精品解析：江苏徐州市2025—2026学年度一模检测 九年级数学试题

2025-2026学年度一模检测 九年级数学试题 （全卷共140分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题．每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合要求．） 1. 若有意义，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某书店某一天图书的销售情况如图所示． 根据以上信息，下列选项错误的是（ ） A. 科技类图书销售了60册 B. 文艺类图书销售了120册 C. 文艺类图书销售占比 D. 其他类图书销售占比 6. 如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在下列某一函数图像上，且那么这个函数是( ) A. B. C. D. 8. 如图，是面积为1的等边三角形，分别取的中点得到；再分别取，，的中点得到；…依此类推，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 实数的相反数是________． 10. “长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”．二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹．将25000用科学记数法可表示为________． 11. 将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 12. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______． 13. 关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 14. 如图，点是外一点，，分别与相切于点，，点在上，已知，则的度数是___________． 15. 如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________． 16. 已知直线与双曲线的交点为，那么代数式的值为______． 17. 如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则_________． 18. 如图，抛物线与轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为________个． 三、解答题（本大题共10小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程或解不等式组． （1）解方程：； （2）解不等式组：． 21. 校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． （1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（ ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 （2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． 22. 4月24日是中国航天日，某校初中部举办了“航天知识”竞赛，每个年级各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对成绩进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息． a.初一、初二年级学生得分的折线图 b.初三年级学生得分： 10，9，6，10，8，7，10，7，3，10 c.初一、初二、初三，三个年级学生得分的平均数和中位数如下 年级 初一 初二 初三 平均数 8 8 m 中位数 8 8.5 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）由折线图可知，初一、初二两个年级学生“航天知识”竞赛，成绩更稳定的是__________（填“初一”或“初二”）； （2）统计表中__________，__________； （3）由于数据统计出现失误，初三年级所调查的10名学生中有一名学生被记录为6分，实际得分为9分，将数据修正后，初三年级所调查的10名学生中以下统计数据发生变化的：__________（写出符合题意的序号）. ①平均数；②中位数；③众数；④方差. 23. 如图，在中，为边的中点，连接并延长，交的延长线于点，延长至点，使，分别连接，，． （1）求证：； （2）当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由． 24. 某学校组织学生社团活动，打算恰好用元经费购买围棋和象棋，其中围棋每套元，象棋每套元．所购买围棋的套数能否是所购买象棋套数的2倍?若能，请求出所购买的围棋和象棋的套数，若不能，请说明理由． 25. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：）． 26. 如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边交于点． 【探究】在旋转过程中， （1）如图，当时，与满足数量关系是_______； （2）如图，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由； （3）若且，连，设的面积为，在旋转过程中， 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由． 27. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，，，是直线上方抛物线上一动点，作交于点，垂足为点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）是否存在点，使是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值________． 28. 按要求完成下列问题． （1）如图①，在中，，，垂足为．求证：． （2）已知点在线段上．在图②中，用直尺和圆规作出一个，使得且是锐角．（保留作图痕迹，简述作图步骤） （3）如图③，在中，，点在边上，，连接．若线段上存在点（包含端点），使得，则的取值范围是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度一模检测 九年级数学试题 （全卷共140分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共8小题．每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合要求．） 1. 若有意义，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：，则的值可以是 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．是中心对称图形，故B符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．不是中心对称图形，故D不符合题意． 3. 如图所示的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 本题主要考查常见几何体的三视图，解题的关键是熟练掌握主视图是从物体正面看到的图形． 【详解】解：从正面看到的是两个长方形，上面一个小的，下面一个大的， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键．根据合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意； B. ，该选项正确，符合题意； C. ，该选项错误，不符合题意； D. ，该选项错误，不符合题意． 故选：B． 5. 某书店某一天图书的销售情况如图所示． 根据以上信息，下列选项错误的是（ ） A. 科技类图书销售了60册 B. 文艺类图书销售了120册 C. 文艺类图书销售占比 D. 其他类图书销售占比 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，先用教育类的数量除以所占的比例求出总销售量，再逐一进行判断即可． 【详解】解：总销售量为：（册）， ∴科技类图书销售了（册）， ∴文艺类图书销售了（册）， ∴文艺类图书销售占比为：， ∴其他类图书销售占比：； 综上：只有选项D错误，符合题意； 故选D． 6. 如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为，根据题意，分别求得阴影部分面积和总面积，根据概率公式即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为， ∴总面积为， 阴影部分的面积为， ∴点落在阴影部分的概率为， 故选：B． 【点睛】本题考查了几何概率，分别求得阴影部分的面积是解题的关键． 7. 已知点在下列某一函数图像上，且那么这个函数是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先假设选取各函数，代入自变量求出y1、y2、y3的值，比较大小即可得出答案． 【详解】解：A．把点代入y=3x，解得y1=-9，y2=-3，y3=3，所以y1<y2<y3，这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意； B．把点代入y=3x2，解得y1=27，y2=3，y3=3，所以y1>y2=y3，这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意； C． 把点代入y=，解得y1=-1，y2=-3，y3=3，所以y2<y1<y3，这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意； D． 把点代入y=-，解得y1=1，y2=3，y3=-3，所以，这与已知条件相符，故选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了一次函数、反比例函数以及二次函数，解题的关键是掌握函数值的大小变化和函数的性质． 8. 如图，是面积为1的等边三角形，分别取的中点得到；再分别取，，的中点得到；…依此类推，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质．根据三角形中位线定理得到，相似比，的面积，的面积，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：点、、分别为等边的边的中点， ，，， ，相似比， 的面积为1， 的面积， 同理，的面积， 则的面积， 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 实数的相反数是________． 【答案】5 【解析】 【详解】解：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，因此的相反数为． 10. “长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”．二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹．将25000用科学记数法可表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】将25000用科学记数法可表示为． 故答案为：． 11. 将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解． 【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． 12. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积为； 故答案为：． 13. 关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，点是外一点，，分别与相切于点，，点在上，已知，则的度数是___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质得出，根据四边形内角和得出，根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵，分别与相切于点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，求得是解题的关键． 15. 如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据得出，再根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴当时，成立， 又∵， ∴． 16. 已知直线与双曲线的交点为，那么代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征，代数式求值，由题意可得，，进而代入代数式计算即可求解，掌握一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 17. 如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】连接，首先证明出是的内接正三角形，然后证明出，得到，，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵六边形是的内接正六边形， ∴， ∴是的内接正三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， 又∵， ∴， ∴， 由圆和正六边形的性质可得，， 由圆和正三角形的性质可得，， ∵， ∴． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 18. 如图，抛物线与轴交于点，点，下列结论：①；②；③；④．正确的个数为________个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点等知识． 根据图象可得：抛物线的开口向上，与轴交于正半轴，即得，进而根据抛物线与轴交于点，点可得到对称轴，即可判断，，，可得结论①②③正确；当时，即，可得结论④正确． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与轴交于点，点，当时， ∴抛物线的对称轴是直线，，，故结论③④正确， ∴，即，，故结论②正确， ∴，故结论①正确， 综上，说法正确的个数为． 三、解答题（本大题共10小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1； （2）． 【解析】 【分析】（）利用乘方、零指数幂、负整数指数幂的法则、立方根的性质分别求解，再进行加减运算即可； （）先算括号内的分式加法，再算分式除法，最后约分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程或解不等式组． （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】（）利用公式法解一元二次方程即可； （）先解两个不等式，然后即可求得解集． 【小问1详解】 解： ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为． 21. 校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． （1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是（ ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 （2）若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率． 【答案】（1）B （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了随机事件、列表法求概率等知识点，正确列表成为解题的关键． （1）直接根据随机事件的定义即可解答； （2）将“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D，然后列表确定所有等可能结果数以及符合题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵随机抽取一个盲盒并打开，四个游戏均有可能， ∴随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件． 故选B． 【小问2详解】 解：“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B、C、D， 根据题意列表如下： A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 则共有12种结果，两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的情况数为2． 所以两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为． 22. 4月24日是中国航天日，某校初中部举办了“航天知识”竞赛，每个年级各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对成绩进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息． a.初一、初二年级学生得分的折线图 b.初三年级学生得分： 10，9，6，10，8，7，10，7，3，10 c.初一、初二、初三，三个年级学生得分的平均数和中位数如下 年级 初一 初二 初三 平均数 8 8 m 中位数 8 8.5 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）由折线图可知，初一、初二两个年级学生“航天知识”竞赛，成绩更稳定的是__________（填“初一”或“初二”）； （2）统计表中__________，__________； （3）由于数据统计出现失误，初三年级所调查的10名学生中有一名学生被记录为6分，实际得分为9分，将数据修正后，初三年级所调查的10名学生中以下统计数据发生变化的：__________（写出符合题意的序号）. ①平均数；②中位数；③众数；④方差. 【答案】（1）初一 （2）， （3）①②④ 【解析】 【分析】本题考查折线统计图，平均数、中位数、众数和方差，理解相关统计量的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据方差的意义解答即可； （2）根据算术平均数的意义可得m的值；根据中位数的定义可得n的值； （3）分别根据平均数、中位数、众数和方差的定义和计算方法判断即可． 【小问1详解】 解：由折线图可知，初一学生得分的波动比初二的小，所以成绩更稳定的是初一． 故答案为：初一； 【小问2详解】 解：由题意得，， 把初三年级学生得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是8、9， 故中位数， 故答案为：8，8.5； 【小问3详解】 解：将其中的数据6改为9，则数据变为：10，9，9，10，8，7，10，7，3，10 数据变化， 平均数、方差改变， 中位数为：， 中位数改变， 众数依然是10， 众数不变． 故答案为：①②④． 23. 如图，在中，为边的中点，连接并延长，交的延长线于点，延长至点，使，分别连接，，． （1）求证：； （2）当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）矩形，见解析 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质证明，利用中点的性质证明，结合对顶角相等，从而可得结论； （2）先证明 结合 证明四边形是平行四边形，再利用等腰三角形的性质证明 从而可得结论. 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，∴ 又∵为边的中点， ∴ ∵，，， ∴ （2）答：四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形. ∵平分， ∴. 又∵， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴是矩形 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质与判定，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，掌握“有一个角是直角的平行四边形是矩形”是证题的关键. 24. 某学校组织学生社团活动，打算恰好用元经费购买围棋和象棋，其中围棋每套元，象棋每套元．所购买围棋的套数能否是所购买象棋套数的2倍?若能，请求出所购买的围棋和象棋的套数，若不能，请说明理由． 【答案】购买围棋的套数不能是所购买象棋套数的2倍，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． 设购买x套围棋，y套象棋，假设所购买围棋的套数能是所购买象棋套数的2倍，依题意得，，计算求解，然后判断作答即可． 【详解】解：设购买x套围棋，y套象棋，假设所购买围棋的套数能是所购买象棋套数的2倍， 依题意得，， 解得，， ∵y不为正整数， ∴不合题意． 答：所购买围棋的套数不能是所购买象棋套数的2倍． 25. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：）． 【答案】58m 【解析】 【分析】延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则，再根据图形应用三角函数即可求解． 【详解】解：延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则． 又∵， ∴四边形ACHG是矩形． ∴． 由题意，得． 在中，， ∴（m）﹒ ∵是的外角， ∴． ∴． ∴m． 在中， ∴(m)． ∴． 答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m． 【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，正确构造直角三角形并应用三角函数进行求解是解题的关键． 26. 如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边交于点． 【探究】在旋转过程中， （1）如图，当时，与满足数量关系是_______； （2）如图，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由； （3）若且，连，设的面积为，在旋转过程中， 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）；理由见解析； （3）当时，取得最小值；当时，取得最大值． 【解析】 【分析】（）作于，作于，可证明，从而； （）作于，作于，可证得，，从而，可证得，进而得出结果； （）可推出，当时，取最小值，当点最大时，取最大值，进一步得出结果． 【小问1详解】 解：如图，作于，作于， ∴ ∵，，即， ∴平分， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，作于，作于， ∴， 由（）知，， 四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图， ∵且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，取最小值，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，即与重合时，取最大值，如图， 在中，， ∴， ∴， 综上可得：当时，取得最小值；当时，取得最大值． 27. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，，，是直线上方抛物线上一动点，作交于点，垂足为点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）是否存在点，使是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值________． 【答案】（1） （2）存在； （3） 【解析】 【分析】本题是二次函数的综合题．考查了待定系数法求二次函数的表达式，求一次函数的表达式，等腰三角形的性质，图形旋转的性质，全等三角形的判定和性质，以及由此推出动点的轨迹和定点到动点的最短距离问题． （1）根据待定系数法求二次函数的表达式即可． （2）根据待定系数法求一次函数的表达式，设点，则点，根据是以为底边的等腰三角形，得到，继而得到，进而得到． （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，根据旋转的性质证明，，继而得到点的运动轨迹，以及时，最小，根据等面积法计算的面积，得到． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，，， ， ，解得：， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：存在，由（1）可知，抛物线的表达式为：， 当， ， 设直线的表达式为：， 则代入点，点，可得：，解得：， 直线的表达式为：， ， 设点，则点，且， 是以为底边的等腰三角形， ，， ，整理得：，解得：或， ， ，， ； 【小问3详解】 解：如图，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∴，， ∵当时，， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值为． 28. 按要求完成下列问题． （1）如图①，在中，，，垂足为．求证：． （2）已知点在线段上．在图②中，用直尺和圆规作出一个，使得且是锐角．（保留作图痕迹，简述作图步骤） （3）如图③，在中，，点在边上，，连接．若线段上存在点（包含端点），使得，则的取值范围是________． 【答案】（1）证明见解析 （2）图见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用两角对应相等证明两个直角三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例进行推导证明； （2）以为直径作，若，则，可得，则点的运动轨迹为以为圆心，长为半径的圆，由为锐角，可知点在外部，据此作图即可； （3）先通过两角对应相等证明三角形相似，推导出点的轨迹，再根据点的运动轨迹和在线段上的条件，找到临界位置计算出的最小值，从而确定其取值范围． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ，即． 【小问2详解】 解：如图为． 作的垂直平分线，交于点，以长为半径作； 过点作的垂线，交于点； 以点为圆心，长为半径作弧，在外部的弧上取一点为，连接，，即为所求． 【小问3详解】 解：如图，作的外接圆，以点为圆心，长为半径作圆，两圆交点为，连接，， ，， ， ， ， ，为定值，则也为定值， 点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆， ，且点在上， 点的运动轨迹为， 当点与点重合时，取得最小值，此时， ， 设，，则， ， ，， 在中，， ， ， 故的取值范围为． 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