精品解析：河南商丘市华大新高考联盟2026届高三4月联考模拟预测数学试题

数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 记数列的前项和为，若，则当取最小值时，（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】当时，，当时，， 所以取最小值时，. 2. 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，故所求虚部为． 3. 已知全集，集合，则的真子集个数为（ ） A. 3 B. 7 C. 15 D. 31 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，， 故，则的真子集个数为． 4. 已知一组数据1，2，4，6，8，10，的上四分位数为，则的值可能是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据上四分位数的定义求出的范围，结合选项，即可得答案. 【详解】依题意，， 故为该组数据按照从小到大排列后的第6个数， 则. 5. 若双曲线：（，）的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，，则， 即，即，解得， 故所求渐近线方程为． 6. 已知实数，满足，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得，即且， 因为，等价于，等价于， 化简得， 因为，等价于，化简得， 因为，所以，由得. 取，，则，但不成立. 故“”是“”的必要不充分条件. 7. 已知平面向量，，若，且，的终边不关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的垂直可得且，进而可得所求三角函数值. 【详解】因为，且，， 所以，即， 由辅助角公式得，其中. 因为，的终边不关于轴对称，故，的终边不重合， 则，其中，即， 所以. 8. 已知体积为的圆锥的母线与底面的夹角为60°，若体积为的带蓝色颜料的小球在该圆锥内滚动，则在滚动的过程中，圆锥的内侧面（不含底面）被染成蓝色区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过圆锥和小球的体积求出底面半径与球半径，再利用圆锥截面的几何关系，将小球在圆锥内滚动接触的区域转化为圆台侧面，考查立体几何中体积公式、截面分析和圆台侧面积计算的综合应用． 【详解】设圆锥的底面半径为，则，解得， 设小球的半径为，则，解得， 在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如图1所示， 如图2，由于小球的半径， ，则， 又，都是等边三角形，所以，， 则圆台上底面圆的半径为，下底面圆的半径为， 母线长， 其侧面积． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，已知四棱锥，其中底面为正方形，平面，为线段的中点，与交于点，，，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 二面角的余弦值为 D. 直线与所成的角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理可判断A的正误，根据空间垂直关系的转化可判断B的证明，构造面面角或线面角结合余弦定理可判断CD的正误. 【详解】连接，因为，平面，平面， 所以平面，故A正确． 由正方形可得， 而平面，故平面，因平面，故， 因为，平面，所以平面，故B正确． 连接，同理可证平面，而平面，故， 所以为二面角的平面角， 因为平面，平面，故， 故，而，， 则，故C错误． 取的中点，取的中点，连接，，， 则，则直线，所成的角为或其补角， 同理可证平面，而平面，故， 故，因为所在边的中点，故， 故平面，而平面，故， 故，又， 故， 故，则直线与所成的角为60°，故D正确． 10. 已知函数，若的解集为或，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 的图象的对称中心的纵坐标为 D. 不等式的解为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由的解集可得是函数的极值点也是函数的零点，进而可得值及函数解析式，再根据函数的解析式判断函数的单调性及对称中心，以及解不等式可得. 【详解】因为的解集为或，所以为的极值点也是的零点，如图: 由题意得，则，解得，故A正确. 又因为为的零点,所以，解得， 故，则， 当时，，故在上单调递增，故B正确. 假设的图象的对称中心为，则对， ，则， 即，所以,解得， 而， 所以的图象的对称中心的纵坐标为，故C错误. 又因为，得，， 所以，得，故D正确. 11. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，，是椭圆上不同的两点，为坐标原点，则（ ） A. B. 以为直径的圆与以为直径的圆内切 C. 若点，能够关于直线对称，则 D. 若，则的面积的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：通过设点，计算向量点积并结合椭圆方程化简，利用的范围得到点积的取值区间，验证其正确性； 选项B：利用椭圆定义和三角形中位线定理，证明以为直径的圆与以为直径的圆的圆心距等于半径差，从而得出两圆内切； 选项C：通过点差法得到中点与直线的关系，结合中点在椭圆内部的条件，求出的正确范围，判断选项错误； 选项D：设直线方程，利用的条件得到方程，计算三角形面积并求其最值，验证取值范围正确． 【详解】设，则：，， 点积：， 由椭圆方程，代入得：， ，则，故：，故A正确； 设的中点为，， 因为是的中点，所以， 又以为直径的圆的圆心为，半径， 以为直径的圆的圆心为，半径， 所以，所以两圆内切，故B正确； 设，，则的中点，与对称轴垂直，故， 依题意，两式相减可得： ，代入： ， 联立，解得， 故 ，解得，故C错误； 当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为， 由得，所以， 所以，所以. 因为，将用代换可得， 故 ， 当且仅当，即时取等号，因为， 所以，所以， 当直线的斜率不存在或为0时， ， 所以面积的取值范围为，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将编号为1、2、3、4、5的5个小球放入编号为1、2、3、4、5的5个盒子中，每个盒子中仅放1个球，则至少2个小球的编号与盒子的编号一致的概率为______. 【答案】 【解析】 【详解】若有2个小球的编号与盒子的编号一致，则有种； 若有3个小球的编号与盒子的编号一致，则有种； 若有4个小球的编号与盒子的编号一致，此时没有可行的方案，为0种. 若有5个小球的编号与盒子的编号一致，则有1种. 故所求概率. 13. 已知数列和分别是公差为的等差数列和公比为的等比数列，且，若数列的前5项和与数列的前4项和相等，则______. 【答案】76 【解析】 【详解】因为公比为的等比数列，可得，因此， 则，， 故，则， 易知在上单调递增，且， 故，则，，则． 14. 若函数，其中，则曲线的对称中心的坐标为______. 【答案】 【解析】 【详解】依题意，，， 令，则， 令，解得， 而，故， 验证为函数的对称中心： 因为 ， 所以函数的对称中心的坐标为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 研究机构对某省内所有“985工程”院校专业毕业十年的毕业生的年薪情况进行调研，所得数据统计如图所示，已知. （1）求，的值； （2）以频率估计概率，若在所有被调研的毕业生中随机抽取4人，记年薪在万元的人数为，求的分布列以及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列如下表： 0 1 2 3 4 数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的概念，列出方程组，求出结果即可； （2）根据二项分布的性质，求出随机变量的分布列，进而求出期望. 【小问1详解】 依题意可知组距为，则， 解得. 【小问2详解】 依题意可知年薪在万元之间的概率为，随机变量服从二项分布，即； 则， ， ， ， . 分布列如下表所示. 0 1 2 3 4 故. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，. （1）求的值以及的面积； （2）已知点在线段上，若，且，求的值. 【答案】（1）4，2 （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换可得，从而求得，，再由余弦定理求边的值，利用面积公式求解即可； （2）由两角和差公式可得，在和中，由正弦定理得，由向量的线性运算可得，即可得答案. 【小问1详解】 由正弦定理得，， 故. 因为，，所以， 则， 故，， 所以， . 【小问2详解】 如图，， 故. 在中，由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得，， 又因为， 所以， 故， 所以. 所以, 所以, 因为， 所以, 所以. 17. 如图，在四棱台中，四边形为梯形，，，，点在线段上，且平面. （1）求的值； （2）若平面与平面间的距离为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理，以及平行四边形的性质，求出，再根据余弦定理，求出，进而求出结果； （2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出直线方向向量和平面的法向量，根据线面角的向量方法求出结果即可； 【小问1详解】 如图，连接， 因为，所以，，，四点共面. 因为平面，平面平面， 平面，故， 故四边形是平行四边形，所以. 易知，因为， 所以， 所以. 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，所在的直线为轴， 所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 由，得，故. ，， 设为平面的法向量， 则，即， 令，则，故平面的一个法向量为， 故直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知抛物线：（）的焦点为 ，直线与抛物线交于， 两点，当直线的倾斜角为120°且， ， 三点共线时，. （1）求抛物线的方程； （2）若直线过点，点 在抛物线上，且， 关于直线对称，求； （3）已知直线与抛物线的准线交于点，且直线不过点 ，探究：是否为的外角平分线，并说明理由. 【答案】（1） （2） （3）直线是的外角平分线，理由： 直线的斜率为， 直线的方程为， 代入并整理得， 令得，，则. 焦点 的坐标为，直线的方程为， 整理得，则点到直线的距离 ， 同理，点到直线的距离， 由及直线与抛物线的位置关系， 可得直线是的外角平分线. 【解析】 【分析】（1）写出直线的方程，与抛物线联立，用焦点弦公式求出，得到抛物线方程； （2）设直线，联立直线与抛物线方程得韦达定理结果，由对称求 ，结合 在抛物线上求出，用弦长公式和点到直线距离求出面积； （3）求出直线的方程为，分别求出点到直线和的距离，利用角平分线逆定理证明. 【小问1详解】 当直线的倾斜角为且， ， 三点共线时， 直线：， 联立则. 设，，故， 则，故抛物线的方程为. 【小问2详解】 设直线，联立，得， 则，，. 设，则解得，， 则，解得， 则， 则. 【小问3详解】 略 19. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量，叫作把点 绕点逆时针方向旋转 角得到点. （1）将曲线（）绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线是某个函数的图象，求实数的取值范围. （2）已知曲线 ：. （ⅰ）求证：曲线 关于直线对称. （ⅱ）已知直线：，探究：是否存在，，使得直线在曲线 的上方，若存在，分别写出，满足的条件；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：设点在曲线 上，则，所以， 因为点关于直线对称的点为，所以曲线 关于直线对称． （ⅱ）存在，，. 【解析】 【分析】（1）通过旋转变换将曲线是否为函数图像的问题，转化为原曲线与旋转后直线的交点问题，再利用切线不等式分析参数范围，核心是转化与化归思想的应用； （2）（i）利用对称点验证法，通过证明点关于的对称点仍在曲线上，快速完成对称性证明，体现了曲线对称性的定义本质； （ii）通过坐标旋转化简曲线方程，将原复杂曲线转化为更易分析的形式，再结合导数研究函数值域，最终反推直线条件，综合考查了旋转变换、导数应用与不等式恒成立的解题思路． 【小问1详解】 将 和 绕坐标原点顺时针旋转后，分别得到，， 当 时，， 故问题转化为曲线与直线有且仅有一个交点， 令，则， 当时，由切线不等式可知，当且仅当 时，等号成立， 故当时，； 当时，因为，故，当且仅当 时，等号成立． 综上所述，实数的取值范围是． 【小问2详解】 （i）略 （ii）， 将曲线 绕坐标原点顺时针旋转后得到曲线，由旋转公式可得, 则代入曲线 得， 整理得，显然， 故曲线的方程为． 因为，所以， 令，则， 令，得，， 因为当和时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 又，， 当时，，当时，，所以存在唯一零点． 因为，所以不等式的解集为， 所以曲线恒在直线的下方． 将直线绕原点逆时针旋转，可得， 此时点到直线的距离为， 所以，解得，所以． 综上所述，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 记数列的前项和为，若，则当取最小值时，（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知全集，集合，则的真子集个数为（ ） A. 3 B. 7 C. 15 D. 31 4. 已知一组数据1，2，4，6，8，10，的上四分位数为，则的值可能是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 5. 若双曲线：（，）的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数，满足，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知平面向量，，若，且，的终边不关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知体积为的圆锥的母线与底面的夹角为60°，若体积为的带蓝色颜料的小球在该圆锥内滚动，则在滚动的过程中，圆锥的内侧面（不含底面）被染成蓝色区域的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，已知四棱锥，其中底面 为正方形，平面 ，为线段的中点，与交于点，，，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 二面角的余弦值为 D. 直线与 所成的角为 10. 已知函数，若的解集为或，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 的图象的对称中心的纵坐标为 D. 不等式的解为 11. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，，是椭圆上不同的两点，为坐标原点，则（ ） A. B. 以为直径的圆与以为直径的圆内切 C. 若点，能够关于直线对称，则 D. 若，则的面积的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将编号为1、2、3、4、5的5个小球放入编号为1、2、3、4、5的5个盒子中，每个盒子中仅放1个球，则至少2个小球的编号与盒子的编号一致的概率为______. 13. 已知数列和分别是公差为的等差数列和公比为的等比数列，且，若数列的前5项和与数列的前4项和相等，则______. 14. 若函数，其中，则曲线的对称中心的坐标为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 研究机构对某省内所有“985工程”院校专业毕业十年的毕业生的年薪情况进行调研，所得数据统计如图所示，已知. （1）求，的值； （2）以频率估计概率，若在所有被调研的毕业生中随机抽取4人，记年薪在万元的人数为，求的分布列以及数学期望. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，. （1）求的值以及的面积； （2）已知点在线段上，若，且，求的值. 17. 如图，在四棱台中，四边形 为梯形，，，，点在线段上，且平面. （1）求的值； （2）若平面 与平面间的距离为，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知抛物线：（）的焦点为 ，直线与抛物线交于， 两点，当直线的倾斜角为120°且， ， 三点共线时，. （1）求抛物线的方程； （2）若直线过点，点 在抛物线上，且， 关于直线对称，求； （3）已知直线与抛物线的准线交于点，且直线不过点 ，探究：是否为的外角平分线，并说明理由. 19. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量，叫作把点 绕点逆时针方向旋转 角得到点. （1）将曲线（）绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线是某个函数的图象，求实数的取值范围. （2）已知曲线 ：. （ⅰ）求证：曲线 关于直线对称. （ⅱ）已知直线：，探究：是否存在，，使得直线在曲线 的上方，若存在，分别写出，满足的条件；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $