湖北武昌实验中学2025-2026学年高一下学期数学第一次月考模拟试卷

2025-2026学年高一数学下学期第一次月考模拟卷 （测试范围：第五、六章） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点，则sinα＝（　　） A． B． C． D． 2．若向量，，，且A，C，D三点共线，则m＝（　　） A． B． C． D． 3．已知平面向量（1，﹣2），（6，8），则在方向上的投影向量坐标为（　　） A．（2，﹣4） B． C．（﹣2，4） D． 4．如图，在四边形ABCD中，，，设，，则等于（　　） A． B． C． D． 5．计算：•（　　） A． B． C． D． 6．已知平面向量满足，，且，则（　　） A． B． C．1 D．2 7．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．若g（x）的最小正周期为2π，且g（），则f（）＝（　　） A． B． C．-2 D．2 8．已知平面向量，，，且．已知向量与所成的角为60°，且对任意实数t恒成立，则的最小值为（　　） A． B． C． D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是（　　） A．若a2+b2﹣c2＞0，则△ABC一定是锐角三角形 B．若，则△ABC一定是等边三角形 C．若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形 D．若acosB+bcosA＝a，则△ABC一定是等腰三角形 10．函数的部分图象如图所示，将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法正确的有（　　） A．是g（x）的一条对称轴 B．g（x）在上单调递增C．g（x）的一个对称中心为 D．是偶函数 11．已知点O为△ABC所在平面内一点，满足，（其中λ，μ∈R）（　　） A．当λ＝μ时，直线OC过边AB的中点 B．若λ＝2，μ＝3时，△AOB与△AOC的面积之比为2：3 C．若，且λ＝μ＝1，则 D．若，且，则λ，μ满足λ2+μ2＝1 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．设向量（m，1），（1，2），且||2＝||2+||2，则m＝　 　 ． 13.已知，若，则α＝ 　 ． 14．已知O为△ABC的外心，若，则m的最大值为 　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题13分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC． （1）求A； （2）若a+b＝2c，求sinC． 16．（本小题15分）已知函数f（x）＝4tanxsin（x）cos（x）． （1）求f（x）的定义域与最小正周期； （2）讨论f（x）在区间[，]上的单调性． 17．（本小题15分）如图，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，E是边BC的中点，点D在边AB上，且满足与CD交于点P． （1）试用，表示和； （2）若，求b． 18．（本小题17分）已知向量（cos，sin），（cos，﹣sin），函数f（x）•m||+1，． （1）若f（x）的最小值为﹣1，求实数m的值； （2）是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 19．（本小题17分）设O为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为f（x）＝asinx+bcosx称为函数f（x）＝asinx+bcosx的“相伴向量“． （1）设函数，求函数g（x）的相伴向量； （2）记的“相伴函数“为f（x），若方程在区间[0，2π]上有且仅有四个不同的实数解，求实数k的取值范围； （3）已知点M（a，b）满足a2﹣4ab+3b2＜0，向量的“相伴函数”f（x）在x＝x0处取得最大值，当点M运动时，求tan2x0的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考模拟卷 （测试范围：第五、六章） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点，则sinα＝（　A　） A． B． C． D． 【解析】因为在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点，则sinα． 2．若向量，，，且A，C，D三点共线，则m＝（　B　） A． B． C． D． 【解析】向量，，，且A，C，D三点共线，得∥，又，得2（m+1）﹣5m＝0，解得． 3．已知平面向量（1，﹣2），（6，8），则在方向上的投影向量坐标为（　C　） A．（2，﹣4） B． C．（﹣2，4） D． 【解析】因为，则，， 所以在方向上的投影向量坐标为． 4．如图，在四边形ABCD中，，，设，，则等于（　C　） A． B． C． D． 【解析】 因为，，所以 ． 5．计算：•（　B　） A． B． C． D． 【解析】因为，所以原式的值为． 6．已知平面向量满足，，且，则（　D　） A． B． C．1 D．2 【解析】已知平面向量满足，，且，则，即，所以，又，且，所以． 7．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．若g（x）的最小正周期为2π，且g（），则f（）＝（　A　） A． B． C．-2 D．2 【解析】∵f（x）是奇函数，∴φ＝0，则f（x）＝Asin（ωx）将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．即g（x）＝Asin（ωx）∵g（x）的最小正周期为2π，∴2π，得ω＝2，则g（x）＝Asinx，f（x）＝Asin2x，若g（），则g（）＝AsinA，即A＝2，则f（x）＝2sin2x，则f（）＝2sin（2）＝2sin2， 8．已知平面向量，，，且．已知向量与所成的角为60°，且对任意实数t恒成立，则的最小值为（　D　） A． B．4 C． D． 【解析】已知平面向量，，，且．已知向量与所成的角为60°，且对任意实数t恒成立，则对任意实数t恒成立，又，则对任意实数t恒成立，则，即，则，又，则的最小值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是（　BD　） A．若a2+b2﹣c2＞0，则△ABC一定是锐角三角形 B．若，则△ABC一定是等边三角形 C．若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形 D．若acosB+bcosA＝a，则△ABC一定是等腰三角形 【解析】若a2+b2﹣c2＞0，故，解得C为锐角，并不能说明△ABC一定是锐角三角形，故A错误；由于，利用正弦定理：，整理得tanA＝tanB＝tanC，利用正切函数的性质，所以A＝B＝C，所以△ABC为等边三角形，故B正确；若acosA＝bcosB，利用正弦定理sin2A＝sin2B，所以A+B或A＝B，故△ABC为等腰三角形或直角三角形，故C错误；若acosB+bcosA＝a，利用正弦定理：sinAcosB+sinBcosA＝sinA，所以sin（A+B）＝sinC＝sinA，故A＝C，所以△ABC为等腰三角形，故D正确 10．函数的部分图象如图所示，将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法正确的有（　AD　） A．是g（x）的一条对称轴 B．g（x）在上单调递增 C．g（x）的一个对称中心为 D．是偶函数 【解析】由f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象知，A，最小正周期为T＝4×（）＝π，所以ω2，所以f（）sin（2φ）＝0，即φ＝kπ，解得φkπ，k∈Z．因为|φ|，所以φ，f（x）sin（2x）．所以g（x）sin[2（x）]sin（2x）．对于A，当时，，选项A正确；对于B，g（x）的单调递增区间为，解得，当k＝0时，故g（x）在上单调递增，在上单调递减，选项B错误；对于C，，选项C错误；对于D，，所以是偶函数，选项D正确． 11．已知点O为△ABC所在平面内一点，满足，（其中λ，μ∈R）（　AD　） A．当λ＝μ时，直线OC过边AB的中点 B．若λ＝2，μ＝3时，△AOB与△AOC的面积之比为2：3 C．若，且λ＝μ＝1，则 D．若，且，则λ，μ满足λ2+μ2＝1 【解析】对于A，设AB的中点为D，当λ＝μ时，λμ2λ，即O，C，D三点共线，直线OC过边AB的中点，选项A正确；对于B，延长OA至A′，使OA′＝3OA，延长OB至B′，使OB′＝2OB，连接A′B′，设其中点为E，连接OE并延长至C'，使EC′＝EO，连接A′C′，B′C′，则四边形OA′C′B′是平行四边形，所以23，λ＝2，μ＝3时，23，所以，即C，O，C′三点共线，且，根据同底等高三角形面积相等，则S△AOC＝S△AOC′＝S△AOB′＝2S△AOB，即△AOB与△AOC的面积之比为1：2，选项B错误；对于C，由于且λ＝μ＝1时，，故O为△ABC的外心和重心，故△ABC为等边三角形，则∠BAO＝30°，由可得，故，选项C错误；对于D，因为，且，由得，，所以，即λ2+μ2＝1，选项D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．设向量（m，1），（1，2），且||2＝||2+||2，则m＝　　 ．﹣2 【解析】||2＝||2+||2，可得•0．向量（m，1），（1，2），可得m+2＝0，解得m＝﹣2． 13．已知，若，则α＝ 　　 ． 【解析】由，所以，又，所以，而，所以． 14．已知O为△ABC的外心，若，则m的最大值为 　　 ． 【解析】因为O为△ABC的外心，若，取AB的中点D，所以，，所以m（cosA+2）（），因为⊥，所以•0， 两边同乘可得2•m（cosA+2）••m（cosA+2）•，可得•c2bccosA＝m（cosA+2）••m（cosA+2）•m（cosA+2）•c2，所以•cbcosA＝m（cosA+2）•c，由正弦定理可得：•sinCsinBcosA＝m（cosA+2）•sinC，即cosB+cosCcosA＝m（cosA+2）•sinC，在△ABC中，cosB＝﹣cos（A+C）＝﹣cosAcosC+sinAsinC，所以sinAsinC＝m（cosA+2）•sinC，而sinC＞0，可得m．当且仅当tan，即tan，即，A时取等号，所以m的最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题13分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC． （1）求A； （2）若a+b＝2c，求sinC． 【解析】（1）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．∵（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsin C． ∴sin2B+sin2C﹣2sinBsinC＝sin2A﹣sinBsinC，∴由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，∴cosA，∵0＜A＜π，∴A． （2）∵a+b＝2c，A，∴由正弦定理得，∴ 解得sin（C），∴C或C，∵0＜C，∴C，∴sinC＝sin（）＝sincoscossin． 16．（本小题15分）已知函数f（x）＝4tanxsin（x）cos（x）． （1）求f（x）的定义域与最小正周期； （2）讨论f（x）在区间[，]上的单调性． 【解析】（1）f（x）的定义域为{x|x}（k∈Z）．f（x）＝4tanxsin（x）cos（x）． ＝4sinxcos（x）＝2sinxcosx+2＝sin2x＝2sin（2x）． 所以，f（x）的最小正周期T （2）利用整体思想，令：（k∈Z），解得：（k∈Z），即函数的单调递增区间为：（k∈Z），同理：函数的单调减区间为：[]（k∈Z），由于x∈[，]，则函数的单调递增区间为 [，]，函数的单调递减区间为[，]． 17．（本小题15分）如图，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，E是边BC的中点，点D在边AB上，且满足与CD交于点P． （1）试用，表示和； （2）若，求b． 【解析】（1）∵，∴，∴32，∴，设λ，∴λ（）λλλλ，又∵P、A、E三点共线，∴λλ＝1，∴，∴． （2）∵（），设t，∴t（）tt，又P、C、D三点共线，∴tt＝1，∴，∴， ∴，又∵，∴，∴b2+b﹣2＝0，∴b＝1或b＝﹣2（舍去）， ∴b＝1． 18．（本小题17分）已知向量（cos，sin），（cos，﹣sin），函数f（x）•m||+1，． （1）若f（x）的最小值为﹣1，求实数m的值； （2）是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）向量（cos，sin），（cos，﹣sin），函数f（x）•m||+1＝coscossinsinm1＝cos（）﹣m1＝cos2x﹣m1＝cos2x﹣2m|cosx|+1（）＝2cos2x﹣2mcosx，∵x∈[，]， 令t＝cosx，则t≤1，则y＝2t2﹣2mt，对称轴t，①当，即m＜1时，当t时，函数取得最小值此时最小值ym＝﹣1，得m（舍），②当1，即1≤m≤2时，当t时，函数取得最小值此时最小值y1，得m，③当1，即m＞2时，当t＝1时，函数取得最小值此时最小值y＝2﹣2m＝﹣1，得m（舍），综上若f（x）的最小值为﹣1，则实数m． （2）令g（x）＝2cos2x﹣2mcosxm2＝0，得cosx或，∴方程cosx或在x∈[，]上有四个不同的实根，则，得，则m，即存在实数m，使函数，有四个不同的零点，实数m的取值范围是m． 19．（本小题17分）设O为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为f（x）＝asinx+bcosx称为函数f（x）＝asinx+bcosx的“相伴向量“． （1）设函数，求函数g（x）的相伴向量； （2）记的“相伴函数“为f（x），若方程在区间[0，2π]上有且仅有四个不同的实数解，求实数k的取值范围； （3）已知点M（a，b）满足a2﹣4ab+3b2＜0，向量的“相伴函数”f（x）在x＝x0处取得最大值，当点M运动时，求tan2x0的取值范围． 【解析】（1）g（x）＝2sin（x）﹣cos（x）sinxcosx，所以函数g（x）的相伴向量（，）． （2）（0，2）的“相伴函数”f（x）＝0×sinx+2×cosx＝2cosx，方程f（x）＝k+1﹣2|sinx|为2cosx＝k+1﹣2|sinx|，x∈[0，2π] 则方程2cosx＝k+1﹣2|sinx|，x∈[0，2π]，有四个实数解，所以k＝2cosx﹣1+2|sinx|，x∈[0，2π]，有四个实数解，令g（x）＝2cosx﹣1+2|sinx|，x∈[0，2π]， ①当x∈[0，π]时，g（x）＝2cosx﹣1+2sinx＝4sin（x）﹣1，②当x∈（π，2π]时，g（x）＝2cosx﹣1﹣2sinx＝﹣4sin（x）﹣1，所以g（x）， 作出g（x）的图象，如图所示，所以函数g（x）与y＝k有四个交点时，实数k的取值范围为[1，3）． （3）向量的“相伴函数”f（x）＝asinx+bcosxsin（x+φ），其中cosφ，sinφ，tanφ，当x+φ＝2kπ，k∈Z，即x0＝2kπφ（k∈Z）时，f（x）取得最大值，所以tanx0＝tan（2kπφ）＝cotφ，所以tan2x0，令m（a≠b），则（3m2﹣4m+1）a2﹣1＝0，所以Δ＝4（3m2﹣4m+1）＞0，解得m＜1，因为a2﹣4ab+3b2＜0，所以1﹣4（）+3（）2＜0，即3m2﹣4m+1＜0，所以m＜1满足3m2﹣4m+1＜0，所以tan2x0（m＜1），因为y＝m单调递增，所以m∈（，0），所以tan2x0∈（﹣∞，）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/17 11:29:57；用户：15972902576；邮箱：15972902576；学号：21498003 学科网（北京）股份有限公司 $