精品解析：河北承德市双滦区实验中学2026届高三第二学期四月阶段性检测数学试题

2026届高三第二学期四月阶段性检测数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 若复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知变量x，y之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为．若，，则（ ） A. －0.8 B. 0.8 C. －1 D. 1 5. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期是2 C. 关于点中心对称 D. 是奇函数 6. 如图所示，已知中，点依次是边上的三个四等分点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥各个顶点都在半径为的球的球面上，且，，，则球心到平面的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 若函数，，则（　　） A. 函数，的图象关于直线对称 B. ，使得 C. 若，则 D. 若，则 二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的一个周期为 B. 的图像关于直线对称 C. 的图像关于点对称 D. 在有3个零点 10. 过抛物线的焦点作一直线交抛物线于，两点，为坐标原点，则（ ） A. B. C. 直线的斜率满足 D. 11. 设，计算机程序中的命令函数表示不超过的最大整数，例如：，，，若函数，则下列说法正确的有（ ） A. 在上为单调函数 B. 在的无最大值 C. 在恰好有6个零点 D. 若的图像上恰好有4对关于原点对称的点，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为________． 13. 已知，，且，，则的值为_______． 14. 已知是各项均不为零的等差数列的前项和，且．若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是______． 四．解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角所对的边分别是，且. （1）求； （2）若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； （3）若为锐角三角形，且，求的取值范围. 16. 如图，在三棱锥中，侧面PAB是边长为4的正三角形且与底面ABC垂直，点D，E，F，H分别是棱PA，AB，BC，PC的中点． （1）若点G在棱BC上，且BG＝3GC，求证：平面∥平面DHG； （2）若AC＝2，，求二面角的余弦值． 17. 已知函数. （1）求的极值; （2）若函数 （i）证明:当时， （ii）当时，若对任意的，存在，恒成立，证明： 18. 已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数． （1）求动点的轨迹方程； （2）若点，（均在轴右侧）为曲线上两点，且点在第一象限，与不重合，以为直径的圆经过点． （i）证明：直线恒过定点． （ii）若直线与，轴分别交于点，，且为中点，求的值． 19. 元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下： 游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到次，则游戏立即结束并获奖，若投掷次且后仍未累计命中次，则游戏结束，无法获奖； 游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得分，未命中记得分，当累计得分达到分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到分，游戏立即结束，无法获奖. 现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立，已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为. （1）当时，记甲同学投掷次数为，求的分布列及期望； （2）当且时，求甲同学获奖的概率（用含的表达式表示）； （3）记甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为；若乙同学获奖概率不小于，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三第二学期四月阶段性检测数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由， ， 则. 2. 若复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数的几何意义进行求解即可． 【详解】由，则， 所以复数对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 3. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合立方和公式可得，结合二项式的展开式通项公式求结论. 【详解】因为. 的二项展开式的通项公式为. 而， 所以的系数为为. 故选：C. 4. 已知变量x，y之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为．若，，则（ ） A. －0.8 B. 0.8 C. －1 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】算出样本中心点，代入回归方程即可 【详解】样本中心点为,代入,即,解得 故选 ：B 5. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期是2 C. 关于点中心对称 D. 是奇函数 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，周期为2， 但最小正周期不能判定，例如函数满足题设条件，但该函数没有最小正周期，故B错误； 由于周期为2，所以，， 又，得，所以是偶函数，A正确； 由只能推出对称轴为，无中心对称的推导依据，C错误； 令，由是偶函数且， 得，又， 所以，所以为偶函数，D错误. 6. 如图所示，已知中，点依次是边上的三个四等分点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以的中点为核心，通过将所求向量均用及相关的有向线段表示，并利用向量乘积的分配律与平方差公式进行化简，已知结合的长度得到的值，再对向量分解，借助中点性质最终将所求化为的数值计算. 【详解】 ，又为中点，， . 故选：B 7. 已知三棱锥各个顶点都在半径为的球的球面上，且，，，则球心到平面的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作底面的射影，利用条件推理证明点为的中点，利用求出即得. 【详解】 如图，过点作底面的射影，因，则点为的外心， 又因，，故点为的中点， 连接，则三棱锥的外接球的球心必在上， 连接，则， ， 在中，， 因平面，故球心到平面的距离为. 故选：A. 8. 若函数，，则（　　） A. 函数，的图象关于直线对称 B. ，使得 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象的特点判断A；设，分析函数的单调性，求出函数的最值判断B；对于C，由同构结合函数的单调性可得，，可得，设，，利用导数分析其单调性，进而求解判断即可；对于D，由同构结合函数的单调性可得，结合可得，进而判断即可. 【详解】对于A，当时，函数单调递增， 且增长速度比快，， 即在时的图象在上方； 同理，当时，函数单调递增， 且增长速度比快，， 则在时的图象在上方， 所以函数，的图象关于直线对称是不可能的，故A错误； 对于B，设，， 则，而在上单调递增， 因为，， 所以存在唯一的，使得，即，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， （因为，故不能取等号）， 则在上恒成立，故B错误； 对于C，因为，， 则， 因为在上单调递增，且， 所以，即，则， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，即，故C正确； 对于D，由C知，， 因为在上单调递增，且， 所以，又，则，故D错误. 二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的一个周期为 B. 的图像关于直线对称 C. 的图像关于点对称 D. 在有3个零点 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，再根据三角函数的性质逐个判断即可 【详解】， 对A，最小周期为，故也为周期，故A正确； 对B，当时，为的对称轴，故B正确； 对C，当时，，又为的对称点，故C正确； 对D，则， 解得，故在内有共四个零点，故D错误 故选：ABC. 10. 过抛物线的焦点作一直线交抛物线于，两点，为坐标原点，则（ ） A. B. C. 直线的斜率满足 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知条件设出直线方程，直曲联立结合韦达定理得：，将选项涉及斜率，向量均用、、、表示，逐一判断即可. 【详解】设抛物线方程为，焦点为， 过焦点的直线与抛物线有两个交点，所以直线斜率不为， 设直线方程为，直线与抛物线联立有：， 整理有：，根据韦达定理有：， 所以， 所以； 因为，根据焦点弦的性质可知，， 所以A错误，B正确； 因为，，所以， 所以，所以C正确； 因为，， 所以，所以D正确. 故选：BCD 11. 设，计算机程序中的命令函数表示不超过的最大整数，例如：，，，若函数，则下列说法正确的有（ ） A. 在上为单调函数 B. 在的无最大值 C. 在恰好有6个零点 D. 若的图像上恰好有4对关于原点对称的点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意，画出的图象，观察在区间的图像即可判断选项AB；观察在区间上的零点即可判断选项C；通过条件分析出函数与的图象至少有4个交点，观察图像得到，即可判断选项D. 【详解】由题意，画出的图象如图所示： 由在区间上的图象可知，在区间上为非单调函数，A项错误； 在区间上，，没有最大值，B项正确； 无论还是在区间内恒有1个零点， 由图象可知，在区间上有5个零点， 所以在区间上有6个零点，C项正确； 要使的图象上至少存在4对关于坐标原点对称的点， 则函数与，的图象恰好有4个交点， 由图象得，解得，D项正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】求出线段的中点坐标，根据两直线垂直斜率关系可得，再结合可求得离心率. 【详解】 如图，设的垂直平分线与交于点， 由题，，，，则， ，， ， ，化简得，， 由，解得， ，即. 故答案为：. 13. 已知，，且，，则的值为_______． 【答案】24或 【解析】 【分析】先由范围确定、的区间并判断三角函数符号,求出与,再把通分化简为,利用积化和差公式算出,最后代入数值计算得出结果. 【详解】 由角范围得：,. 由,所以 得,. 由,,得. 若,则 . 代入目标式：. 若 . 代入目标式：. 综上所述, 或 14. 已知是各项均不为零的等差数列的前项和，且．若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出等差数列的通项公式，再利用裂项相消法求出表达式，分离参数，转化为求一个递减数列的最大值问题. 【详解】易知，由题意知，即，因为，所以，，所以等差数列的公差为， 所以， 则 ． 所以原不等式等价于存在，使得成立， 即存在，使得成立． 设数列，则是递减数列， 所以数列的最大项是，所以． 故答案为：． 四．解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角所对的边分别是，且. （1）求； （2）若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； （3）若为锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理将等式化简，结合和差倍角的正弦公式即可求得. （2）先用基底向量将表示出，然后两边进行平方，并利用向量数量积的定义求出，最后根据三角形面积公式求出面积. （3）利用正弦定理求出的表达式，然后根据锐角三角形的角的范围求出结果即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 所以， 所以，又因为，所以， 所以，又因为，所以， 所以，故； 【小问2详解】 因为是边上靠近的三等分点， 所以， 所以， 又因为，，， 所以，化简得， 即，解得或（舍去）， 所以； 【小问3详解】 由正弦定理可得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得，· 所以，所以， 所以，所以的取值范围. 16. 如图，在三棱锥中，侧面PAB是边长为4的正三角形且与底面ABC垂直，点D，E，F，H分别是棱PA，AB，BC，PC的中点． （1）若点G在棱BC上，且BG＝3GC，求证：平面∥平面DHG； （2）若AC＝2，，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 因为D，H分别是PA，PC的中点，所以． 因为E，F分别是AB，BC的中点，所以， 综上，，又平面PEF，平面PEF， 所以平面PEF． 由题意，G是CF的中点，又H是PC的中点， 所以，又平面PEF，平面PEF， 所以平面PEF． 由，HG，平面DHG， 所以平面平面DHG． （2）. 【解析】 【分析】（1）由中位线的性质可得、、，再由线面平行的判定可证平面PEF、平面PEF，最后根据面面平行的判定证明结论. （2）应用勾股定理、等边三角形的性质、面面和线面垂直的性质可证、、两两垂直，构建空间直角坐标系，求面BPC、面PCA的法向量，再应用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在△ABC中，AB＝4，AC＝2，，所以， 所以，又，则． 因为△PAB为等边三角形，点E为AB的中点，所以， 又平面平面ABC，平面平面ABC＝AB， 所以平面ABC，面ABC，故． 综上，以E为坐标原点，以EB，EF，EP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 有，，，，则，，． 设平面BPC的法向量为，则，令，则． 设平面PCA的法向量为，则，令，则． 所以．由图知，二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 17. 已知函数. （1）求的极值; （2）若函数 （i）证明:当时， （ii）当时，若对任意的，存在，恒成立，证明： 【答案】（1）极小值为无极大值 （2）（i）证明：依题意 要证当时，，即证当时，. 令，， 则 ， 令，设，， 则， 当时，恒成立. 所以在上为减函数，则，则， 所以在上为增函数，故，结论得证. （ii）证明：依题意，，，则. 令，， 则， 由（2）知所以，所以为增函数， 故，， 故原命题等价于当时，若， ，求需满足的条件. 设，则，， 由得记为， 故当时，，当时，， 因为，故; 又当时，，故存在，使得， 所以当时，，当时，， 又，所以 所以由可知，成立，即. 【解析】 【分析】（1）利用导数工具研究函数的单调性即可由极值定义得解. （2）（i）将问题转化为：当时，.设，，利用导数分析函数的单调性，求其最值即可. （ii）原命题等价于当时，若， ，求需满足的条件.可利用（i）的结论进行证明. 【小问1详解】 依题意，，令，解得 . 故当 时，，单调递减， 当 时，，单调递增. 故的极小值为,无极大值. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 18. 已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数． （1）求动点的轨迹方程； （2）若点，（均在轴右侧）为曲线上两点，且点在第一象限，与不重合，以为直径的圆经过点． （i）证明：直线恒过定点． （ii）若直线与，轴分别交于点，，且为中点，求的值． 【答案】（1） （2） （i）设，以为直径的圆过点， ， 设直线的方程为，联立双曲线方程得： ， 由韦达定理得， ， 分母，，解得或（与不重合，舍去）， 直线的方程为，恒过点； （ii） 【解析】 【分析】（1）利用两点间距离公式，利用距离之比构造方程求解； （2）设直线方程，联立直线与曲线方程结合韦达定理求出坐标关系，利用圆的性质得出垂直关系，结合向量数量积构造方程求出定点坐标；求出相关点坐标，进而求出三角形的面积，从而求出． 【小问1详解】 动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数， ，两边平方得， 展开整理得，即， 动点的轨迹方程为． 【小问2详解】 （i）略 （ii）直线与，轴分别交于点，，且为中点， ，点在第一象限，， ，解得，，解得，即， 故，， ，， ， ， ， ． 19. 元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下： 游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到次，则游戏立即结束并获奖，若投掷次且后仍未累计命中次，则游戏结束，无法获奖； 游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得分，未命中记得分，当累计得分达到分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到分，游戏立即结束，无法获奖. 现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立，已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为. （1）当时，记甲同学投掷次数为，求的分布列及期望； （2）当且时，求甲同学获奖的概率（用含的表达式表示）； （3）记甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为；若乙同学获奖概率不小于，求的最小值. 【答案】（1）分布列： 2 3 4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）写出的取值可能为，再分别计算其概率，最后利用期望公式即可得到答案； （2）计算出的表达式，从而得到的表达式，再利用错位相减法即可得到答案； （3）记表示乙同学的得分，，计算出对应的概率，根据得到不等式，解出即可得到最小值． 【小问1详解】 由题可知：的取值可能为， ，，， 故的分布列为： 2 3 4 故. 【小问2详解】 记事件：甲同学获奖， 显然，，设表示甲投掷的次数，若甲投掷次并获奖， 则， 所以， 令， 所以， 两式相减： ， 即，所以． 【小问3详解】 记表示乙同学的得分，， 记事件：乙同学获奖，表示乙同学得分为分时，最终获奖的概率， 显然，又， 由全概率公式知：， 所以， 那么： ， 即， 同理：， ， ， ， 累加有， 所以， 即，即， 即， 由甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为得：， 由，即，解得， 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $