精品解析：四川省南部中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

南部中学高2025级高一下期期中考试 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 注意事项； 1．答题前，考生先将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在平行四边形中，点是对角线上靠近的三等分点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，， 在平行四边形中，. 点是上靠近的三等分点，故. 而，因此. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知，由. 分子分母同除以，得 . 代入， 原式. 3. 已知角的终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的定义结合诱导公式即可求解. 【详解】角的终边经过点， 点到原点距离， ，， 所以.​ 4. 已知单位向量满足则=（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据，即可求解. 【详解】由题意，单位向量，即， 又由，解得. 故选：C. 5. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】余弦函数的单调减区间为. 令，代入得不等式：. ，化简得. 综上，函数的单调减区间为. 6. 已知，若，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式求出，再根据同角三角函数关系求出，利用两角差的余弦公式即可求解. 【详解】因为，，所以，， 又因为，所以，， 所以. 7. 函数的最小值为（ ） A. -1 B. C. -3 D. -5 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 ，其中， 所以的最小值为. 8. 已知锐角满足，则（ ） A. B. 3 C. 2 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，， 解得或，由为锐角，得， 则，所以. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ） A. B. C. 函数为偶函数 D. ， 【答案】ABD 【解析】 【详解】由图象可知，最大值为2，最小值为，且，则， 相邻最高点与最低点的水平距离为，即，解得， ，故， 代入高点，则，故， ，取，得， ，故A正确； ，故B正确； 取，，， 则，不满足偶函数定义，故C错误； ， 对任意恒成立，故D正确． 11. 已知，则下列结论正确的是（   ） A. 的取值范围为 B. 若，则的取值范围为 C. 若且，则最大值为 D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量线性运算可得A；利用可得，结合向量线性运算可得B；借助模长公式与三角换元计算可得C；借助向量数量积公式计算可得D. 【详解】当、、能围成三角形，且、、时，有， 则，当、、共线且同向时，有，故， 故的取值范围为，故A正确； 若，则，则当与反向时，取最大值， ，当与同向时，取最小值，，故取值范围为，故B正确； ，即，则可设，， 则，其中，故最大值为，故C错误； ，由，则， 则，故， 故的最小值为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 因为，所以，， 所以. 13. 已知，且与互相垂直，则_______ 【答案】## 【解析】 【详解】由与垂直，得. 展开得. 代入，，有，化简得. 由，得， 解得，故. 14. 已知向量是单位向量，向量在上的投影向量为，向量在上的投影向量为，则的最小值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据平面向量减法的几何意义，结合投影向量的定义进行求解即可. 【详解】令，过作的垂线，在上任取一点，则，过作的垂线，在上任取一点，则，则． 故答案为：1 三、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知都是锐角，，求． （2）求值： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】（1）因为都是锐角，所以. 已知，由同角三角函数基本关系得：. 已知，同理得：. 由两角差的正弦公式：. 代入数值计算：. （2）通分合并原式：. . . 代入化简得：原式. 16. 已知平面向量，，且 （1）若向量与向量共线，求的值； （2）求的值； （3）求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线定理求解即可. （2）利用向量数量积的运算律及向量的模计算即可. （3）利用两向量的夹角公式计算即可. 【小问1详解】 由向量与向量共线，得， 所以，解得，故向量与向量共线时的值为. 【小问2详解】 由，得， 即，所以. 所以. 【小问3详解】 . . 设向量与夹角为，则. 17. 已知函数． （1）求的解析式和对称轴方程； （2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的单调递增区间． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据二倍角的正弦公式、降幂公式及辅助角公式，可得的解析式，根据正弦型函数对称轴的求法，代入整理，即可得答案. （2）根据平移、伸缩变换的原则，可得的解析式，根据正弦型函数单调性的求法，可得其单调区间，代入求解，综合即可得答案. 【小问1详解】 ， 令，则， 所以对称轴方程为. 【小问2详解】 依题意得，， 令，解得， 又，所以当时，得一个单调增区间为， 当时，得一个单调增区间为， 所以的单调递增区间为． 18. 已知函数的周期是 （1）求函数的解析式； （2）解不等式； （3）若时，方程恰好有两个不同的根，求的取值范围及的值． 【答案】（1） （2） （3）的取值范围为， 【解析】 【分析】（1）先通过三角恒等变换化简函数，结合周期公式求出，进而得到函数解析式； （2）将不等式转化为正弦型不等式，利用正弦函数的单调性求解； （3）通过换元法将的范围转化为的范围，结合正弦函数的图像与性质确定的取值范围和的值. 【小问1详解】 ， 又， . 已知函数周期，且，故，解得. 因此. 【小问2详解】 解不等式，即. 根据正弦函数的图像性质，的解为. 令，代入得： ，解得 故不等式的解集为. 【小问3详解】 令，当时，，方程等价于. 结合在上的图像： 当时，直线与有两个不同的交点，对应两个不同的； 当时，仅有一个交点；当或时，交点数不足2. 因此的取值范围为. 由正弦函数的对称性，若，则，即，整理得，故. 【点睛】方法归纳：本题的核心是将复杂的三角函数式化简为正弦型函数，再结合三角函数的周期性、单调性与图像性质求解问题，常用的技巧有三角恒等变换、换元法与数形结合法. 易错归纳：1. 三角恒等变换中公式记忆错误，如两角和的正弦公式与余弦公式混淆； 2. 解三角不等式时，对正弦函数的区间判断失误； 3. 换元后未准确确定新变量的取值范围，导致的范围求解错误. 19. 已知函数（，，）的部分图像如图所示． （1）求的解析式； （2）求方程的解集； （3）当时，关于x的方程有3个不同实根，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据函数图像，求出周期和，再结合图像上的特殊点求出振幅和，进而求出的解析式； （2）代入解析式求解三角方程，注意写出完整的通解； （3）利用数形结合，将方程根的个数问题转化为函数图像交点个数问题求解. 【小问1详解】 解：由图可知：，所以， 又，，所以，可得， 由图像过点，可得， 所以，，即，. 因为，所以，当时，，因此. 又图像过点，所以，所以， 因此. 【小问2详解】 解：当时，可得，即， 所以或， 解得或， 所以方程的解集为：或. 【小问3详解】 解：将方程化为 ，解得或. 作出函数在的图像，如下图所示， 由数形结合可知，方程有个不同实根，即函数与两条水平直线和的图像有个公共点. 又，所以由图像可知：当满足，即时，函数与两条水平直线和的图像共有个公共点，符合题意；当，即时，此时，函数与两条水平直线和共有个公共点，亦符合题意. 所以，当时，关于的方程有个不同实根时，的取值范围为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南部中学高2025级高一下期期中考试 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 注意事项； 1．答题前，考生先将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在平行四边形中，点是对角线上靠近的三等分点，设，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知单位向量满足则=（ ） A. B. C. D. 2 5. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若，则＝（ ） A. B. C. D. 7. 函数的最小值为（ ） A. -1 B. C. -3 D. -5 8. 已知锐角满足，则（ ） A. B. 3 C. 2 D. 5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ） A. B. C. 函数为偶函数 D. ， 11. 已知，则下列结论正确的是（   ） A. 的取值范围为 B. 若，则的取值范围为 C. 若且，则最大值为 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则___________． 13. 已知，且与互相垂直，则_______ 14. 已知向量是单位向量，向量在上的投影向量为，向量在上的投影向量为，则的最小值为__________． 三、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知都是锐角，，求． （2）求值： 16. 已知平面向量，，且 （1）若向量与向量共线，求的值； （2）求的值； （3）求向量与夹角的余弦值． 17. 已知函数． （1）求的解析式和对称轴方程； （2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的单调递增区间． 18. 已知函数的周期是 （1）求函数的解析式； （2）解不等式； （3）若时，方程恰好有两个不同的根，求的取值范围及的值． 19. 已知函数（，，）的部分图像如图所示． （1）求的解析式； （2）求方程的解集； （3）当时，关于x的方程有3个不同实根，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $