精品解析：广东河源市河源中学等校2025-2026学年高二年级下学期4月份学情调研数学试题

广东河源市河源中学等校2025-2026学年高二年级下学期4月份学情调研数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. 2 C. D. 2026 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 设是的导函数，已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍8个文化地标的文章，若第一个介绍的是地标，且地标的介绍顺序必须相邻（中间不能插入其他地标，内部顺序可自由调整），则该文章关于这8个文化地标的介绍顺序共有（ ） A. 360种 B. 720种 C. 1440种 D. 2160种 5. 学校图书馆有个不同的借阅窗口（编号为），现将本完全相同的图书放到这个窗口展示，每个窗口可放多本也可不放，则不同的摆放方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 7. 已知三次函数，若不等式的解集为，则实数的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知m，n均为正整数，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项，则下列说法正确的是（ ） A. 四名同学的报名情况共有种 B. 每个项目都有人报名的情况共有36种 C. 四名同学最终只报名了两个项目的情况共有42种 D. 恰有两名同学所报项目相同且只有甲同学一人报名“关怀老人”的情况共有12种 11. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. C. D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则__________. 13. 已知某六名同学在竞赛中获得前六名无并列情况，其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有________种（用数字作答） 14. 某Livehouse舞台的环形氛围灯被设计为如图所示的4个环形相邻灯区．现有5种霓虹灯光色可供选择，要求每个灯区只使用一种颜色，且相邻灯区颜色不相同，则该舞台灯区共有__________种不同的颜色搭配方案． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 现有4名男生、3名女生站成一排拍照留念，在下列不同条件下，求不同的站法总数．（结果用数字作答） （1）要求女生互不相邻； （2）若甲、乙是这7人中的2人，则要求甲不站在排头，乙不站在排尾. 16. 已知函数. （1）判断的单调性； （2）若关于的方程只有1个实数解，求实数的取值范围. 17. 某高校新媒体社团有7位同学，他们计划对短视频剪辑、直播运营、图文排版、创意脚本撰写这4个当下热门的新媒体项目展开学习调研，要求每个项目至少有一人负责，且每人只能选择一个项目． （1）若从社团中选出4人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？ （2）若7位同学同时参与调研，其中的甲、乙、丙3位同学调研同一项目，共有多少种不同的安排方案？ 18. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若对恒成立，求的取值范围； （3）若，证明：当时，. 19. 已知函数 ，且为的极值点. （1）求的值； （2）过原点作曲线的切线，求切线方程； （3）过点 作曲线的切线，讨论切线的条数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东河源市河源中学等校2025-2026学年高二年级下学期4月份学情调研数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. 2 C. D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】利用排列数和组合数的计算公式可得答案. 【详解】． 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 3. 设是的导函数，已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的运算法则可求答案. 【详解】由，求导得，则，解得. 4. 甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍8个文化地标的文章，若第一个介绍的是地标，且地标的介绍顺序必须相邻（中间不能插入其他地标，内部顺序可自由调整），则该文章关于这8个文化地标的介绍顺序共有（ ） A. 360种 B. 720种 C. 1440种 D. 2160种 【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法来解决相邻问题. 【详解】第一个介绍的是地标，则只需要排列剩下个文化地标， 先将这三个地标捆绑，再和其他4个地标排列，共有种． 5. 学校图书馆有个不同的借阅窗口（编号为），现将本完全相同的图书放到这个窗口展示，每个窗口可放多本也可不放，则不同的摆放方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【详解】分种情况讨论：①本书放在同一个窗口，有种摆放方法； ②本书放在个窗口，一个窗口放本，另一个窗口放本，有种摆放方法； ③本书放在个窗口，每个窗口各放本，有种摆放方法， 所以不同的摆放方法共有种． 6. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数的定义域为，且，所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除B； 当时，，则，由，得；由，得，故在上单调递增，在上单调递减，排除C；当时，，排除A.故选D． 7. 已知三次函数，若不等式的解集为，则实数的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数求解函数的单调性，进而可作出函数的大致图像，进而根据，结合函数图像可得，即可求解. 【详解】因为，所以， 令，得或；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为，极小值为， 则当时，，当时，解方程，即，解得，所以， 所以当时，；当时，. 综上，不等式为，其解集为，即． 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断单调性，结合单调性可得答案. 【详解】令，则，令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 得，故， 所以，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知m，n均为正整数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据排列数、组合数的计算公式，以及其性质，即可判断选择. 【详解】A选项，由组合数性质得，故A正确； B选项，左边，右边， 只有当时相等，故B错误； C选项，，左右相等，故C正确； D选项，左边，右边， 左右相等，故D正确． 10. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项，则下列说法正确的是（ ） A. 四名同学的报名情况共有种 B. 每个项目都有人报名的情况共有36种 C. 四名同学最终只报名了两个项目的情况共有42种 D. 恰有两名同学所报项目相同且只有甲同学一人报名“关怀老人”的情况共有12种 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理可判断A，利用分组分配方法可判断B，C，D. 【详解】对于A，由题意知每人都有3种选择，所以四名同学的报名情况共有种，故A正确； 对于B，若每个项目都有人报名，则必有两名同学报名同一项目，所以报名情况共有种，故B正确； 对于C，四名同学最终只报名了两个项目，可先选出两个项目，报名情况为这两个项目各有两名同学报名，或一名同学报名其中一个， 另外三名同学报名另一个项目，所以报名情况共有种，故C正确； 对于D，恰有两名同学所报项目相同且只有甲同学一人报名“关怀老人”的情况共有种，故D错误． 11. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. C. D. 在上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】利用奇函数的定义可判断A，结合诱导公式可判断B，C，求解导数利用导数可判断单调性. 【详解】对于，且定义域为， 所以为奇函数，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于，故C错误； 对于D，， 当时，，则单调递增，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用求导法则可求答案. 【详解】由题得， 则. 13. 已知某六名同学在竞赛中获得前六名无并列情况，其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有________种（用数字作答） 【答案】144 【解析】 【分析】利用分步计数原理，结合优先特殊元素或特殊位置来解决问题. 【详解】第一步，优先排丙，只能排第四、五、六名，共有3种； 第二步，再排第一名，只有甲或乙，共有2种； 第三步，剩下四个人排剩下四个位置，共有种， 利用分步计数乘法原理可得：总共可能的排名情况有：种， 故答案为：. 14. 某Livehouse舞台的环形氛围灯被设计为如图所示的4个环形相邻灯区．现有5种霓虹灯光色可供选择，要求每个灯区只使用一种颜色，且相邻灯区颜色不相同，则该舞台灯区共有__________种不同的颜色搭配方案． 【答案】260 【解析】 【详解】第1个灯区有5种颜色可选，第2个灯区不能与第1个灯区同色，有4种颜色可选， 若第3个灯区与第1个灯区同色，则只有1种颜色可选，此时第4个灯区不能与第1，3个灯区同色，有4种颜色可选； 若第3个灯区与第1个灯区颜色不同，也不能与第2个灯区同色，则有3种颜色可选，此时第4个灯区不能与第1，3个灯区同色，有3种颜色可选， 所以该舞台灯区共有种不同的颜色搭配方案． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 现有4名男生、3名女生站成一排拍照留念，在下列不同条件下，求不同的站法总数．（结果用数字作答） （1）要求女生互不相邻； （2）若甲、乙是这7人中的2人，则要求甲不站在排头，乙不站在排尾. 【答案】（1）1440 （2）3720 【解析】 【分析】（1）利用插空法来解决不相邻问题； （2）利用间接法，结合容斥原理来求解. 【小问1详解】 先排4名男生，有种排法， 在4名男生产生的空隙中插入3名女生，有种排法， 所以女生互不相邻的不同站法总数为1440种. 【小问2详解】 7人站成一排有种不同的站法， 甲站在排头的站法有种， 乙站在排尾的站法有种， 甲站在排头且乙站在排尾的站法有种， 所以甲不站在排头，乙不站在排尾的不同站法有种. 16. 已知函数. （1）判断的单调性； （2）若关于的方程只有1个实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）求解导数，利用导数判断单调性； （2）根据单调性和函数值的变化趋势可求答案. 【小问1详解】 因为， 所以， 则当或时，单调递减； 当时，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ， 由（1）知当时，单调递减，且趋近于时，趋近于，从负半轴趋近于0时，趋近于； 当时，单调递减，时，单调递增，且从正半轴趋近于0时，趋近于，趋近于时，趋近于； 又，作出的大致图象如图所示， 因为关于的方程只有1个实数解，所以的图象与直线只有1个交点，结合图象可知， 所以实数的取值范围为． 17. 某高校新媒体社团有7位同学，他们计划对短视频剪辑、直播运营、图文排版、创意脚本撰写这4个当下热门的新媒体项目展开学习调研，要求每个项目至少有一人负责，且每人只能选择一个项目． （1）若从社团中选出4人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？ （2）若7位同学同时参与调研，其中的甲、乙、丙3位同学调研同一项目，共有多少种不同的安排方案？ 【答案】（1）840 （2）240 【解析】 【分析】（1）先选出4人，再安排项目，结合分步计数原理可得答案； （2）利用分组分配的方法可求答案. 【小问1详解】 先从7位同学中选出4人，有种选法； 再将选出的4人分配到4个项目，要求每个项目至少1人，则有种分配方法， 所以共有种不同的调研安排方案. 【小问2详解】 将甲、乙、丙3位同学视为一个整体（一个元素），此时相当于5个元素分配到4种项目，每种项目至少1个元素， 则5个元素需分为“2，1，1，1”四组，有种分法； 再将这四组对应4种项目进行全排列，有种方法， 所以若7位同学同时参与调研，其中的甲、乙、丙3位同学调研同一项目，共有种不同的安排方案 18. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若对恒成立，求的取值范围； （3）若，证明：当时，. 【答案】（1） 极大值为，极小值为. （2） （3） 若， 则由（2）得当时，， 要证，可证. 令， 则， 令，得，则， 设， 则当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以 ， 因为， 所以， 则， 所以. 则，即， 所以得证， 所以当时，. 【解析】 【分析】（1）利用导数，求得函数的单调区间，可求得极值； （2）化简不等式，令，求导，分和两种情况分类讨论可求得的取值范围； （3）令，求导，令，可得，设，进而可求的单调区间，进而可得，进而计算可证明结论. 【小问1详解】 当时，， 则， 令，得或； 令，得或， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为，极小值为. 【小问2详解】 由，得， 化简得， 设， 则， 当，即时，单调递增，所以，符合题意； 当，即时，当时，，不满足对恒成立，不符合题意. 综上，的取值范围为. 【小问3详解】 略 19. 已知函数 ，且为的极值点. （1）求的值； （2）过原点作曲线的切线，求切线方程； （3）过点 作曲线的切线，讨论切线的条数. 【答案】（1） （2）或． （3） 当或时，有1条切线； 当或时，有2条切线； 当时，有3条切线. 【解析】 【小问1详解】 ，求导可得， 因为为的极值点，所以，解得， 当时，， 令，可得或； 令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则为的极大值点，符合题意， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，， 设切点坐标为，则 ， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以代入可得， 即， 化简可得，即 ，解得或， 当时， ， 则切线方程为，即； 当时，， 则切线方程为，即， 综上所述，切线方程为或． 【小问3详解】 由（2）得，曲线在点处的切线方程为， 因为切线过点，所以代入可得， 即，化简可得， 设，求导可得 ， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以当时，取到极大值， 当时，取到极小值， 因此当或时，的图象与直线有且仅有1个交点； 当或时，的图象与直线有2个交点； 当时，的图象与直线有3个交点， 即当或时，有1条切线； 当或时，有2条切线； 当时，有3条切线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $