精品解析：河北武安市第三中学等校2026届高三第二次质量检测数学试题

2026届高三第二次质量检测 数学 （满分：150分 用时：120分钟） 注意事项： 1、答题前，请将自己的学校、姓名等填写在答题卡上． 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 3、回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知条件的解集为，条件是减函数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在中，已知，，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 5. 已知，，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 6. 男生1，2，3号和女生1，2，3号排成一列，男生从前往后号数变小、女生互不相邻的排法种数为（ ） A. 4 B. 16 C. 24 D. 36 7. 若，，则（ ） A. B. 2026 C. 4050 D. 4051 8. 已知椭圆内有点，，过点的直线交椭圆于点，若为的中点．则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若离散型随机变量X的分布列如下表所示，则（ ） X 1 3 5 7 P 0.4 0.3 0.2 m A. B. C. D. 10. 在中，已知，，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN将折起，使点A到点处，若平面平面，则（ ） A. 平面平面 B. 线段上存在点，使得∥平面 C. 四棱锥的体积为 D. 与BN所成角的余弦值为 11. 已知，则（ ） A. 当时，为增函数 B. 当时，的值域为 C. 当时，图象上存在关于原点对称的两点 D. 若，，使得恒为常数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在区间上的值域为______． 13. 已知等差数列的前项和为，若，，k，，且，则的最小值为________．（参考公式：） 14. 已知抛物线上有A，B，C三点，且，轴，若内切圆的半径为，则点B的坐标为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，为的中点，，垂足为． （1）若，求； （2）若，，，求面积． 16. 如图，在三棱台中，平面平面，，，，． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 17. 双曲线的一个焦点坐标为，上、下顶点分别为A，B．已知M是双曲线C上的动点，满足两直线MA，MB的斜率之积为定值． （1）求双曲线C的标准方程； （2）若A是双曲线C上与点的距离最小的点，求m的取值范围． 18. 已知函数，． （1）当时，求的单调递减区间； （2）若在区间上，为增函数，求的取值范围； （3）若时，的最小值为0，求． 19. 甲、乙、丙三人进行远程射击，命中目标的概率分别为，，．现按甲、乙、丙的顺序循环，由甲先射击，规则如下：若当次射击命中，则下一次由接下来的第1个人进行射击；若当次射击未命中，则跳过1个人，下一次由接下来的第2个人进行射击． （1）前3次射击结束，求丙未进行射击的概率； （2）若第次由甲、乙、丙射击的概率分别为，，． ①求； ②若前次射击中，丙射击的次数记为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三第二次质量检测 数学 （满分：150分 用时：120分钟） 注意事项： 1、答题前，请将自己的学校、姓名等填写在答题卡上． 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 3、回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】集合， 集合， 所以，. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以， 所以. 3. 已知条件的解集为，条件是减函数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出命题中的的取值范围，再根据集合间的关系结合充分必要条件定义即可得到答案； 【详解】对命题：， 对命题q：， 因为真包含于， 所以是的必要不充分条件. 4. 在中，已知，，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平面向量的加减法得出，再应用数量积的定义及运算律计算求解． 【详解】由，则，因此， ． 5. 已知，，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】已知，， 由三角恒等式，代入得， 展开化简得， 两边同乘得， 由，代入得， 整理得，即，将代入， 得. 6. 男生1，2，3号和女生1，2，3号排成一列，男生从前往后号数变小、女生互不相邻的排法种数为（ ） A. 4 B. 16 C. 24 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】应用定序及插空法结合排列数计算求解. 【详解】男生1，2，3号和女生1，2，3号排成一列， 男生从前往后编号变小有3，2，1一种排法有4个空，再插空排女生有种排法， 所以男生从前往后号数变小、女生互不相邻的排法种数为. 7. 若，，则（ ） A. B. 2026 C. 4050 D. 4051 【答案】A 【解析】 【分析】发现自变量互为倒数时函数值之和为定值，从而应用分组求和两两配对计算即可. 【详解】因为，又， 且， 所以． 8. 已知椭圆内有点，，过点的直线交椭圆于点，若为的中点．则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，进而根据点差法求得，再结合即可求得的轨迹方程为，并检验直线的斜率不存在时点满足，再根据方程即可求得，最后根据距离公式求解得. 【详解】设， 因为为的中点，所以，， 因为，，两式作差得， 所以，当直线的斜率存在时，， 因为四点共线， 所以，即（），整理得（）， 当直线的斜率不存在时，点的坐标为，满足方程， 所以，点的轨迹方程为，即 所以， 所以， 由方程得，即，解得， 所以，，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若离散型随机变量X的分布列如下表所示，则（ ） X 1 3 5 7 P 0.4 0.3 0.2 m A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据概率之和为1求出判断A；然后结合均值和方差的概念计算判断B，C，应用均值性质求解新的离散型随机变量的均值判断D. 【详解】由题意得，解得，A正确； 由，B选项正确； ，故D选项正确； 因为，故C选项错误； 10. 在中，已知，，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN将折起，使点A到点处，若平面平面，则（ ） A. 平面平面 B. 线段上存在点，使得∥平面 C. 四棱锥的体积为 D. 与BN所成角的余弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，证明平面即可判断选项正误；对于B，如图建立空间直角坐标系，由空间向量知识可判断选项正误；对于C，由题目数据可求得体积；对于D，由B选项分析可判断选项正误. 【详解】对于A，由题可得，结合平面， ，则平面，又平面，则平面平面，故A正确； 对于B，由A分析可得，又M，N分别为AB，AC中点，则， 从而.又平面平面，平面平面，平面，，则平面，又平面，则，从而可得两两垂直，则如图以为原点建立空间直角坐标系.从而： . 假设上存在点E，设，. 则. 又易得平面法向量为，若平面，则， 与假设不符，即不存在相应的E点，故B错误； 对于C，四边形为梯形，其面积为： ，则四棱锥的体积为： ，故C正确； 对于D，由B可得：，则与所成角的余弦值为：，故D错误. 11. 已知，则（ ） A. 当时，为增函数 B. 当时，的值域为 C. 当时，图象上存在关于原点对称的两点 D. 若，，使得恒为常数 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，当时，当时，是增函数，时，是增函数， 且，故为增函数，故A正确； 对于B，当时，若，，此时函数的值域为 若，，此时值域为， 由于，的值域为，故B正确； 对于C， 当时， 若，关于原点对称得到的曲线为， 联立得 ， 即(*)， 设则， 设，那么 所以， 在上单调递减，，即， 所以在上单调递减，故，这与(*)矛盾， 即不存在关于原点对称的两点， 故C错误； 对于D，当时，若恒为常数， 设，那么，则 当时，，方程无解，故不存在； 当时，，则， 设，则， 则在上单调增，， 而，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在区间上的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】先应用辅助角公式化简，再应用正弦函数值域计算求解. 【详解】依题意，函数，， 因为，所以，所以， 在区间上，由于， 所以当时，， 当时，， 所以在区间上的值域为. 13. 已知等差数列的前项和为，若，，k，，且，则的最小值为________．（参考公式：） 【答案】 【解析】 【分析】先应用等差数列求和公式计算得出通项公式，再结合已知条件计算，最后应用函数单调性计算求解最值. 【详解】因为，所以， 设等差数列公差为，则，即得，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，即得，， 枚举所有满足条件的因数对， 且，又因为是单调递增函数且，， 所以当时，， 所以的最小值为. 14. 已知抛物线上有A，B，C三点，且，轴，若内切圆的半径为，则点B的坐标为________． 【答案】 【解析】 【详解】由于轴,设,，,,那么 由,可得 又, 化简得,或(舍去) 所以，,那么点B到直线AC距离为1， 设,那么 ， 由于内切圆的半径为，那么 化简，得， 又, 所以, , 所以，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，为的中点，，垂足为． （1）若，求； （2）若，，，求面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，进而根据余弦定理得，再结合中的边角关系得，，，最后在中求解即可； （2）根据，结合向量模的公式，余弦定理得，进而求得，再结合中的边角关系求得，最后计算面积即可. 【小问1详解】 解：由题设， 所以，根据余弦定理：， 所以，在中，，， ，， 因为为的中点，所以 所以， 所以，在中， 【小问2详解】 解：因为为的中点，所以， 所以 因为， 所以， 因为，，所以，解得， 因为在中，，， 所以， 所以面积为 16. 如图，在三棱台中，平面平面，，，，． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明如下： ，， ，即， 在三棱台中，， ， ，， ，即， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面， ， 又，，则， 平面， 平面，又平面， ，又平面, 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定证明即可； （2）根据垂直关系建立空间直角坐标系，然后将每个点的坐标列出来，根据空间向量的垂直关系，求出平面与平面的法向量的坐标，进而根据空间向量夹角的余弦公式即可求出二面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，平面， 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过作垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系， 所以，，，. 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，不妨取，则， 设平面的一个法向量为， ，不妨取，则 所以. 则二面角的正弦值为． 17. 双曲线的一个焦点坐标为，上、下顶点分别为A，B．已知M是双曲线C上的动点，满足两直线MA，MB的斜率之积为定值． （1）求双曲线C的标准方程； （2）若A是双曲线C上与点的距离最小的点，求m的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标得出，再应用斜率公式求出，联立求解即可得出双曲线的方程； （2）设动点坐标为，再应用两点间距离公式结合二次函数性质及的范围列式计算求解. 【小问1详解】 由双曲线的一个焦点坐标为，可知， 因为，，设，则， 又，即， 所以， 即双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 设动点坐标为在双曲线上，即，且或， ，且或， 的对称轴为， 因为A是双曲线C上与点的距离最小的点， 即当时，取得的最小值， 所以需满足； 所以， 即得m的取值范围为：． 18. 已知函数，． （1）当时，求的单调递减区间； （2）若在区间上，为增函数，求的取值范围； （3）若时，的最小值为0，求． 【答案】（1）； （2）； （3）； 【解析】 【分析】（1）由题已知函数，先求导函数，再令，又解出对应的不等式的解集，可得单调减区间； （2）由为增函数得出在上恒成立，在构造函数，求出导函数得出单调性求出在上的最大值，即可求出实数的取值范围； （3）先求出导函数，再构造函数，应用导函数得出单调性结合分类讨论计算求解. 【小问1详解】 因为函数的定义域为， 当时，，则， 令，即，解得，所以 所以函数的单调递减区间为； 【小问2详解】 因为在区间上，为增函数， 且， 所以在区间上，恒成立， ， 设，则， 是在上是减函数，，即， 所以在上单调递减， ，即的取值范围是. 【小问3详解】 当时，因为，所以， 设，则， 单调递减，单调递增， 又，所以， 又，所以，使得， 当单调递增，； 当单调递减，； 当单调递增，； 当时，在上取最小值为. 当时，因为，不合题意； 当时，因为，不合题意； 综上，. 19. 甲、乙、丙三人进行远程射击，命中目标的概率分别为，，．现按甲、乙、丙的顺序循环，由甲先射击，规则如下：若当次射击命中，则下一次由接下来的第1个人进行射击；若当次射击未命中，则跳过1个人，下一次由接下来的第2个人进行射击． （1）前3次射击结束，求丙未进行射击的概率； （2）若第次由甲、乙、丙射击的概率分别为，，． ①求； ②若前次射击中，丙射击的次数记为，求． 【答案】（1） （2）①，② 【解析】 【小问1详解】 解：设事件A为甲射击命中，事件B为乙射击命中，事件M为前3次射击结束，丙未进行射击， 那么，所以前3次射击结束，丙未进行射击的概率为; 【小问2详解】 ①，又， 所以，，化简得，又， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， ，则， ②设变量为第次丙射击，，， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $