精品解析：河北秦皇岛市青龙满族自治县实验中学等校2026届高三下学期模拟预测数学试题

数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若为虚数单位，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知实数，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若方程只有一个实数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知事件，相互独立，且，，则 A. B. C. D. 6. 设命题，，命题为定义在上的奇函数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 一个底面半径为的圆柱形水槽中装有适量的水，现放入一个木球后，水面上升且无溢出，若木球体积的三分之二在水中，三分之一在水上，那么木球的半径为（ ）. A. B. C. D. 8. 直角中，斜边，，动点满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2026年1-2月份，我国各地区各部门认真落实党中央、国务院决策部署，持续扩大内需、优化供给，生产供给增长加快，市场需求稳中有升，新质生产力成长壮大，经济运行起步有力，实现良好开局.下图是规模以上工业十种有色金属（简称十种金属）同比增速及日均产量的部分统计数据.则（ ） A. 十种金属增速数据的众数是2.9 B. 十种金属增速数据的平均数是3.57 C. 十种金属日均产量数据的极差是 D. 十种金属日均产量数据的80%分位数是23.25 10. 已知数列满足，且，则（） A. ， B. ， C. D. 11. 棱长为2的正方体中，点为的中点，为侧面内一动点（含边界），且满足面，则下面正确的是（） A. 点的轨迹长度为 B. 三棱锥的体积为 C. 直线与平面所成角的正切值最大是2 D. 存在点使平面平面 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为15，则________． 13. 双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且，则该双曲线的离心率是_____. 14. 方程的正整数解的个数为_____.在所有正整数解中随机取一个，则取到的解恰好满足的概率为_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）求函数图象的对称轴方程； （2）在中，角为锐角且，，求面积的最大值. 16. 学校餐厅每天中午都会提供、两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经统计分析发现：学生第一天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率为.而前一天选择了类套餐第二天选择类套餐的概率为，选择类套餐的概率为；前一天选择类套餐第二天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率也是，如此往复，记某同学第天选择类套餐的概率为. （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）记高三某宿舍的3名同学在开学第二天选择类套餐的人数为，求的概率分布列及数学期望. 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面，是的中点. （1）证明：； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知函数，. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，若存在正数使，比较的值与1的大小关系； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线 . （1）求曲线 的方程； （2）已知过椭圆外一点引椭圆的两条切线，过两切点的直线方程为.现过曲线 外一点作曲线 的切线，切点分别为，. （i）证明：直线平分； （ii）直线与直线 交于点，过点作直线的垂线，垂足为，直线，的斜率分别为，，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由得：， ， ， . 2. 若为虚数单位，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，， ，. 3. 已知实数，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 因为，所以， 所以由，因此选项A错误，选项D正确； 若，显然，，此时， 若，显然，，此时， 所以选项BC都不恒成立，所以选项BC都不正确. 4. 已知函数，若方程只有一个实数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，确定分段函数每一段的单调性，再结合图像求解即可． 【详解】解：在上单调递减， 在单调递增， 则的图像如下： 方程只有一个实数解，则的取值范围为． 5. 已知事件，相互独立，且，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题可知， 因为事件，相互独立，所以. 6. 设命题，，命题为定义在上的奇函数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】设命题成立，，， 令，在时成立， 但是对于，不一定成立，所以； 设命题成立，即为定义在上的奇函数，则， 令得，所以； 所以是的必要不充分条件. 7. 一个底面半径为的圆柱形水槽中装有适量的水，现放入一个木球后，水面上升且无溢出，若木球体积的三分之二在水中，三分之一在水上，那么木球的半径为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由木球浸入水中的体积等于水上升的体积列方程求解 【详解】设水上升的体积为，， 设木球浸入水中的体积为，，由列方程：，解得. 8. 直角中，斜边，，动点满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以C为坐标中心建立平面直角坐标系，设P坐标为，根据条件建立的关系式求解 【详解】 以C为坐标中心建立平面直角坐标系，设P坐标为， ，，， ， ， ， ， ， 即， 配方得：， 所以在以为圆心以2为半径的圆上， ，， ,其关于x单调递增， 所以取P为圆的最右边的点可取得最大， 此时，代入得. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2026年1-2月份，我国各地区各部门认真落实党中央、国务院决策部署，持续扩大内需、优化供给，生产供给增长加快，市场需求稳中有升，新质生产力成长壮大，经济运行起步有力，实现良好开局.下图是规模以上工业十种有色金属（简称十种金属）同比增速及日均产量的部分统计数据.则（ ） A. 十种金属增速数据的众数是2.9 B. 十种金属增速数据的平均数是3.57 C. 十种金属日均产量数据的极差是 D. 十种金属日均产量数据的80%分位数是23.25 【答案】ABD 【解析】 【详解】十种金属增速数据排序：2.2, 2.9, 2.9, 2.9, 3.1, 3.8, 3.9, 4.4, 4.7,4.9 出现次数：2.9 出现 3 次，其余一次，众数是 2.9 ，A正确； ，B正确； 十种金属日均产量数据的极差： ，C错误； 数据已经按从小到大排序： 22.0, 22.0, 22.4, 22.5, 22.5, 22.7, 23.2, 23.2, 23.3, 23.3 80%分位数为第8个数和第9个数的平均数：，D正确. 10. 已知数列满足，且，则（） A. ， B. ， C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过递推公式求出前几项发现其周期为4且满足，据此判断各个选项. 【详解】因为，所以：，， ， 由此可发现数列是以4为周期的周期数列，即，且有恒成立. 对于A， ， ， 故，故选项A正确. 对于B，由前面计算可知，则； ，则，此时， 所以，故选项B正确. 对于C，因为数列是以4为周期的周期数列， 且一个周期内的和为，又因为， 所以 ，故选项C正确. 对于D，因为数列是以4为周期的周期数列， 且一个周期内的积为 ，又因为， 所以，故选项D错误. 故选：ABC. 11. 棱长为2的正方体中，点为的中点，为侧面内一动点（含边界），且满足面，则下面正确的是（） A. 点的轨迹长度为 B. 三棱锥的体积为 C. 直线与平面所成角的正切值最大是2 D. 存在点使平面平面 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，通过证明面面平行，进而可得线面平行，进而确定点P的轨迹；对于B，利用等体积法即可判断；对于C，作出线面角，通过分析可知当最短时，最大；对于D，当点为的中点时，平面平面，用向量法证明即可. 【详解】对于A，分别取的中点、，连接、， 分别为的中点，， ∵，且，∴四边形为平行四边形， ，，， 平面，平面，平面， 分别为的中点，，， 又，，，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面， ，平面，∴平面平面， 为侧面内一动点且满足平面， ∴动点的轨迹为，此时平面，∴恒有平面， ，故错误. 对于，，点到平面的距离为正方体的棱长， ∴，故正确. 对于，分别取、的中点M，N，过作平面，连接， 显然点H落在MN上，则为直线与平面所成的角， ，当最短时，最大，显然当时， 最短，由题知是直角边长为1的等腰直角三角形，，故 ，故错误. 对于，当点为的中点时，平面平面，下面证明. 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 为的中点，， ， ， ， ， ，平面，平面 平面，平面平面，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为15，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，然后根据题意列出方程求解n即可. 【详解】的二项展开式的通项为, 依题意, 解得, 故答案为：. 13. 双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，若，且，则该双曲线的离心率是_____. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据，从而得到，再设，得到，，最后应用双曲线定义计算即可得到答案. 【详解】如图所示： 因为， 所以. 设，且， 则，， 再根据双曲线定义得 ， 所以， 又因为， 且，所以， 所以. 14. 方程的正整数解的个数为_____.在所有正整数解中随机取一个，则取到的解恰好满足的概率为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意利用隔板法求所有个数；分、、和四种情况讨论，求满足的个数，结合古典概型运算求解. 【详解】方程的正整数解的个数即为把30个相同的小球放入3个不同的盒中，且每个盒子不空， 利用隔板法可知不同的个数为； 因为，则有： 若，则个数为1； 若，则，其个数为； 若，则，其个数为； 若，设其个数为， 则，解得； 综上所述：满足的个数为， 所以所求概率为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）求函数图象的对称轴方程； （2）在中，角为锐角且，，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的数量积、二倍角公式、辅助角公式得，从而可求对称轴方程； （2）先由求得，由余弦定理求出的关系，再根据均值不等式求的最大值，进而求出面积的最大值. 【小问1详解】 由题意 ， 所以的对称轴为，即. 【小问2详解】 由得 ， 解得或 ，若， 则，与角为锐角矛盾， 若，则 ，取，得， 由余弦定理得 即，由基本不等式得， ，化简得：，等号当且仅当时取得， ，即. 面积的最大值，等号当且仅当时取得. 16. 学校餐厅每天中午都会提供、两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经统计分析发现：学生第一天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率为.而前一天选择了类套餐第二天选择类套餐的概率为，选择类套餐的概率为；前一天选择类套餐第二天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率也是，如此往复，记某同学第天选择类套餐的概率为. （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）记高三某宿舍的3名同学在开学第二天选择类套餐的人数为，求的概率分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 . 【解析】 【分析】（1）先求出的递推公式，再求通项公式 （2）先求再求分布列和期望. 【小问1详解】 ， ， ， 所以是以为首项为公比的等比数列； ， . 【小问2详解】 ， . 分布列为 0 1 2 3 . 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面，是的中点. （1）证明：； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 取线段的中点，连接、、，如下图所示： 因为为正三角形，为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形为菱形，所以， 因为、分别为、的中点，所以，故， 因为，、平面，故平面， 因为平面，故. （2） 【解析】 【分析】（1）取线段的中点，连接、、，推导出平面，可得出，利用菱形的几何性质和中位线的性质推导出，利用线面垂直的判定定理和性质可证得结论成立； （2）推导出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为四边形为菱形，所以， 又因为，故为等边三角形， 又因为为的中点，所以， 又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，则， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 因为， 故平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知函数，. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，若存在正数使，比较的值与1的大小关系； （3）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)先求切线斜率再求切线方程 (2)先证明，再求解 (3)对，，分类讨论即可. 【小问1详解】 ，，，切线斜率 ， ，所以切线方程为：. 【小问2详解】 ， ，存在正数使 ， 即存在正零点，， ，令，解得， 所以在上递增，在上单调递减， ，， ， 由零点存在定理得：在存在零点，再由单调性可知正零点， ，，易知单调递增，，即； 【小问3详解】 恒成立，等价于， 等价于 ，，下面对分类讨论： ①若，不等式化为 ，即， 令，且单调递增， 又因为，所以在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为，所以恒成立； ②若，由①得 又， ， 又由①得， 恒成立； ③若，对不等式取得， 不等式化为，但是时，矛盾； 综上所述，的取值范围是. 19. 平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线 . （1）求曲线 的方程； （2）已知过椭圆外一点引椭圆的两条切线，过两切点的直线方程为.现过曲线 外一点作曲线 的切线，切点分别为，. （i）证明：直线平分； （ii）直线与直线 交于点，过点作直线的垂线，垂足为，直线，的斜率分别为，，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）证明：设、，则，， 根据题意知，直线 方程为， 则有，， ，，， 则 ， 同理可得， 故，即，即直线平分； （ii）是，且该定值为 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程，再进行化简即可得； （2）（i）设、，则可表示出，，，再利用平面向量夹角公式计算出、，可得，即可得直线平分；（ii）联立直线与直线 ，可求出其交点坐标，即可得点坐标，从而可表示出，联立直线 与椭圆方程，消去可得与横坐标交点有关韦达定理，利用韦达定理计算即可得. 【小问1详解】 由题意，动点满足 ， 平方整理得，化简得， 即曲线 的方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii），， 联立，解得， 则，故， 则 ， 联立，消去可得， 恒成立，有，， 则， ， 则 ， ， 故为定值，且该定值为. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $