精品解析：2025年江苏省徐州市爱登高中学中考一模数学试题

徐州市2025年初中学业水平模拟测试 数学试题 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列整数中，与最接近的是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 为了落实“双减”政策，增强学生体质，某校篮球兴趣小组开展定点投篮活动，下表是组10名学生的测试结果： 投篮命中数（个） 4 5 8 12 学生人数（名） 3 4 2 1 关于这10名学生测试成绩，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是 B. 方差是6 C. 平均数是 D. 众数是12 6. 中国传统文化中很多内容体现了数学中的对称美，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化，对称统一的形式美和谐美．如图，正方形 内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内置一枚小针则针尖落入黑色区域内的概率为( ) A. B. C. D. 7. 如图，在中， ，，于点 ，平分分别与， 相交于点， ，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 把二次函数的图象先向右平移 个单位再向上平移 个单位，如果平移后所得抛物线上的点到 轴的距离为 的点有且只有 个，则 应满足的条件为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置） 9. 中国信通院预计未来2到3年内将实现5G的个人终端应用和数字内容的创新突破，预计2025年全球5G移动用户将突破23000000000户，数据23000000000用科学记数法表示为______________． 10. 因式分解： =__________． 11. 一个正边形绕其中心至少旋转45°角可与自身重合，则的值为____________． 12. 若有意义，则实数a的取值范围是________． 13. 分式方程的解为___________． 14. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是____． 15. 已知圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则侧面展开图扇形的圆心角的度数为____________． 16. 如图，是的直径， 与相切于点，与相交于点 ，连接 ，，则________________°． 17. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图像交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交反比例函数的图像于点C，连接BC，若，则k的值为_______． 18. 如图，在Rt中， ，，， 是边 上的一动点，连接，作于点 ，连接 ，则 的最小值为_______________． 三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）． （2）． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 21. 为有效了解学生课外阅读情况，某中学随机调查了八年级部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为 小时，将它分为4个等级： ，，，，并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：请你根据统计图的信息，解决下列问题： （1）本次共调查了_____________名学生； （2）请补全上面的条形统计图； （3）在扇形统计图中，若A等级所占比例为%，则的值为_______________，等级D所对应的扇形的圆心角为_______________°； （4）若该校有1200名学生，请估计阅读时间不少于6小时的学生有多少名？ 22. 有两部不同的电影A、B，甲、乙、丙3人分别从中任意选择一部观看． （1）甲、乙两人都选择B电影的概率是 ___________； （2）用画树状图的方法求甲、乙、丙3人选择观看同一部电影的概率． 23. 如图所示，四边形 是平行四边形，的角平分线交于点 ，交 的延长线于点 ． （1）求证：； （2）若恰好平分，连接 、，求证：． 24. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，绳木各长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问绳子、长木各长多少尺？请你算一算． 25. 越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也使节能环保的举措得以落实．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，测倾器（）的高度为米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上，，，，于点F，米），求电池板离地面的高度．（参考数据：） 26. 如图，在中，，平分交于点 ，点 为边 上一点，以为直径的圆恰好经过点 ． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 27. 在中，（），于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当点E在线段上，求证：D是的中点； （2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长至点G，使得，连接，， ①求证； ②求出的度数． （3）如图3，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，写出的大小，并证明． 28. 如图，抛物线与 轴交于、两点（点在点 的左侧），与 轴交于点 ，连接 、 ，点 为直线 上方抛物线上一动点，连接交 于点 ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当的值最大时，求点 的坐标和的最大值； （3）若是抛物线上的一点，的内切圆的圆心恰好落在 轴上，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州市2025年初中学业水平模拟测试 数学试题 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，轴对称图形的定义：将一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：将一个图形绕某个点旋转180度后能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；熟知两者的概念是关键． 【详解】解：A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，积的乘方．根据以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B． 4. 下列整数中，与最接近的是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法进行求解是解决本题的关键． 估算出即可得出答案． 【详解】解：∵， ， ， ∴与最接近的数是6． 故选：C． 5. 为了落实“双减”政策，增强学生体质，某校篮球兴趣小组开展定点投篮活动，下表是 组10名学生的测试结果： 投篮命中数（个） 4 5 8 12 学生人数（名） 3 4 2 1 关于这10名学生测试成绩，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是 B. 方差是6 C. 平均数是 D. 众数是12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，加权平均数，方差，众数等知识点，解题的关键是熟练掌握以上概念和计算公式． 利用中位数，加权平均数，方差，众数的概念和计算公式逐项进行判断即可． 【详解】解：A.10个数据按照从小到大的顺序进行排列，中位数取第5位和第6位的平均数，即中位数为（个），该选项错误，不符合题意； B.求出平均数为6，则方差为，该选项正确，符合题意； C.该组数据的平均数为（个），该选项错误，不符合题意； D.该组数据中5出现的次数最多，所以众数为5，该选项错误，不符合题意； 故选：B． 6. 中国传统文化中很多内容体现了数学中的对称美，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化，对称统一的形式美和谐美．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内置一枚小针则针尖落入黑色区域内的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图可知，黑色区域是圆面积的一半，设正方形的边长为，用黑色区域的面积除以正方形的面积即可．几何概率的求法：根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)，然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率 【详解】解：设正方形的边长为， 针尖落在黑色区域内的概率， 故选D． 【点睛】本题主要考查了几何概率的求法，掌握这个计算方法是解题的关键． 7. 如图，在 中， ，，于点，平分分别与，相交于点， ，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，过点 作于点 ，根据角平分线的性质可得，进而得出，可得，进而证明得出，即可证明是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，过点 作于点 ， ∵平分， ， ∴ ∵ ∴ ∵，即 ∴ ∵，，, ∴， 在中， ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 8. 把二次函数的图象先向右平移个单位再向上平移 个单位，如果平移后所得抛物线上的点到 轴的距离为 的点有且只有 个，则应满足的条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，解题的关键是掌握相关知识．平移后的抛物线解析式为，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：平移后的抛物线解析式为，即， 平移后所得抛物线上的点到 轴的距离为 的点有且只有 个， ， 解得：， 故选：C． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置） 9. 中国信通院预计未来2到3年内将实现5G的个人终端应用和数字内容的创新突破，预计2025年全球5G移动用户将突破23000000000户，数据23000000000用科学记数法表示为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：23000000000； 故答案为：． 10. 因式分解： =__________． 【答案】（x+4）（x-4） 【解析】 【分析】 【详解】x2-16=(x+4)(x-4)， 故答案为：(x+4)(x-4) 11. 一个正 边形绕其中心至少旋转45°角可与自身重合，则 的值为____________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转对称图形，任何一个正n边形都是旋转对称图形，只需绕它的中心旋转度便可与自身重合． 由，及旋转的定义即可解答． 【详解】解：∵一个正 边形绕其中心至少旋转45°角可与自身重合， ∴， 故答案为8． 12. 若有意义，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义则被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 13. 分式方程的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤计算即可得解，熟练掌握解分式方程的步骤是解此题的关键． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， 所以原分式方程的解为， 故答案为：． 14. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式的意义可以得到，然后解关于m的不等式即可． 【详解】根据题意，可知该方程根的判别式，解得：． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练使用一元二次方程根的判别式是解题关键． 15. 已知圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则侧面展开图扇形的圆心角的度数为____________． 【答案】150 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图与扇形之间的关系，弧长公式；由圆锥侧面展开图与扇形之间的关系及弧长公式的，即可求解；理解圆锥侧面展开图与扇形之间的关系，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 故答案为：． 16. 如图，是的直径， 与相切于点 ， 与相交于点 ，连接，，则________________°． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据切线的性质求出，再利用三角形外角的性质即可解决问题； 【详解】解：∵ 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：35． 17. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图像交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交反比例函数的图像于点C，连接BC，若，则k的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】由于点A在反比例函数的图像上，点C在反比例函数的图像上，可设A（a，），C（c，），表示AC的长，以及△ABC边AC上的高BN，根据△ABC的面积为3，可以列出方程，进而求出k的值即可． 【详解】解：过点B作BN⊥AC，垂足为N，交x轴于点M，如图所示： 由于点A与点B关于原点对称，则OA＝OB， 又∵AC∥x轴， ∴BM＝MN＝BN， ∵点A在反比例函数的图像上，点C在反比例函数的图像上， 设A（a，），C（c，）， ∴AC＝c−a，MN＝＝，即：k＝， ∵△ABC的面积为3， ∴AC•BN＝3，即（c−a）×（）＝3， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，设出点的坐标，利用三角形的面积列方程，是解决问题的关键． 18. 如图，在Rt 中， ，，， 是边 上的一动点，连接，作于点，连接 ，则 的最小值为_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】由即、易知 的长是定值，根据定弦定角可知：点D是在以 为直径的圆上运动，取 的中点O，的外接圆；连接，当三点在同一条直线上时，取最小值，此时，由此解答即可． 【详解】解： ， ， 点D是在以 为直径的圆上运动， 如图所示：取 的中点O，则的外接圆为；连接， 当三点在同一条直线上时，取最小值，此时， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，三角形的三边关系，关键是确定取最小值的位置是解题的关键． 三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式运算、零指数幂、负整数指数幂、分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）首先进行二次根式、绝对值的化简、零指数幂和负整数指数幂的运算，然后再相加减即可； （2）首先进行括号内的运算，将除法转化为乘法，然后约分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、解不等式组等知识点，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）直接运用配方法解一元二次方程即可； （2）先求出各不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ， （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为． 21. 为有效了解学生课外阅读情况，某中学随机调查了八年级部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为 小时，将它分为4个等级： ，，，，并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：请你根据统计图的信息，解决下列问题： （1）本次共调查了_____________名学生； （2）请补全上面的条形统计图； （3）在扇形统计图中，若A等级所占比例为 %，则 的值为_______________，等级D所对应的扇形的圆心角为_______________°； （4）若该校有1200名学生，请估计阅读时间不少于6小时的学生有多少名？ 【答案】（1）50 （2）补全条形统计图如下： （3）8；108 （4）360名 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图、利用样本估计总体等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）根据 等级的学生的条形统计图和扇形统计图的信息即可得； （2）利用调查的总人数减去等级的学生人数可得C等级人数，然后补全条形统计图即可； （3）利用 等级的学生人数除以调查的总人数即可得n的值，利用乘以等级的学生所占百分比即可得等级所对应的扇形的圆心角的度数； （4）利用全校的学生人数乘以等级的学生所占百分比即可得． 【小问1详解】 解：本次共调查的学生人数为（名）， 故答案为：50． 【小问2详解】 C等级的人数有：（名）， 【小问3详解】 解：， 则， 等级所对应的扇形的圆心角的度数为， 故答案为：8，108． 【小问4详解】 解：（名）， 答：全校1200名学生，估计阅读时间不少于6小时的学生有360名． 22. 有两部不同的电影A、B，甲、乙、丙3人分别从中任意选择一部观看． （1）甲、乙两人都选择B电影的概率是 ___________； （2）用画树状图的方法求甲、乙、丙3人选择观看同一部电影的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． （1）根据列表法求出所有等可能的结果数，再根据概率公式求解即可； （2）根据画树状图列出所有等可能结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：列表如下： 甲 A B A B 共有4种等可能的结果，其中甲、乙两人都选择A电影的结果数为1， 所以甲、乙两人都选择B电影的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙3人选择同一部电影的结果数为2， 所以甲、乙、丙3人选择同一部电影的概率为． 23. 如图所示，四边形是平行四边形，的角平分线交于点 ，交 的延长线于点 ． （1）求证：； （2）若恰好平分，连接 、，求证：． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：由（1）知， 平分， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和平行线的性质等知识点． （1）根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，求出，根据等腰三角形的判定得出即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，证明，根据全等三角形的性质得出，进而得四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质推出，进而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，绳木各长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问绳子、长木各长多少尺？请你算一算． 【答案】绳子、长木分别是11米和6.5米． 【解析】 【分析】设木头长x尺，则绳子长（x+4.5）尺，根据“将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设木头长x尺，则绳子长（x+4.5）尺， 根据题意得：x-（x+4.5）=1，解得：x=6.5 所以绳子长为6.5+4.5=11． 答：绳子、长木分别是11米和6.5米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键． 25. 越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也使节能环保的举措得以落实．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，测倾器（）的高度为米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上，，，，于点F，米），求电池板离地面的高度 ．（参考数据：） 【答案】7.7米 【解析】 【分析】本题主要查了解直角三角形的实际应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键． 由题意得米，米，．设米，在中，根据锐角三角函数可得米，从而得到米，然后在中，根据锐角三角函数可得米，即可求解． 【详解】解：由题意得，米，米，． 设米， 在中，， 米， 在中，， ， 解得， 经检验是原方程的根． 米， （米）， 答：电池板离地面的高度 约为米． 26. 如图，在中，，平分交 于点，点 为边 上一点，以为直径的圆恰好经过点． （1）试判断直线 与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 相切，理由： 连接 ， ∵， ∴， ∵平分交 于点， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ 是的半径， ∴ 与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，由得到，又由 是的半径，即可得到结论； （2）先求出，，，由平行线分线段成比例定理即可得到，代入数值即可得到答案； 此题主要考查了切线的判定、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，证明是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 27. 在中，（），于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当点E在线段上，求证：D是的中点； （2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长至点G，使得，连接，， ①求证； ②求出的度数． （3）如图3，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，写出的大小，并证明． 【答案】（1） 证明: ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴是的中点； （2） ①证明: ∵， ∴ 是的中点， ∵是的中点， ∴是的中位线， ， ∵， ， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵ 是的中点, ∴； ② （3） 【解析】 【分析】（1）根据角推导出，由旋转可知，则，即可证明是的中点； （2）①先推导出是的中位线, 则，再由（1）可知，可推导出是等腰三角形，则，再由 是的中点，即可证明； ②由①可知，即可得； （3）延长至，使，连接，能推导出是的中位线，设，，证明，可得，再由，得到，即可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②由①可知, ， ∴； 【小问3详解】 延长至，使，连接、， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, 设， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握旋转的性质，三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 28. 如图，抛物线与 轴交于、两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，连接 、 ，点 为直线 上方抛物线上一动点，连接交 于点 ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当的值最大时，求点 的坐标和的最大值； （3）若 是抛物线上的一点，的内切圆的圆心恰好落在 轴上，求点 的坐标． 【答案】（1） （2）当 时，取得最大值，此时， （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，三角形的内切圆，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点 作轴交 于点，证明，列出比例式，转化为二次函数求最值即可； （3）根据三角形的内心为三个内角的角平分线的交点，得到 轴为的角平分线，作点 关于 轴的对称点，则直线与抛物线的交点即为 点，求出直线的解析式，与抛物线的解析式进行联立，求解即可． 【小问1详解】 解： 抛物线与 轴交于、， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 抛物线与 轴交于点 ， ， ， 设直线 的解析式为，把，代入，得： ，解得：， 直线 的解析式为， 如图，过点 作轴交 于点， 设，则， ， ， ， ， 当 时，取得最大值，此时，； 【小问3详解】 的内切圆的圆心恰好落在 轴上，则 轴为的角平分线， 作点 关于 轴的对称点，则直线与抛物线的交点即为 点， 设直线的关系式为， 将点、代入得， 解得， 直线的解析式为， 联立抛物线与直线得，解得或， 点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $