第17章一元二次方程及其应用 单元训练2025-2026学年沪科版数学八年级下册

第17章一元二次方程及其应用综合专练 一、单选题（本大题共10小题.每小题3分.共计30分） 1.下列方程中，属于一元二次方程的是() A.x2-3x+3=0 B.2-y=2 C.2+1=2 6=5 D.+4x 2.一元二次方程-4=0 的一个根是() A.x=2 B. 2 C.x=4 3.已知关于x的方程 x2+(3-k)x-3=0 ,下列说法正确的是() A.k=-3时，方程有两个相等的实数解B.k=3时，方程有一个实数解 C.k=0时，方程无实数解 D.k≠0时，方程总有两个不相等的实数解 4.一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了66次手.若 设这次会议到会的人数为x,依题意可列方程() A.2x(x-1)=66 B.71-x°=66 C.1+x=66 D.x-1)=66 5.已知方程+r+C=0的解是=-2,5=3 ,现给出另一个方程 ax2+2x)+bx2+2x+c=0,则它的实数解是() A.=-3为=1 B.=-1为=3 C.=-2为=3 D.X=-3为=2 6.两个关于的一元二次方程++0=0与r+r+a=0,其中，6C是常数，且 a+c=0,如果x=2024是方程ax2+bx+c=0的一个根，那么下列各数中，一定是方程 试卷第1页，共3页 cx2+bx+a=0 的根的是() 1 1 A.+2024 B.-2024 C.-2024 D.±2024 7.若关于的方程r+hx+c=0a≠0) 满足a-b+c=0 称此方程为“贺岁”方程.已知 a 方程x-2024ar+1=0a≠0是“贺岁”方程，则0+2025a20240+中的值为（) A.-2024 B.2024 C.-2025 D.2025 8。已知”、6是两个不相等的实数，且满足： b a+ab+b=8,a-ab+b=2k k ,则的取值范 围是() A.-1<k<2 B.k<-1或k>2 C.0<k<12 D.k<-12或k>0 9.若关于x的一元二次方程：a(x-m+n=0与，(x-m+m=0,称为“同族二次方 程”.如2x-)+4=0与3(x-3引+4=0是“同族二次方程”.现有关于x的一元二次方 程；2(x-1+1=0与a+2)r+b-4到x+8=0是“同族二次方程”.那么代数式 ax2+bx+2025 能取的最小值是() A.2018 B.2020 C.2025 D.2030 10.P(x.)为第二象限上的点.且x+y=5已知OP1.则士的值为() 1 B. 3 4.3 C.-4 D.3或4 二、填空题（本大题共5小题.每小题3分.共计15分） 1.关于x的一元二次方程m-r+mx=x+5 化为一般形式后不含一次项，则m的值为 12.已知关于x的一元二次方程a+lr-2x+a2+a=0有 0有一个根为x=0,则a的值为 试卷第2页，共3页 13.设，本是一元二次方程+x-3=0的两根，则-4+15等于 14.已知4-Vi5是关于x的方程x-2训r+r+c)=0(a,6c是有理数，a≠0)的一个 根，则该方程的另外两个根分别是 15.对于实数“，b,c,我们用符号mida,bd表示“，b,c三数的中位数，如 mid0,3-=0.若mid,4x+2习=6r+2x,则x的值是 16.定义：符号W表示不超过x的最大整数，如B1=3,解方程2+3x=6+,则该 方程所有解的和为 三、解答题（本大题共8小题.每题9分.共计72分） 17,关于x的方程m-列X-8x=15是一元二次方程，求m的值。 18.解方程 03r2-6r-5=0 (22x+3到-2x-3=0 (3)x2-4x+1=0 (42xr-12-9=0 19.不解方程，判断下列方程根的情况. 016r+8x=-3 23r2+1-5x=0 同2r=5r-3 20.定义：如果关于”的一元二次方程r++C=0a≠0)满是：a+h+c=0,那么我们 称这个方程为“黄金方程”. 试卷第3页，共3页 x2-11x+7=0 (1)判断一元二次方程 是否为“黄金方程”，并说明理由： (2)已知ar-3x+c=0」 “是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个 “黄金方程”是 (3)已知 x2-x+n=0 是关于无的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值. 21.配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式 的最大值和最小值等.例如，我们用此方法求代数式x+6x+18的最小值的过程如下： 解：+6x+18=+6x+9+9=(x+3》+9 :(x+3)2≥0 ∴(x+3)2+9≥9 .x2+6x+18 的最小值是9. 请根据以上材料，完成下列问题： 0)代数式2r+4+6=-2x-+8,当x= 时，代数式2r+4r+6有最 值（填“大”或“小”），这个值是 (2)比较代数 3r-x+l与2r+3x- 的大小，并说明理由 2.设，七是方程-8x+m=0的两个根，且-3西，求常数m的值 23.已知关于x的一元二次方程-(k+1x+2k-2=0 (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根： (2)若等腰△ABC的周长为7，且两边长a,b恰好是这个方程的两个根，求k的值， 24.公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商店统计了某品牌头盔的 冬季销售量，其中10月份售出200个，12月份售出242个. (1)求该品牌头盔11,12两个月销售量的月均增长率. (2)此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600 个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到11250 试卷第4页，共3页 元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 试卷第5页，共3页 第17章一元二次方程及其应用综合专练 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0；③是整式方程；④含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者即为正确答案． 【详解】解：A、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．一元二次方程的一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 利用直接开平方法解方程即可解答． 【详解】解：， 则， 解得：，， 故选：A． 3．已知关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．时，方程有两个相等的实数解 B．时，方程有一个实数解 C．时，方程无实数解 D．时，方程总有两个不相等的实数解 【答案】A 【分析】本题分和两种情况讨论，时方程为一元一次方程，可直接求解判断，时利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，逐一验证选项即可． 【详解】解：分情况讨论： 当时，原方程化为，解得，有一个实数解，因此选项C错误． 当时，原方程是一元二次方程，计算根的判别式： 因此 当时， ，方程有两个相等的实数解，选项A正确． 当时， ，方程有两个不相等的实数解，因此选项B错误． 当时，，方程有两个相等的实数解，因此选项D错误． 4．一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了66次手．若设这次会议到会的人数为，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解握手问题中存在重复计算的情况，从而正确列出方程．据此解答即可． 【详解】解：∵设这次会议到会的人数为人 ∴每个人需要和除自己外的人握手 又∵每两人之间的握手会被重复计算一次 ∴总握手次数为 ∵已知一共握了66次手 ∴依题意可列方程 故选：A． 5．已知方程的解是，，现给出另一个方程，则它的实数解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】将新方程中的看作整体，对应原方程的未知数，再分别解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：令则新方程可化为， 原方程的解为，， ∴的解是或， 即或， 当时，整理得， 此方程无实数解； 当时，整理得， 因式分解得， 解得，， 因此新方程的实数解为，． 6．两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解及定义，由题意可得，进而由方程得，，又由是方程的一个根， 可得，即得，即可得是方租的一个根，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵是方程的一个根， ∴是方程的一个根， ∴， ∴， ∴是方程的一个根， 即是方程的一个根， 故选：． 7．若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键． 利用新定义得到“贺岁”方程的一个解为，则，即、，然后对原式变形后再整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为， ∵方程是“贺岁”方程， ∴，即、， ∴ ． 故选C． 8．已知、是两个不相等的实数，且满足：，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，两式相加可得，两式相减可得，故可为方程的两个解，再根据根的判别式即可解答，正确得到，是解题的关键． 【详解】解： 两式相加可得，两式相减可得， 则可为方程的两个解， 、是两个不相等的实数， ， 即， ， 故可得或， 解得或， 故选：D． 9．若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程；与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 【答案】B 【分析】根据新定义，把方程化成定义型方程，利用恒等式性质，确定a，b的值，后代入，配方，利用非负性求最值即可． 本题考查了一元二次方程新定义问题，配方法求最值是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故， 又与是“同族二次方程”． ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，取得最小值，且为2020， 故选：B． 10．P（x．y）为第二象限上的点．且x+y＝﹣．已知OP=1．则的值为（　　） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据P（x．y）为第二象限上的点，可知0，y＞0，根据OP=1，可知，则，根据x+y＝﹣，可得，且x＝﹣y﹣进而可得，则，则， 解得：或（舍去），进而可知，则可求出的值． 【详解】解：∵P（x．y）为第二象限上的点， ∴x＜0，y＞0， ∵OP=1， ∴，则， ∵x+y＝﹣， ∴，且x＝﹣y﹣ ∴， ∴， ∴，化简得：， 则，解得：或（舍去）， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题查平面直角坐标系中点的坐标特征，点到原点的距离，完全平方公式的变形，解一元二次方程，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键 ． 二、填空题(本大题共5小题.每小题3分.共计15分) 11．关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；将方程化为一般形式，根据不含一次项的条件，令一次项系数为零，且二次项系数不为零，求解． 【详解】解：原方程化为一般形式：， 即， 由于不含一次项，则一次项系数，且二次项系数． 解，得． 由，得， 故． 故答案为：． 12．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为__________. 【答案】 【分析】根据题意得到且，即可求出a的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴且， 解得． 13．设，是一元二次方程的两根，则等于_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、求代数式的值，利用根与系数的关系得到 ，并将 和 用一次项表示，再利用整体代入法求代数式的值． 【详解】解： ， 是方程 的根， ，， 、是一元二次方程的根， ，， 整理可得：，， ， 又 ， ， 又 ， ， ， 原式 ． 故答案为：. 14．已知是关于的方程（是有理数，）的一个根，则该方程的另外两个根分别是____________，____________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据中或，再根据是关于的方程的根，从而得出的另一个根，关键是掌握一元二次方程解的情况． 【详解】解：关于的方程（是有理数，）中，或， 即或， ，且 是有理数， ，中的一个为， 也是关于的方程（是有理数，）的一个根， 该方程的另外两根分别是2和． 故答案为：2，． 15．对于实数，，，我们用符号表示，，三数的中位数，如．若，则的值是_____． 【答案】或 【分析】根据题意可分为：当是这三个数的中位数时，当是这三个数的中位数时，当4是这三个数的中位数时，然后分类进行求解即可． 【详解】解：由题意可分为： 当是这三个数的中位数时，则有，解得：，分别代入检验此时都不符合题意； 当是这三个数的中位数时，则有，解得：， 当时，此时这三个数为，符合题意；当时，此时这三个数为，符合题意； 当4是这三个数的中位数时，则有，解得：，分别代入检验发现都不符合题意； 综上所述：x的值为或． 16．定义：符号表示不超过x的最大整数，如，解方程，则该方程所有解的和为___________． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程的解以及根的判别式．通过设，将方程转化为关于的方程，根据一元二次方程根的判别式和的范围确定的取值范围，再验证求解即可． 【详解】解：设，则为整数，且． ∵， ∴， 根据题意可得该方程有实根， ∴， 即， 解得：， 即， ，解得：， ∵且， ∴， ∴． ∴，即， 由，得：， 整理得：，该不等式恒成立； ，得：， 整理得：， 解得：， ∴． ∴方程的解为或或， 所有解的和为． 故答案为： 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．关于的方程是一元二次方程，求的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，依题意得，然后求出的值即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：依题意，得， 由，得，解得， 又因为，即， 所以的值为， ∴当时，方程是一元二次方程． 18．解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： ，， 即，． （2）解： 整理得 因式分解得 或 解得，． （3）解： 移项得 配方得 即 开方得 解得，． （4）解： 移项得 开方得 当时， 当时， 即，． 19．不解方程，判断下列方程根的情况． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)无实数根； (2)无实数根； (3)有两个不相等的实数根． 【分析】（1）先把方程整理成一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式进行判断； （2）先把方程整理成一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式进行判断； （3）先把方程整理成一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式进行判断． 【详解】（1）解：整理， 可得：， ， 原方程没有实数根； （2）解：整理， ， ， 原方程没有实数根； （3）解：整理， 可得：， ， 原方程有两个不相等的实数根． 20．定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； (2)已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； (3)已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 【答案】(1)方程是“黄金方程”，理由见解析 (2) (3)m的值为1或 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义问题，对该新定义的理解以及一元二次方程的相关知识点的掌握是解题的关键． （1）根据“黄金方程”的定义，验证是否等于0； （2）根据“黄金方程”的定义，得出；再根据一元二次方程根的定义，即时方程成立，得出；联合上述两个方程，即可求出a、c的值，最后得出该“黄金方程”的表达式； （3）解题思路与（2）基本一致，根据“黄金方程”的定义和一元二次方程根的定义，得出与m、n相关的两个方程，为便于计算，用m表示n，可得出与m有关的一元二次方程，解出m的值即可． 【详解】（1）解：在方程中，，，， ∴， 故方程是“黄金方程”． （2）解：∵方程是“黄金方程”， ∴， ∵2是此方程的一个根， ∴将代入方程 ，得， 得方程组，解得， ∴该方程为． 故答案为：． （3）解：∵方程是“黄金方程”， ∴， 又∵m是此方程的一个根， ∴，即， 将代入， 得一元二次方程，解得或． 故m的值为1或． 21．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)1；大；8 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性． （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值； （2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系． 【详解】（1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8； 故答案为：1，大，8． （2）解：， 理由如下： ， ． 22．设是方程的两个根，且，求常数的值． 【答案】 【分析】先利用一元二次方程根与系数关系得到，进而求得，代入方程中求解即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∵， ∴，解得， 将代入中，则， 解得． 23．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根； (2)若等腰的周长为7，且两边长a，b恰好是这个方程的两个根，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)或4或3 【分析】（1）根据一元二次方程根判别式证明即可； （2）根据题意求出，，再分三种情况解答即可，第1种情况：当是腰，2是底边时；第2种情况：当2是腰，是底边时；第3种情况：当、2是腰时． 【详解】（1）解： ， 该方程总有两个实数根． （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，， 即，， 第1种情况：当是腰，2是底边时，， ， ， 的三边长为：、、2，能组成三角形； 第2种情况：当2是腰，是底边时，， ， ， 的三边长为：2、2、3，能组成三角形； 第3种情况：当、2是腰时，， ， 的三边长为：2、2、3，能组成三角形，也满足周长为7； 综上所述：或4或3． 24．公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的冬季销售量，其中10月份售出200个，12月份售出242个． (1)求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率． (2)此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到11250元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元? 【答案】(1) (2)55元 【分析】（1）设该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为x，根据10月份售出200个，12月份售出242个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的销售价定为y元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：设该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为x，依题意得： 解这个方程得：，（不符合题意，舍去） 答：该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为． （2）解：设该品牌头盔的销售价定为y元． 解这个方程得，，． 因为要尽可能的让顾客得到实惠， 所以． 答：该品牌头盔的销售价应定为55元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $