精品解析：辽宁省铁岭市部分学校2026年中学生能力训川练 数学考前预测

2026年中学生能力训练 数学模拟练习（三） （本试卷共23道题满分120分考试时间120分钟） ※考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是由个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从左面看到的图形是左视图即可，解题的关键是正确理解从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图． 【详解】解：从左面看看到的是， 故选：． 2. 2026年全国普通高校毕业生规模预计达人．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：∵科学记数法要求，将改写为时，需要把原数的小数点向左移动位得到， ∴． 3. 数学中有许多优美的曲线，下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义逐项判断即可，将一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形叫做轴对称图形；将一个图形绕某一点旋转，能与本身重合，这样的图形叫做中心对称图形． 【详解】解：因为图A是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图B既是轴对称图形，也是中心对称图形，所以符合题意； 因为图C是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图D不是轴对称图形，是中心对称图形，所以不符合题意． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 5. 不透明袋子中仅有2个红球，2个黄球，这四个小球除颜色外都相同．从中随机摸出两个小球，则摸出相同颜色的小球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设2个红球记为，设2个黄球记为，列表如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色的小球的结果有4种， ∴摸出相同颜色的小球的概率为 6. 如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，交射线于点A，交射线于点，再分别以为圆心，长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由作图可知，然后根据等边对等角以及三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知， ∴， ∵，是的外角， ∴， ∴． 7. 如图，在矩形中，点在边上，连接，，平分，若，则的长为（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得∴，可得，再根据角平分线的定义说明，然后根据勾股定理求出，进而求出，最后根据勾股定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 在中，， 即 ∴． 在中，， 即． 8. 把直线沿轴向右平移2个单位，所得直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移规则“左加右减，上加下减”，进行求解即可. 【详解】解：，向右平移2个单位，得到. 9. 我国明代数学读本《算法统综》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差八两．设一共有银子两，根据题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．直接根据题中等量关系列方程即可． 【详解】解：根据题意，， 故选：D． 10. 如图，在中，，，，点在边上，平分．点在边上，且于点，连接．则的周长为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正切定义得出，再根据勾股定理求出，通过证，求得，，从而求出，最后根据的周长求出的周长． 【详解】解：在中，，，， ， 令，则， 解得：， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的周长． 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在篮球质量检测中，如果一只篮球的圆度超出标准记作，那么圆度低于标准2mm记作___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若超出标准圆度用表示，则低于标准圆度用表示，据此即可求解. 【详解】解：由题意可知，超出标准圆度记作 ，因此低于标准圆度记作 . 12. 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力阻力臂动力动力臂．已知阻力和阻力臂分别为和，当动力为时，动力臂是___________． 【答案】 【解析】 【分析】设动力臂是，根据杠杆原理“阻力阻力臂动力动力臂”列出一元一次方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：设动力臂是， 由题意得：， 解得， 所以动力臂是． 13. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近10次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 187 182 187 182 方差 根据表中的数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择___________（填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”）． 【答案】丙 【解析】 【分析】要选择成绩好且发挥稳定的运动员，需先通过平均数判断成绩好坏，平均数越大成绩越好，再通过方差判断稳定性，方差越小发挥越稳定． 【详解】解：由表中数据可知： ， ， ， ， ， 甲和丙的平均成绩更好． 又，， ， 丙的方差更小，发挥更稳定， 综上，应选择丙参加比赛． 14. 如图，在处看建筑物的顶端的仰角为，向前行进3米到达处，从处看的仰角为（图中各点均在同一平面内，三点在同一条直线上，），则建筑物的高度约为___________米（结果精确到．参考数据：． 【答案】9 【解析】 【分析】根据，得到，根据和正切的概念列出算式，解出算式得到答案 【详解】解：，， ，即． ． ， ，即． 解得． 15. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点为的中点，点在线段上，且，则的长为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】先根据菱形的性质和勾股定理求得，从而求得，然后根据平行线分线段成比例可得，据此求得，进而根据线段的和差求得． 【详解】解：∵在菱形中，对角线与相交于点，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，且点为的中点，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）首先计算绝对值，立方根，有理数的乘方和特殊角的三角函数值，然后计算加减； （2）根据分式的混合运算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 17. 某班级开展知识竞赛，需要购买A、B两种款式的盲盒作为奖品．若买5盒A款盲盒、15盒B款盲盒，共需130元；若买10盒A款盲盒、10盒B款盲盒，共需140元． （1）求A，B款两种盲盒的单价； （2）若班级刚好用100元购进A、B两种款式的盲盒，有几种购进方案？ 【答案】（1）A款盲盒的单价为8元，B款盲盒的单价为6元 （2）共有4种购进方案 【解析】 【分析】（1）设A款盲盒每盒为元，B款每盒为元，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设购进A款盲盒盒，B款盲盒盒，根据题意得到二元一次方程，据此求解即可． 【小问1详解】 解：设A款盲盒每盒为元，B款每盒为元， 答：A款盲盒的单价为8元，B款盲盒的单价为6元； 【小问2详解】 解：设购进A款盲盒盒，B款盲盒盒， ， ， 为正整数， 或或或， 答：共有4种购进方案． 18. 数学发展史是数学文化的重要组成部分，了解数学发展史有助于我们理解数学知识，提升学习兴趣．某校想知道同学们对“概率发展的历史背景”的了解程度，在九年级随机抽取了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项（每位被调查的学生必选且只选一项）A．十分了解，B．了解较多，C．了解较少，D．不知道．将调查的结果绘制成如下两幅统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题： （1）求的值； （2）若该校九年级共有500名学生，请你估计该校九年级约有多少名学生十分了解“概率发展的历史背景”； （3）调查结果中，该校九年级（2）班学生中了解程度为“十分了解”的同学是三名男生、一名女生，现准备从其中随机抽取两名去市里参加“初中‘数学发展史’”知识竞赛，用画树状图或列表法，求恰好抽中一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）20 （2）100名 （3） 【解析】 【分析】（1）根据组的人数和所占的百分比求出调查总人数，即可求出值． （2）用总人数乘以样本中“十分了解概率发展的历史背景”的学生所占百分比即可求出答案． （3）利用列表法直观可知事件的总情况以及抽中一名男生和女生的情况，利用概率公式即可求出答案． 【小问1详解】 解：调查总人数为（名）， ． 【小问2详解】 解：（名） 答：该校九年级十分了解“概率发展的历史背景”的学生数约为100名． 【小问3详解】 解：列表法：设这4名学生分别为：女，男1，男2，男3，列表如下： 女 男1 男2 男3 女 （女，男1） （女，男2） （女，男3） 男1 （男1，女） （男1，男2） （男1，男3） 男2 （男2，女） （男2，男1） （男2，男3） 男3 （男3，女） （男3，男1） （男3，男2） 由表格可知，所有可能结果共有12种，选中一男一女的结果有6种． ． 19. 为更安全的悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸： 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下：1．大门形状为矩形（矩形）；2．底部跨度的长）为13米； 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加12根立柱等分成13份，左起第4根立柱高度为0.9米． 确定思路 小组成员经过讨论，确定点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，求出抛物线的表达式，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）若相邻某两根立柱的高度差恰好为0.15米，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？（栏杆宽度忽略不计）． 【答案】（1） （2）相邻的两根栏杆分别是左起第3根与第4根或第9根与第10根 【解析】 【分析】（1）由题意得，，，然后利用待定系数法解答即可； （2）设相邻两栏杆中左边一根栏杆为第根，然后代入抛物线表达式，表示出第根和第根的高度，根据高度差得到方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意得，，在上， ， 解得， 抛物线为； 【小问2详解】 解：由题意，设相邻两栏杆中左边一根栏杆为第根， 则第根的高度为，第根的为， ， 解得或， 第3根与第4根，第9根与第10根的高度差为0.15米， 答：相邻的两根栏杆分别是左起第3根与第4根或第9根与第10根． 20. 在学习完“利用三角函数测高”知识后，某综合实践活动小组，尝试通过利用三角函数的知识测算某山体的海拔高度，设计了如下两种方案，请选择其中一种可行的测算方案，计算该山体的海拔高度（的长），（精确到米） 【方案一】 在该山体对面的山坡上选取一点，其海拔高度为米，测得与山顶处的仰角为，与山脚处的俯角为．（参考数据：，） 【方案二】 在该山体对面的山坡上选取一点，其海拔高度为米，测得与山顶处的仰角为；利用无人机垂直上升到海拔高度为米的处时（米），测得与山顶处的仰角为．（参考数据：） 【答案】山体高度约为米 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，构造两个矩形得到， ，，利用角得，设米，再结合角的正切值列方程求解，最后加上得出山体总海拔． 【详解】解：选择方案二进行问题解决： 过点作于点，过点作于点， 依题意知，矩形，矩形， ∴米，米，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 设米，则米， 在Rt中，，， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 答：山体高度约为米． 21. 如图，点在的边上，经过点的与相交于点，点在上，且与相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若点是的中点，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，即可得证； （2）设，半径为，则，，在中，勾股定理求出，再利用正弦的定义，进行求解即可. 【小问1详解】 证明：如图1，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线 【小问2详解】 解：设，半径为，则，， 在中，， ， ， ， 在中，， . 22. 【探究】 （1）如图，在中，，，．点在边上，连接，过点作于点，交边于点． ①求证：； ②如图，点为边的中点，求的值； 【应用】 （2）如图，在中，，，．点在边上，点在边上，连接，过点作交的延长线于点，若，，求的长． 【答案】（1）①见解析； （2） 【解析】 【分析】（）①通过直角三角形两锐角互余的性质，结合同角的余角相等，证明；②先利用勾股定理算出的斜边，再根据直角三角形斜边中线性质得到，推出，结合已证的，得到，进而证明，利用相似三角形对应边成比例求出，最终算出的值为； （）过点作交于点，利用平行线性质得到角相等，结合推出，再由推导出，进而得到；通过求出和的长度，再利用的相似比，最终算出的长． 【小问1详解】 解：①， ， ， ， ， ; ②在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ∴ ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，, ， ， ， ，即， ， ， ， ， ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点A，二次函数的图象经过点A，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为． （1）求点的坐标及的解析式； （2）直线与二次函数的图象分别相交于点．连接，，求四边形的面积的最大值： （3）二次函数与二次函数组成新函数．在的图象上有两个点，且，过点作轴的平行线． ①当直线经过点时，求的值； ②连接，过点作轴平行线分别交，于点，，线段的长用表示，求关于的函数表达式． 【答案】（1）点的坐标为 （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）令，求出x的值，再根据点A的位置，确定点A的坐标即可；将代入求出点B的坐标，然后将A、B的坐标代入，求出抛物线的解析式即可； （2）先求出，，从而求出，根据，求出，然后根据二次函数的性质，求最值即可； （3）①根据题意得出点，根据当直线经过点时，点的纵坐标相等，列出方程，解方程即可； ②分两种情况：当时，当时，分别画出图形，过点作于点，利用相似三角形的判定和性质，求出结果即可． 【小问1详解】 解：令， ， ， 将代入，得， ， 将分别代入，得： ， ， 答：点的坐标为． 【小问2详解】 解：如图， 将代入得， 将代入，得， ， ， ， 时，最大值为， 答：四边形的面积的最大值为； 【小问3详解】 解：①∵，且， 点在函数上，则点在函数上， 点， 当直线经过点时，则点的纵坐标相等， 即， 解得：（舍去）， 即此时a的值为； ②当时，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时，过点作于点， 同理可得：， ； ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中学生能力训练 数学模拟练习（三） （本试卷共23道题满分120分考试时间120分钟） ※考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是由个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 2026年全国普通高校毕业生规模预计达人．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 数学中有许多优美的曲线，下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不透明袋子中仅有2个红球，2个黄球，这四个小球除颜色外都相同．从中随机摸出两个小球，则摸出相同颜色的小球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，交射线于点A，交射线于点，再分别以为圆心，长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，点在边上，连接，，平分，若，则的长为（ ） A. 1 B. 5 C. D. 8. 把直线沿轴向右平移2个单位，所得直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 我国明代数学读本《算法统综》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差八两．设一共有银子两，根据题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，点在边上，平分．点在边上，且于点，连接．则的周长为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在篮球质量检测中，如果一只篮球的圆度超出标准记作，那么圆度低于标准2mm记作___________． 12. 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力阻力臂动力动力臂．已知阻力和阻力臂分别为和，当动力为时，动力臂是___________． 13. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近10次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 187 182 187 182 方差 根据表中的数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择___________（填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”）． 14. 如图，在处看建筑物的顶端的仰角为，向前行进3米到达处，从处看的仰角为（图中各点均在同一平面内，三点在同一条直线上，），则建筑物的高度约为___________米（结果精确到．参考数据：． 15. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点为的中点，点在线段上，且，则的长为___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2） 17. 某班级开展知识竞赛，需要购买A、B两种款式的盲盒作为奖品．若买5盒A款盲盒、15盒B款盲盒，共需130元；若买10盒A款盲盒、10盒B款盲盒，共需140元． （1）求A，B款两种盲盒的单价； （2）若班级刚好用100元购进A、B两种款式的盲盒，有几种购进方案？ 18. 数学发展史是数学文化的重要组成部分，了解数学发展史有助于我们理解数学知识，提升学习兴趣．某校想知道同学们对“概率发展的历史背景”的了解程度，在九年级随机抽取了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项（每位被调查的学生必选且只选一项）A．十分了解，B．了解较多，C．了解较少，D．不知道．将调查的结果绘制成如下两幅统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题： （1）求的值； （2）若该校九年级共有500名学生，请你估计该校九年级约有多少名学生十分了解“概率发展的历史背景”； （3）调查结果中，该校九年级（2）班学生中了解程度为“十分了解”的同学是三名男生、一名女生，现准备从其中随机抽取两名去市里参加“初中‘数学发展史’”知识竞赛，用画树状图或列表法，求恰好抽中一名男生和一名女生的概率． 19. 为更安全的悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸： 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下：1．大门形状为矩形（矩形）；2．底部跨度的长）为13米； 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加12根立柱等分成13份，左起第4根立柱高度为0.9米． 确定思路 小组成员经过讨论，确定点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，求出抛物线的表达式，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）若相邻某两根立柱的高度差恰好为0.15米，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？（栏杆宽度忽略不计）． 20. 在学习完“利用三角函数测高”知识后，某综合实践活动小组，尝试通过利用三角函数的知识测算某山体的海拔高度，设计了如下两种方案，请选择其中一种可行的测算方案，计算该山体的海拔高度（的长），（精确到米） 【方案一】 在该山体对面的山坡上选取一点，其海拔高度为米，测得与山顶处的仰角为，与山脚处的俯角为．（参考数据：，） 【方案二】 在该山体对面的山坡上选取一点，其海拔高度为米，测得与山顶处的仰角为；利用无人机垂直上升到海拔高度为米的处时（米），测得与山顶处的仰角为．（参考数据：） 21. 如图，点在的边上，经过点的与相交于点，点在上，且与相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若点是的中点，求的值． 22. 【探究】 （1）如图，在中，，，．点在边上，连接，过点作于点，交边于点． ①求证：； ②如图，点为边的中点，求的值； 【应用】 （2）如图，在中，，，．点在边上，点在边上，连接，过点作交的延长线于点，若，，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点A，二次函数的图象经过点A，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为． （1）求点的坐标及的解析式； （2）直线与二次函数的图象分别相交于点．连接，，求四边形的面积的最大值： （3）二次函数与二次函数组成新函数．在的图象上有两个点，且，过点作轴的平行线． ①当直线经过点时，求的值； ②连接，过点作轴平行线分别交，于点，，线段的长用表示，求关于的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $