的取值范围； （2）当t为何值时，MN与⊙O相切？ （3）若线段MN与⊙O有两个交点．求t的取值范围． 23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A（1，0），B（﹣4，0）两点，与y轴交于点C，P为x轴下方抛物线上一点（点P不在y轴上）． （1）求抛物线的表达式； （2）如图①，当点P的纵坐标为﹣4时，D为直线AP上一点，△OBD的周长为9是否成立？若成立，请求出点D的坐标；若不成立，请说明理由； （3）若直线AP与y轴交于点M，直线BM与抛物线交于点Q，连接PQ与y轴交于点H，如图②，试求出的值． 2026年山东省淄博市张店区中考数学二模考前模拟练习示范试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）下列各数中最大的是（　　） A．3 B．0 C． D．﹣3 【解答】解：∵，|﹣3|＝3， 又∵3， ∴， 又∵3＞0， ∴ ∴最大的数是3， 故选：A． 2．（4分）下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、C、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 3．（4分）下列计算正确的是（　　） A．a3+a3＝2a6 B．a3×a3＝a6 C．a6÷a3＝a2 D．（3a）3＝9a3 【解答】解：A、a3+a3＝2a3，故A不符合题意； B、a3×a3＝a6，故B符合题意； C、a6÷a3＝a3，故C不符合题意； D、（3a）3＝27a3，故D不符合题意； 故选：B． 4．（4分）将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式放置，若∠1＝125°，则∠2的度数为（　　） A．35° B．40° C．45° D．55° 【解答】解：如图， 由题意得：∠E＝90°，AB∥CD， ∴∠3＝∠1＝125°， ∵∠3是△ABE的外角， ∴∠2＝∠3﹣∠E＝35°， 故选：A． 5．（4分）学校准备定制一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如表所示．学校最终决定选择红色校服，其参考的统计量是（　　） 颜色 白色 红色 蓝色 学生人数 100 820 180 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【解答】解：喜欢红色的学生最多，是这组数据的众数， 故选：C． 6．（4分）如图，是由正方形①、④、⑤、⑥和长方形②、③无重合、无缝隙组成的一个长方形，若已知正方形⑥的边长，则下列各对图形的周长之差：①和②；①和④；③和④；④和⑤能计算的有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【解答】解：设正方形⑥的边长为a，则长方形②的长边为a， 设长方形②的短边为b，则正方形①的边长为a+b，长方形③的短边为b， ∴正方形⑤的边长为2a+b，正方形④的边长为3a+b， ∴正方形①的周长为：4（a+b）， 长方形②的周长为：2（a+b）， 长方形③的周长为：2（3a+2b）， 正方形④的周长为：4（3a+b）， 正方形⑤的周长为：4（2a+b）， ∴①和②的周长之差为：4（a+b）﹣2（a+b）＝2（a+b）； ①和④的周长之差为：4（3a+b）﹣4（a+b）＝8a； ③和④的周长之差为：4（3a+b）﹣2（3a+2b）＝6a； ④和⑤的周长之差为：4（3a+b）﹣4（2a+b）＝4a， ∴若已知正方形⑥的边长，可以求出①和④的周长之差，③和④的周长之差，④和⑤的周长之差，共3对． 故选：C． 7．（4分）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，问有多少人，多少银两（注：明代当时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．设有x人，银子有y两，可列方程组是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵如果每人分七两，则剩余四两， ∴7x＝y﹣4； ∵如果每人分九两，则还差八两， ∴9x＝y+8． ∴根据题意可列出方程组． 故选：A． 8．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE，垂足为H，连结BH并延长，交CD于点F，连结DE交BF于点O．下列结论：①DE平分∠HDC；②BH＝HF；③AO⊥DE；④BC﹣CF＝2HE；其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠C＝90°，AB＝CD， ∵∠BAD的平分线交BC于点E， ∴∠BAE＝∠DAE∠BAD＝45°， ∴∠BEA＝∠BAE＝45°， ∴EB＝AB， ∴AEAB， ∵ADAB， ∴AD＝AE， ∴∠AED＝∠ADE（180°﹣45°）＝67.5°， ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠CED， ∴∠AED＝∠CED， 故①正确； ∵DH⊥AE，垂足为H， ∴∠AHD＝∠DHE＝90°， ∴∠DAH＝∠ADH＝45°， ∴AH＝DH， ∴ADAH， ∴AB＝AH， ∴∠OHE＝∠AHB＝∠ABH（180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠OHE＝∠OEH， ∴OE＝OH， ∵∠OHD+∠OHE＝90°，∠ODH+∠OEH＝90°， ∴∠OHD＝∠ODH， ∴OD＝OH， ∴OE＝OD， ∵EB＝AB，DH＝AH＝AB， ∴EB＝DH， ∵∠HDF＝90°﹣∠ADH＝45°， ∴∠BEH＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠DHF＝90°﹣67.5°＝22.5°， ∴∠BEH＝∠DHF， 在△EBH和△DHF中， ， ∴△EBH≌△DHF（ASA）， ∴BH＝HF，HE＝DF， 故②正确； ∵AD＝AE，OE＝OD，OA＝OA， ∴△AOE≌△AOD（SSS）， ∴∠AOE＝∠AOD＝90°， ∴OA⊥DE， 故③正确； ∵AE＝BC，AH＝AB＝EB， ∴AE﹣AH＝BC﹣EB， ∴HE＝CE＝DF， ∵EB＝AB＝CD， ∴BC﹣CF＝BE+CE﹣（CD﹣DF）＝CD+HE﹣（CD﹣HE）＝2HE， 故④正确， 故选：D． 9．（4分）如图，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B后的反射光线BC交x轴于点C（﹣1，0），若光线AB满足的函数关系式为：，则b的值是（　　） A．2 B． C． D．1 【解答】解：延长AB，交x轴于点D，过点B作EF⊥y轴． ∵EF∥x轴， ∴∠EBC＝∠BCO，∠FBD＝∠BDO， ∵∠ABE＝∠EBC， ∴∠BCO＝∠ABE， ∵∠FBD＝∠ABE， ∴∠BDO＝∠ABE， ∴∠BCO＝∠BDO． 在Rt△BCO与Rt△BDO中， ， ∴Rt△BCO≌Rt△BDO（AAS）， ∴OD＝OC， ∴点D的坐标为（1，0）． 将坐标D（1，0）代入， 得0b， ∴b． 故选：C． 10．（4分）如图，在⊙O中，将沿弦AB翻折，使恰好经过圆心O，C是劣弧AB上一点．已知AE＝2，tan∠CBA，则AB的长为（　　） A． B．6 C． D． 【解答】解：连接EO并延长交⊙O于点H，连接AH，过点O作OF⊥AB于F，延长OF交⊙O于点G，连接OB， ∵EH是⊙O的直径， ∴∠EAH＝90°， ∴tan∠AHE， ∵∠AHE＝∠CBA，tan∠CBA， ∴tan∠AHE＝tan∠CBA， ∴， ∵AE＝2， ∴AH＝4， ∴EH2， ∴⊙O的半径为， ∴OG＝OB， ∵OG⊥AB于F， ∴AB＝2BF， 根据折叠的性质得，OF＝GF， ∴OFOG， ∴BF， ∴AB， 故选：C． 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11．（4分）有一列数按如下顺序排列：，，，，，，…，则第2023个数是 　　 ． 【解答】解：因为数是按照“﹣、﹣、+、﹣、﹣、+……”排列的， 2023÷3＝674……1， 所以第2023个数是负数． 每个数的绝对值表示为：（n为正整数）， 所以第2023个数是：． 故答案为：． 12．（4分）在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点A（2，3）旋转90°，得到点B，则点B的坐标是　（﹣3，2）或（3，﹣2）　 ． 【解答】解：以原点为旋转中心，把点A（2，3）逆时针旋转90°，得到点B，可知∠AOB＝90°，AO＝OB， 如图，作AD⊥x轴交x轴于D，作BC⊥x轴交x轴于C， ∴OD＝2，DA＝3，∠BCO＝∠ODA＝90°， ∴∠OAD+∠AOD＝90°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠BOC+∠AOD＝90° ∴∠BOC＝∠OAD， ∴△BOC≌△OAD（AAS）， ∴OC＝DA＝3，BC＝OD＝2， ∴B（﹣3，2）； 以原点为旋转中心，把点A（2，3）顺时针旋转90°，得到点B， 同理可得B（3，﹣2）； 故答案为：（﹣3，2）或（3，﹣2）． 13．（4分）如果代数式4x2+kx+25能够因式分解成（2x﹣5）2的形式，那么k的值是 　﹣20　 ． 【解答】解：∵4x2+kx+25＝（2x﹣5）2， 而（2x﹣5）2＝4x2﹣20x+25． ∴k＝﹣20． 故答案为：20． 14．（4分）如图，△BCD为直角三角形，直角边BC在y轴正半轴上，反比例函数y（x＞0）过点D，与斜边BD交于A，E为x轴正半轴上一点，∠OAE＝∠BDC，若2，△AOE的面积为5，则k＝　8　 ． 【解答】解：作AH⊥OB交y轴正半轴于点H，延长BD交x轴正半轴于点F． 根据题意CD⊥OB，OF⊥OB， ∴CD∥OF， ∴∠BDC＝∠AFO． 又∵∠OAE＝∠BDC， ∴∠OAE＝∠AFO． 在△AOE和△FOA中，∠OAE＝∠AFO，∠AOE＝∠FOA， ∴△AOE∽△FOA． ∴2 ∴． ∴S△FOA＝4S△AOE＝20． ∵2， ∴AF＝4AB． ∴S△ABOS△FOA＝5． ∵AH⊥OB，OF⊥OB， ∴AH∥OF． ∴． ∴S△AHO＝4S△AHB． ∴S△AHOS△ABO＝4 又∵S△AHOAH•HO， ∴k＝8． 故答案为：8． 15．（4分）如图，现有一张含30°的直角三角形纸片ABC，最短边BC＝1，分别以∠A，∠B，∠C为菱形的一个内角折出三个面积最大的菱形，则这三个最大菱形的面积最大值和最小值和为 　　 ． 【解答】解：∵∠A＝30°，BC＝1， ∴AC＝2BC＝2， ∴AB， ①如图，以∠A为菱形的一个内角折出最大的菱形， 设菱形的边长为x，则AD＝DE＝AF＝x， ∴CD＝2﹣x， ∵四边形ADEF为菱形， ∴DE∥AB， ∴∠CDE＝30°，∠CED＝∠B＝90°， ∴cos30°， ∴， ∴x＝46， ∴CD＝2﹣（46）＝8﹣4， ∴CECD（8﹣4）＝4﹣2， ∴BE＝BC﹣CE＝1﹣（4﹣2）＝23， ∴S菱形ADEF＝AF×BE＝（46）×（23）＝42﹣24； ②如图，以∠B为菱形的一个内角折出最大的菱形， ∵∠B＝90°， ∴菱形BDEF为正方形， 设正方形的边长为x，则BD＝DE＝x， ∴ADx， ∵∠A＝30°， ∴tan30°， ∴， ∴x， S菱形BDEF3； ③如图，以∠C为菱形的一个内角折出最大的菱形， 设菱形的边长为x，则CD＝DE＝x， ∴BD＝1﹣x， ∵DE∥AC， ∴∠DEB＝∠A＝30°， ∴1﹣xx， ∴x， ∴DE，BD＝1， ∴BE， ∴S＝菱形CDEF＝CD×BE， ∵42﹣243， ∴三个最大菱形的面积的最大值为42﹣24，最小值为， ∴最大值和最小值和为42﹣24． 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 16．解不等式组，并利用数轴确定不等式组的解集． 【解答】解：， 解不等式①得：x≤2， 解不等式②得：x＞3， 在数轴上表示不等式①②的解集如图所示： ∴该不等式组无解． 17．如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB∥DE，∠B＝∠E，BC＝EF． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若AF＝13，DC＝5，求AD的长． 【解答】（1）证明：∵AB∥DE， ∴∠A＝∠EDC， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）； （2）解：由（1）知：△ABC≌△DEF（AAS）， ∴AC＝DF， ∴AC﹣DC＝DF﹣DC，即AD＝CF， ∵AF＝AD+DC+CF，AF＝13，DC＝5， ∴13＝AD+5+AD， 解得：AD＝4． 18．嘉嘉和淇淇一起做游戏，她们面前有三张大小相同的卡片，分别写有三个分式，如图．要求排列卡片顺序组成“（②﹣①）×③”或“②÷①+③”的形式，然后先进行化简，再将“x＝﹣4”代入化简的结果求值． （1）淇淇发现三个分式中有一个还可以进行化简，这个分式是　③　 （填序号），化简的结果为　　 ； （2）请你帮她们在题目要求的两个形式中任选一个，完成化简求值． 【解答】解：（1）∵， ∴分式③可以化简；结果为：． 故答案为：③；； （2） ； 当x＝﹣4时， 原式； ； 当x＝﹣4时， 原式． 19．某校为了解学生的劳动教育情况，对九年级学生寒假期间“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（A：x＜60；B：60≤x＜80；C：80≤x＜100；D：x≥100，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求出本次抽样的学生人数并补全条形统计图； （2）已知该校九年级有600名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在60到100分钟（含60分钟）的学生有多少人？ （3）若D组中有3名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率． 【解答】解：（1）本次抽样的学生人数为5÷10%＝50（人）． C组的人数为50﹣10﹣15﹣5＝20（人）． 补全条形统计图如图所示． （2）600420（人）． ∴估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在60到100分钟（含60分钟）的学生约420人． （3）由题意得，有3名女生，2名男生． 列表如下： 男 男 女 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女） 共有20种等可能的结果，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果有12种， ∴抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率为． 20．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+b与反比例函数的图象交于A（﹣4，2）、B两点． （1）求出反比例函数的表达式和点B的坐标； （2）取第二象限内反比例函数上一点C（点C在点A右侧、直线AB上方），连接AC、BC，当△ABC的面积为30时，求点C的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，点D为第四象限内反比例函数图象上的一个动点．连接AD、CD，其中AD与x轴、y轴分别交于点M、P，CD与x轴、y轴分别交于点N、Q．试问是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【解答】解：（1）∵直线y＝﹣2x+b与反比例函数y图象交于A（﹣4，2）， ∴2＝8+b，2， 解得b＝﹣6，k＝﹣8， ∴反比例函数的表达式为y，一次函数表达式为y＝﹣2x﹣6， 联立方程组得， ， 解得（与A点重合，故舍去）或， ∴另一交点B的坐标为（1，﹣8）； （2）如图，过C作CT∥y轴交AB于点T， 设C（c，）（c＜0），则T（c，﹣2c﹣6）， ∴CT2c+6， ∴S△ABC＝S△ACT+S△BCT CT•（xB﹣xA） （2c+6）×5 ＝5c+1530， 解得c1＝﹣1，c2＝4（舍）， ∴点C的坐标为（﹣1，8）； （3）设点D（m，）（m＞0）， 设直线CD解析式为y＝k1x+b1，将C、D坐标代入得， ， 解得， ∴直线CD解析式为yx+8， 令x＝0得y＝8，即Q（0，8）， 令y＝0得x＝m﹣1，即N（m﹣1，0）， 同理可得直线AD解析式为yx+2， 令x＝0得y＝2，即P（0，2）， 令y＝0得x＝m﹣4，即M（m﹣4，0）， ∴PQ＝6，MN＝3， ∴2为定值． 21．如图，在坡顶A处的同一水平面上有一建筑BC，在斜坡底P处测得该建筑顶点B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡PA攀行了13米到达坡顶，在坡顶A处又测得该建筑的顶点B的仰角为72°． （1）求坡顶A到地面的距离； （2）求该建筑BC的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.01） 【解答】解：（1）过点A作AD⊥PQ于点D，过点C作CE⊥PQ于点E，如图， 在Rt△ADP中，坡度为1：2.4，PA＝13米， ∴PD＝2.4AD， ∵PD2+AD2＝PA2， ∴AD＝5米，PD＝12米， ∴坡顶A到地面的距离为5米； （2）∵四边形ACED是矩形， ∴AD＝CE， 在Rt△ABC中，∠BAC＝72°， ∴BC＝AC•tan72°， 在Rt△BPE中，∠BPQ＝45°， ∴BE＝PE， BE＝BC+CE＝AC•tan72°+5， PE＝PD+DE＝12+AC， ∴AC•tan72°+5＝12+AC， ∴AC3.5（米）， BC＝AC•tan72°≈10.5（米）， ∴该建筑BC的高度为10.5米． 22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点M从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，同时动点N从点C出发，以3cm/s的速度沿CA向点A运动，当一点停止运动时，另一点也随即停止运动．以AM为直径作⊙O，连接MN，设运动时间为t（s）（t＞0）． （1）试用含t的代数式表示出AM及AN的长度，并直接写出t的取值范围； （2）当t为何值时，MN与⊙O相切？ （3）若线段MN与⊙O有两个交点．求t的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得，AM＝2tcm，CN＝3tcm， 在Rt△ABC中，AC10cm， ∴AN＝AC﹣CN＝（10﹣3t）cm， ∵AB＝6cm，动点M的速度为2cm/s， ∴动点M的最长运动时间为s， ∵AC＝10cm，动点N的速度为3cm/s， ∴动点N的最长运动时间为s， ∴t的取值范围为0＜t≤3； （2）若MN与⊙O相切，则AB⊥MN，即∠AMN＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠AMN＝∠ABC， ∴△AMN∽△ABC， ∴，即， 解得t， ∴当t时，MN与⊙O相切； （3）由（2）得，当t时，直线MN与⊙O有两个交点， 如图，当点N恰好在⊙O上时，线段MN与⊙O的两个交点恰好为M，N， ∵AM为⊙O的直径， ∴∠ANM＝90°＝∠B， ∵∠MAN＝∠CAB， ∴△AMN∽△ACB， ∴， 即， 解得t， ∴若线段MN与⊙O有两个交点，则t的取值范围为． 23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A（1，0），B（﹣4，0）两点，与y轴交于点C，P为x轴下方抛物线上一点（点P不在y轴上）． （1）求抛物线的表达式； （2）如图①，当点P的纵坐标为﹣4时，D为直线AP上一点，△OBD的周长为9是否成立？若成立，请求出点D的坐标；若不成立，请说明理由； （3）若直线AP与y轴交于点M，直线BM与抛物线交于点Q，连接PQ与y轴交于点H，如图②，试求出的值． 【解答】解：（1）把A（1，0），B（﹣4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得： ， 解得， ∴抛物线的表达式为y＝x2+3x﹣4； （2）△OBD的周长不能为9，理由如下： 作O关于AP的对称点O'，连接BO'交AP于D'，AO'，如图： 在y＝x2+3x﹣4中，令y＝﹣4得﹣4＝x2+3x﹣4， 解得x＝0或x＝﹣3， ∴P（﹣3，﹣4）， 由A（1，0），P（﹣3，﹣4）得直线AP解析式为y＝x﹣1， ∴直线AP与x轴夹角为45°，即∠OAP＝45°， ∵O，O'关于直线AP对称， ∴∠O'AP＝∠OAP＝45°，O'A＝OA＝1， ∴∠OAO'＝90°， ∴O'（1，﹣1）， ∵B（﹣4，0）， ∴O'B， 当D与D'重合时，BD+OD＝BD'+OD'＝BD'+O'D'＝O'B最小为， ∵OB＝4， ∴△OBD的周长最小为4， 而4＞9， ∴△OBD的周长不能为9； （3）过P作PF⊥y轴交于F，过P作PN⊥x轴交于N，过Q作QE⊥y轴交于E，过Q作QK⊥x轴交于K，如图： 设P（m，m2+3m﹣4），Q（n，n2+3n﹣4）， ∴PF＝ON＝﹣m，PN＝﹣（m2+3m﹣4）＝﹣（m+4）（m﹣1），QE＝OK＝n，QK＝﹣（n2+3n﹣4）＝﹣（n+4）（n﹣1）， ∵点A（1，0），点B（﹣4，0）， ∴OA＝1，OB＝4，AN＝1﹣m＝﹣（m﹣1），BK＝n﹣（﹣4）＝n+4， ∵OM∥PN， ∴△APN∽△AMO， ∴AO：AN＝OM：PN， 即， ∴OM＝m+4， 同理：△BKQ∽△BOM， ∴OB：BK＝OM：QK， ∴ ∴OM＝﹣4（n﹣1）， ∴m+4＝﹣4（n﹣1）， ∴m＝﹣4n， ∵QE⊥y轴，PF⊥y轴， ∴QE∥PF， ∴△QHE∽△PHF， ∴4； ∴的值为4． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/30 20:33:19；用户：巴巴爸爸吧；邮箱：orFmNtwtkgB1OZsB7sE8GbKrEJjo@weixin.jyeoo.com；学号：46376935 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $