湖北省武昌实验中学2025-2026学年高一数学下学期第二次月考模拟卷

2025-2026学年高一数学下学期第二次月考模拟卷 （测试范围：第五章—第八章） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知复数z满足i•z+2＝2i，则|z|＝（　　） A． B．2 C．4 D．8 2．（　　） A． B．1 C． D．2 3．已知向量，满足，则的值为（　　） A．4 B．10 C．16 D． 4．如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△ABC，已知A′C′＝2，B′C′＝1，现将原△ABC饶AB旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为（　　） A． B． C． D． 5．如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN∥平面ABC的是（　　） A． B． C． D． 6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，BC的中点，则直线EF与A1C1所成的角为（　　） A． B． C． D． 7．在斜△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A+bsinB﹣csin C＝4bsinBcosC，CD是角C的角平分线，且CD＝b，则cosC＝（　　） A． B． C． D． 8．已知与是平面内两个非零向量，，，∠BAC＝60°，点P是∠BAC平分线上的动点．当取最小值时，的值为（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列四个命题中，真命题是（　　） A．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线． B．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． C．若直线m，n相交，α是平面且m∥α，则直线n不在平面α内． D．若α是平面，直线l1⊂α，直线l2∥α，则l1∥l2． 10．有下列说法，其中正确的说法为（　　） A．若，，则 B．两个非零向量、，若，则与垂直 C．若点G为△ABC的重心，则 D．若，S△AOC，S△ABC分别表示△AOC、△ABC的面积，则S△AOC：S△ABC＝3：5 11．M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，下列结论正确的是（　　） A．MN∥平面ABD B．异面直线AC与MN所成的角为定值 C．在二面角D﹣AC﹣B逐渐变小的过程中，三棱锥D﹣ABC外接球的半径先变小后变大 D．若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则∠ABC的取值范围是（0，） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 　． 13．△ABC中，若（bcosC+ccosB）cosA＝asinA，a＝4，则△ABC的面积的取值范围　 ． 14．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形且∠DAB，AA1⊥底面ABCD，AA1，点P是四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1表面上的一个动点，且直线AP与CC1所成的角为，则点P的轨迹长度为_____________　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题13分）如图，在菱形ABCD中，，． （1）若，求3x+2y的值； （2）若菱形ABCD的边长为6，求•的取值范围． 16．（本小题15分）设函数f（x）sin2ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0），且y＝f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为． （1）求ω的值； （2）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值． 17．（本小题15分）如图所示，正四棱锥P﹣ABCD，PA＝1，底面边长，M为侧棱PA上的点，且PM＝3MA． （1）求正四棱锥P﹣ABCD的体积； （2）若S为PB的中点，证明：PD∥平面SAC； （3）侧棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面MBD，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 18．（本小题17分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a2﹣b2＝bc． （1）求证：A＝2B； （2）若b＝1，求a边的范围； （3）求的取值范围． 19．（本小题17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥PD，且AD＝4AB＝4，PA＝2，，点E为AD中点． （1）求证：平面PAD⊥平面ABCD； （2）求二面角P﹣CE﹣B的正切值； （3）点F为对角线AC上的点，且FG⊥PB，垂足为G，求FG与平面ABCD所成的最大角的正弦值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第二次月考模拟卷 （测试范围：第五章—第八章） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知复数z满足i•z+2＝2i，则|z|＝（　B　） A． B．2 C．4 D．8 【解析】 由i•z+2＝2i，得i•z＝﹣2+2i，则z，得|z|． 2．（　C　） A． B．1 C． D．2 【解析】 2sin（15°+30°） ． 3．已知向量，满足，则的值为（　A　） A．4 B．10 C．16 D． 【解析】 因为向量，满足，所10，所以，所以． 4．如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△ABC，已知A′C′＝2，B′C′＝1，现将原△ABC饶AB旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为（　C　） A． B． C． D． 【解析】 由题意水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△ABC，已知A′C′＝2，B′C′＝1，可得△ABC的图形如图所示，△ABC为直角三角形，其中AC＝A′C′＝2，BC＝2B′C′＝2，则，则△ABC绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体可看作两个以底面半径为，高为的圆锥组合而成．故该几何体的体积为． 5．如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN∥平面ABC的是（　D　） A． B． C． D． 【解析】 对于A：如图所示，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得MN∥EF∥AC，可得直线MN∥平面ABC，能满足；对于B：如图所示，作出完整的截面ABDCEF，由正方体的性质可得MN∥BF，可得直线MN∥平面ABC，能满足；对于C：如图所示，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得MN∥BD，可得直线MN∥平面ABC，能满足；对于D：如图所示，作出完整的截面，如图ABNMHC，可得MN在平面ABC内，不能得出平行，不能满足． 6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，BC的中点，则直线EF与A1C1所成的角为（　A　） A． B． C． D． 【解析】 如图所示，取AB的中点G，连接GE，GF，连接AC，因为G，F分别为AB，BC的中点，所以GF∥AC，又AC∥A1C1，所以GF∥A1C1，则∠EFG或其补角为异面直线EF与A1C1所成的角，因为ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，则△EFG为正三角形，所以，故直线EF与A1C1所成的角为． 7．在斜△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A+bsinB﹣csin C＝4bsinBcosC，CD是角C的角平分线，且CD＝b，则cosC＝（　B　） A． B． C． D． 【解析】 如图所示，∵asin A+bsinB﹣csin C＝4bsinBcosC，∴由正弦定理得a2+b2﹣c2＝4b2cosC＝4b2•，即1，则a＝2b，∵CD是角C的角平分线，且CD＝b，∴由三角形的面积公式得S△ACD+S△BCD＝S△ABC，即b•bsina•bsina•bsinC，即b2sin2b2sin2b2•2sincos，即1+2＝4cos，即cos，即cosC＝2cos21＝2×（）2﹣1＝21 8．已知与是平面内两个非零向量，，，∠BAC＝60°，点P是∠BAC平分线上的动点．当取最小值时，的值为（　D　） A． B． C． D． 【解析】 如图所示，以A为原点，AC所在直线为x轴，过点A作AC的垂线为y轴建立平面直角坐标系，因为，，∠BAC＝60°，所以，C（3，0），因为AP平分∠BAC，所以直线AP的方程为，则设，所以，，，所以，所以，则当时，取最小值，此时，则． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列四个命题中，真命题是（　BC　） A．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线． B．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． C．若直线m，n相交，α是平面且m∥α，则直线n不在平面α内． D．若α是平面，直线l1⊂α，直线l2∥α，则l1∥l2． 【解析】 如图所示，依次分析选项：对于A：例如长方体对面的两条对角线就是共面的，不合题意；对于B：设a∩b＝A，b∩c＝B，a∩c＝C，A，B，C不重合，易知a，b可确定唯一平面α，又B∈b，C∈a，所以B∈α，C∈α，又B∈c，C∈c，所以c⊂α，符合题意；对于C：设m∩n＝P，m∥α，所以P∉α，故直线n不在平面α内，符合题意；对于D：因为直线l1⊂α，直线l2∥α，则l1∥l2或l1与l2异面，不符合题意． 10．有下列说法，其中正确的说法为（　BCD　） A．若，，则 B．两个非零向量、，若，则与垂直 C．若点G为△ABC的重心，则 D．若，S△AOC，S△ABC分别表示△AOC、△ABC的面积，则S△AOC：S△ABC＝3：5 【解析】 对于A：若，则，成立，但不一定成立，故A错误；对于B：由，可得，整理得，又，均为非零向量，故与垂直，故B正确；对于C：若点G为△ABC的重心，延长AG与BC交于M，则M为BC的中点，如图所示：所以，所以，故C正确；对于D：取AC中点为D，如图所示，则，由，可得，即， 所以O，B，D三点共线，且，故S△AOC：S△ABC＝3：5，故D正确． 11．M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，下列结论正确的是（　ABD　） A．MN∥平面ABD B．异面直线AC与MN所成的角为定值 C．在二面角D﹣AC﹣B逐渐变小的过程中，三棱锥D﹣ABC外接球的半径先变小后变大 D．若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则∠ABC的取值范围是（0，） 【解析】 对于A：∵M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，∴MN为△BCD的中位线，则MN∥BD，∵MN⊄平面ABD，BD⊂平面ABD，∴MN∥平面ABD．故A正确；对于B：如图所示，取AC的中点O，连接BO，DO，则AC⊥DO，AC⊥BO，又BO∩DO＝O，∴AC⊥平面BDO，则AC⊥BD，∵MN∥BD，∴AC⊥MN，即异面直线AC与MN所成的角为定值90°．故B正确；对于C：当平面DAC与平面ABC重合时，三棱锥D﹣ABC的外接球即为以△ABC外接圆圆心为球心，外接圆半径为球半径．当二面角D﹣AC﹣B逐渐变大时，球心离开平面ABC，但是球心在底面投影仍为△ABC外接圆圆心．故二面角D﹣AC﹣B逐渐变小的过程中，三棱锥D﹣ABC外接球的半径一直变小．故C错误；对于D：如图所示，过A作AH⊥BC，垂足为H．若∠ABC为锐角，H在线段BC上，若∠ABC为直角，则H与B重合，若∠ABC为钝角，则H在线段CB的延长线上．若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，∵AH⊥BC，∴BC⊥平面AHD，由线面垂直的性质可知，CB⊥HD．若∠ABC为直角，H与B重合，∴CB⊥BD，在△CBD中，∵CB＝CD，∴CB⊥BD不可能成立，即∠ABC为直角不可能成立；若∠ABC为钝角，H在线段CB的延长线上，则在原平面图菱形ABCD中，∠DCB为锐角，由于立体图中DB＜DO+OB，则立体图中∠DCB一定小于平面图中的∠DCB，故∠DCB为锐角，又CB⊥HD，故点H在线段BC上，与H在线段CB的延长线上矛盾，因此∠ABC不可能是钝角．综上可知：∠ABC的取值范围是（0，），故D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 　　 ． 【解析】 由已知，在方向上的投影向量的坐标为． 13．△ABC中，若（bcosC+ccosB）cosA＝asinA，a＝4，则△ABC的面积的取值范围为________ ．（0，4]　 【解析】 因为（bcosC+ccosB）cosA＝asinA，所以（sinBcosC+sinCcosB）cosA＝sinAsinA， 即sinAsinA，又因为A+B+C＝π，则sin（B+C）＝sinA，又因为sinA≠0，所以，即，又因为0＜A＜π，所以，因为a＝4，所以由正弦定理可得：，所以，，所以 ，因为，所以，所以，所以△ABC的面积的取值范围为（0，4]． 14．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形且∠DAB，AA1⊥底面ABCD，AA1，点P是四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1表面上的一个动点，且直线AP与CC1所成的角为，则点P的轨迹长度为 　　 ．4 【解析】 如图所示，因为CC1∥AA1，直线AP与CC1所成的角为，所以直线AP与AA1所成的角为，则线段AP围成几何体为以为AA1轴且母线与轴夹角为30°的圆锥在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中体内的部分，则点P轨迹为A1B1C1D1平面内以为A1圆心的圆弧再加线段AN和线段AM，圆心角∠MA1N＝∠DAB，因为AA1，且AA1⊥底面ABCD，直线AP与AA1所成的角为，所以MA1＝NA1tan1，则弧长为1，AN＝AM＝2，即点P的轨迹长度为4． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题13分）如图，在菱形ABCD中，，． （1）若，求3x+2y的值； （2）若菱形ABCD的边长为6，求•的取值范围． 【解析】 （1）因为，，所以，，所以，，故． （2）•＝﹣24+9+6cos，∵cos∈（﹣1，1），∴的取值范围：（﹣21，﹣9）． 16．（本小题15分）设函数f（x）sin2ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0），且y＝f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为． （1）求ω的值； （2）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值． 【解析】 （1）函数f（x）sin2ωx﹣sinωxcosωx ．因为y＝f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，故周期为π，又ω＞0，所以，解得ω＝1； （2）由（1）可知，f（x）＝﹣sin（2x），当时，，所以，因此，﹣1≤f（x），所以f（x）在区间[]上的最大值和最小值分别为：． 17．（本小题15分）如图所示，正四棱锥P﹣ABCD，PA＝1，底面边长，M为侧棱PA上的点，且PM＝3MA． （1）求正四棱锥P﹣ABCD的体积； （2）若S为PB的中点，证明：PD∥平面SAC； （3）侧棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面MBD，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【解析】 （1）连接AC，BD，设AC∩BD＝O，连接PO，则PO⊥平面ABCD．Rt△POA中，PA＝1，，，所以． （2）证明：如图所示，易知O为AC的中点，又S为PB的中点，所以SO∥PD，又SO⊂平面SAC，PD⊄平面SAC，所以PD∥平面SAC； （3）存在，．理由如下：作AP中点F，连结EF，EC，CF，因为，所以EF∥MD，又EF⊄平面MBD，MD⊂平面MBD，所以EF∥平面MBD，又，所以MO∥CF，又CF⊄平面MBD，MO⊂平面MBD，所以CF∥平面MBD，又CF∩EF＝F，所以平面CEF∥平面MBD，又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面MBD． 18．（本小题17分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a2﹣b2＝bc． （1）求证：A＝2B； （2）若b＝1，求a边的范围； （3）求的取值范围． 【解析】 （1）证明：因为a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+bc，所以c﹣b＝2bcosA，由正弦定理可得sinC﹣sinB＝2sinBcosA，又因为sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，代入可得sinAcosB﹣cosAsinB＝sinB， 所以sin（A﹣B）＝sinB，因为0＜A，B＜π，所以sinB＞0，所以0＜A﹣B＜π，所以A﹣B＝B或A﹣B+B＝π，所以A＝2B或A＝π（舍去），所以A＝2B． （2）因为△ABC为锐角三角形，A＝2B，所以C＝π﹣3B，因为，解得，又b＝1，故． （3）由（2）知．因为，令sinA＝t，所以在上单调递增，所以，所以的取值范围为． 19．（本小题17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥PD，且AD＝4AB＝4，PA＝2，，点E为AD中点． （1）求证：平面PAD⊥平面ABCD； （2）求二面角P﹣CE﹣B的正切值； （3）点F为对角线AC上的点，且FG⊥PB，垂足为G，求FG与平面ABCD所成的最大角的正弦值． 【解析】 （1）证明：因为PA⊥PD，所以，则PC2＝PD2+CD2＝13，所以CD⊥PD，又因为CD⊥AD，PD∩AD＝D，PD、AD⊂平面PAD，CD⊥平面PAD，CD⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD； （2）侧棱PA⊥PD，点E为AD中点，所以AE＝PE＝2，又因为PA＝2，所以△PAE为正三角形，取AE中点H，则PH⊥AD，AH＝1，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， PH⊂平面PAD，所以PH⊥平面ABCD，如图所示，过点H作HQ⊥CE交CE延长线于点Q，连接HQ，PQ，因为CQ⊂平面ABCD，所以PH⊥CQ，又HQ⊥CQ，PH∩HQ＝H，PH、HQ⊂平面PHQ，所以CQ⊥平面PHQ，又PQ⊂平面PHQ，所以PQ⊥CQ，根据定义∠PQH即为二面角P﹣CE﹣B的平面角，因为，所以． （3）如图所示，作GI⊥平面ABCD，则GI∥PH，BH为PB在平面ABCD内的射影， 所以点B，I，H共线，再在平面PAB作GJ⊥PB交AB于点J，又因为FG⊥PB，FG∩GJ＝G，FG、GJ⊂平面GFJ，所以PB⊥平面GFJ，设直线FJ交直线BH于点L，则BG⊥FJ，又因为GI⊥FJ，GI∩BG＝G，GI、BG⊂平面BGL，所以FJ⊥平面BGL，BL⊂平面BGL，得FJ⊥BL，所以IL≤IF，所以∠GFI≤∠GLI＝90°﹣∠GBL，又因为，所以FG与平面ABCD所成的最大角的正弦值为，当点F为线BH与AC的交点时取到最大角． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/28 10:29:00；用户：15972902576；邮箱：15972902576；学号：21498003 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $