2026年中考数学专题复习课件 2.4一元二次方程

中考数学一轮复习 专题2.4 一元二次方程 同学，一元二次方程我们要重点复习方程定义、解法、根的判别式、根与系数的关系和实际应用等方面，让我们一起梳理下重点知识和典型例题吧． 实数 考点剖析 4 根的判别式 5 3 1 一元二次方程的实际应用 一元二次方程的概念 一元二次方程的解法 根与系数的关系 2 一元二次方程 一元二次方程的定义 1．定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 2．判断： 　①是整式方程； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2. 注意：分母位置不能有未知数. 知识点一：一元二次方程的有关概念 一元二次方程的一般形式是.其中是二次项，是二次项系数； 是一次项，是一次项系数； 是常数项. 一元二次方程的一般形式 知识点一：一元二次方程的有关概念 注意: （1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括它前面的符号； （2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式. 一元二次方程的解（根） 判断一个数值是不是一元二次方程解的方法: 将此数值代入一元二次方程，若能使等式成立，则这个数值是一元二次方程的解；反之，它就不是一元二次方程的解. 1. 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.例如和都是一元二次方程的解(根). 知识点一：一元二次方程的有关概念 一元二次方程的解（根） 2．温馨提示: （1）一元二次方程可以无解，但是有解就一定有两个； （2）在一元二次方程中，若，则是一元二次方程的一个根；若，则是一元二次方程的一个根. 知识点一：一元二次方程的有关概念 直接开平方法 1．利用平方根的定义直接开平方来求一元二次方程的解的方法就做直接开平方法.一般地，对于方程: 知识点二：解一元二次方程 根据平方根的意义，方程根的情况 当 两个不相等的实数根 当 两个相等的实数根 当 方程无实数根 直接开平方法 2．可以利用直接开平方法解一元二次方程的类型: ； 先系数化为1 ，； 整体开平方后将a移项，； 整体开平方，再将移项，最后系数化为1 . 知识点二：解一元二次方程 注意点： 采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，直接开平方法只适用于部分一元二次方程，它适用的方程是能转化为以上类型的方程； 利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当p≥0时，方程才有解，并且要注意开方的结果取“正、负”两种情况. 直接开平方法 知识点二：解一元二次方程 1．定义:通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2．用配方法解一元二次方程的一般步骤： 一移 四开 五解 二化 三配 含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边 如果一元二次方程的二次项系数不是1，就先将方程的两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1 开平方 解两个一元一次方程 在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，这样使方程的左边配成一个完全平方式的形式 配方法 知识点二：解一元二次方程 公式法 1．判别式：式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母表示，即. 2．用Δ的值可以判断一个一元二次方程的根的情况： 知识点二：解一元二次方程 的符号 方程根的情况 注意 方程有两个不相等的实数根 1.应用根的判别式时必须先将一元二次方程化成一般形式，然后确定a,b,c的值； 2.当时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根. 方程有两个相等的实数根，即 方程无实数根 3．求根公式:解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式，当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式. 4．利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 公式法 知识点二：解一元二次方程 求根公式是用配方法解一元二次方程的结果，用它直接解方程避免了繁杂的配方过程，公式法是一种常用解法，并且适合于所有的一元二次方程. 公式法 5．用公式法解一元二次方程的一般步骤: （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值(注意符号)． （2）求出的值． （3）当时，方程有两个不相等的实数根，即 . 当时，方程有两个相等的实数根，即； 当，方程无实数根． 知识点二：解一元二次方程 因式分解法 1．因式分解法的定义:先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 2．因式分解法的理论依据:两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个等于0. 用式子表示为:若，则或. 知识点二：解一元二次方程 因式分解法 3．用因式分解法解一元二次方程的步骤: （1）将方程化为的形式； （2）将方程的左边分解为两个一次因式的积； （3）令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是方程的解. 知识点二：解一元二次方程 1．如果一元二次方程的两个根分别为，那么，. 2．代数变形有: （1）； （2）； （3）； （4）. 知识点三：根与系数的关系 知识点四：一元二次方程的应用 一元二次方程解应用题的常见类型 传播传染问题 传播源+第一轮被传播的+第二轮被传播的=第二轮传播后 的总数 增长率问题 或，表示增长或降低前的数 据，表示增长或降低率，表示后来得到的数据，“十”表 示增长，“一”表示降低 营销 问题 总利润=总售价一总成本（或总利润=每件商品的利润x销 售数量)利润率= 知识点四：一元二次方程的应用 一元二次方程解应用题的常见类型 图形 问题 关键是将不规则图形分割或组成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系.根据面积和体积公式列出方程 数字 问题 若一个两位数的十位数字和个位数字分别是X，Y.则这个数可表示为是10X+Y 循环 问题 单循环公式：为个体，为总数（足球赛、篮球赛、握手问题等） 双循环公式：（球赛、互送卡片、礼物、明信片等） 球赛每两队之间比赛一场，则单循环；比赛两场，则双循环 知识梳理 知识点1 一元二次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程. 一元二次方程的定义 一般形式：(其中，，为常数，) ①只含有一个未知数； ②所含未知数的最高次数是； ③是一个整式方程. 二次项 一次项 常数项 是二次项系数，是一次项系数 如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件 【易错提醒】 20 解：A.是一元二次方程；B.含有根式，不是整式方程；C.化简后不含项；D.二次项系数可能为0，不一定是一元二次方程.故A正确． 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. 　 B. C. 　D. 典型例题 例1 解析 一元二次方程的概念 考点1 解：由题意得：||,且， ∴，，综上 已知关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ） A. 或 B. C. 　D. 例2 解析 1.一般形式，注意是常考的考点. 2.一元二次方程化为一般形式时，尽量让二次项系数为正，然后再去区分二次项，一次项的系数和常数项. 3.一元二次方程的根就是解，如果知道其中一个解，求方程中另外一个字母的值时，直接代入即可. 注意事项 知识梳理 知识点2 一元二次方程的解法 1.基本思路 一元二次方程 两个一元一次方程 原一元二次方程的解 得两个一元一次方程的解 降次 转化 解方程 2.直接开平方法 适合形如的一元二次方程 当时，则=，2= ，此时方程有两个不相等的实数根； 当时，则，此时方程有两个相等的实数根 当时，则方程无实数根. 3.配方法 ❶实质：将方程化为的形式，再用直接开平方法求解； ❷依据：； 例如： ❸步骤： 移项→二次项系数化为1→配方→求解 4.公式法 求根公式的使用条件： 且 5.因式分解法 知识梳理 知识点2 一元二次方程的解法 依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0， 即若，则或. 利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0. 易错提醒 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ❶将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； ❷将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； ❸令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ❹最后求出， . 解：移项得： 直接开平方得： 即，, 解方程： 典型例题 例3 解析 一元二次方程的解法 考点2 方程的根是（ ） A. B. C. D. 例4 解：原方程可变形为 即： ∴或即 故选C 解:（1）原方程可变形为： 即： 配方得： 直接开平方得： 解得： 用适当方法解下列方程：（1）（2） 典型例题 例5 解析 一元二次方程的解法 考点2 解:（2）原方程可变形为： 即：或 解得： 本题主要运用十字相乘法解方程 解:（1）∵ ∴ 所以该方程无实数根 用公式法解方程：（1）（2） 典型例题 例6 解析 一元二次方程的解法 考点2 解:（2）∵ ∴ 所以 ∴ 一元二次方程的解法灵活运用：1．直接开平方法；2．配方法；3.因式分解法（注：要灵活运用十字相乘法）；4.公式法（注：先对方程的根的情况进行判断）注意：具体使用什么方法根据方程的特点进行选择. 解题通法 根的判别式 从根的判别式到公式法 知识梳理 知识点3 根的判别式 一元二次方程有两个不相等的实数根； 一元二次方程有两个相等的实数根； 一元二次方程无实数根； 1 公式法 2 . 解：因为一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴解得且； 故选：A． 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(     ) A. 且 B. C. 且 D. 典型例题 例7 解析 根的判别式 考点3 （1）证明：， 方程总有两个实数根． （2）解：解方程得，， 方程有一个根小于， ，，即的取值范围为． 若关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根小于，求的取值范围． 典型例题 例8 解析 根的判别式 考点3 1．用根的判别式判断出来方程根的情况后，解方程的根时要注意检验是否一致，如果不一致要即时去检查哪个环节有问题. 2．配方时要注意方程左右两边都要同时加上一个数，整理后直接开平方即可. 韦达定理 知识梳理 知识点4 与系数的关系（韦达定理） 对于方程，可以利用求根公式得到方程的根为 ，. 所以，. ❶一元二次方程根与系数关系的使用条件：且 ❷当一元二次方程的二次项系数为1时，如其两根关系为：， ❸以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 ❹运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定、、的值. 易错提醒 解：由题意可得： , ∴ 已知、是方程的两个根，则 . 典型例题 例9 解析 根与系数的关系 考点4 解：由根与系数的关系得到，， ，，， ，， 故答案为：. 已知关于的一元二次方程，若该方程的两个实数根分别为，，且，则的值为_________． 例10 解析 6 3 求值时要看清方程的系数的正负号，进而求出两根之和和两根只差. 常见问题 知识梳理 知识点5 一元二次方程的应用 ❶变化率问题： 增长/降低 的基础数 增长/降低的次数 增长/降低 的变化率 增长/降低 后的数量 ❷利润问题： 利润=售价-进价； 利润率=利润/进价×100% 总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量. ❸循环问题： 单循环（如握手问题）： 双循环（如写信问题）： 其中为人数 ❹面积问题： (a−2x)(b−2x)（x为空白部分的宽） 陕西是面食之乡，其中以“臊子面”最为有名，它柔软光滑、易于消化，与北京炸酱面、河南烩面、武汉热干面、四川担担面被誉为我国五大面食西安“面霸”餐馆一份臊子面成本价为7元，若每份卖12元，平均每天销售160份，若价格每提高1元，平均每天少销售10份，每份臊子面价格是多少元时，“面霸”餐馆能实现每天1080元的利润？ 典型例题 例11 一元二次方程的应用 考点5 解：设当每份臊子面提高元时，每天的销量为份，每份的利润为元，则每份臊子面价格是元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，，当时，； 当时，； 答：每份臊子面价格是16元或19元时，“面霸”餐馆能实现每天元的利润．  解析 一元二次方程的应用类型题 1.求增长率类型题，注意题目中是否有累计的意思.翻一番即2倍，翻两番即4倍. 2.几何图形求面积类问题；切记有重叠的部分，①总面积先减小路面积，后加重叠部分多减去的，②平移后直接求面积. 3.球赛或握手问题，要注意是单循环还是双循环.单循环场数是要除以2. 再见 $