2026年九年级中考数学专题复习：二元一次方程组 课件

中考数学一轮复习 专题2.2 二元一次方程组 同学，二元一次方程我们要重点复习二元一次方程的相关概念、二元一次方程组的解法、二元一次方程组的应用，让我们一起梳理下重点知识和典型例题吧． 二元一次方程 考点剖析 二元一次方程组的应用 3 1 二元一次方程的相关概念 二元一次方程组的解法 2 二元一次方程组 二元一次方程组的相关定义 1．二元一次方程的定义：每个方程都含有两个未知数 （和），且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二元一次方程． 2．二元一次方程组的定义：方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组． 知识点一：二元一次方程组的概念 二元一次方程组的相关定义 3．二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解． 4．二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解． 知识点一：二元一次方程组的概念 1．消元思想的概念：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就可以把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程．我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想． 代入消元法 知识点二：消元—解二元一次方程组 2．代入消元法的概念：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法． 3．代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： ①变形；②代入；③解方程；④求值；⑤联立． 代入消元法 知识点二：消元—解二元一次方程组 代入消元法 知识点二：消元—解二元一次方程组 ①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解． ②若方程组中有未知数的系数为1（或-1）的方程，则选择系数为1（或-1）的方程进行变形比较简便． ③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1（或-1），选系数较简单的方程和系数较简单的未知数变形比较简便． 1．加减消元法的概念：二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法． 2．加减法解二元一次方程组的一般步骤： ①变形；②加减；③解方程；④求值；⑤联立． 加减消元法 知识点二：消元—解二元一次方程组 加减消元法 知识点二：消元—解二元一次方程组 ①当方程组中两个方程的同一个未知数的系数的绝对值相等时，可直接用加减法进行消元． ②当方程组的两个方程中同一个未知数的系数成整数倍时，可把其中一个方面的两边乘以倍数，使这个未知数的系数相同或相反，然后运用加减法消去这个未知数． ③当方程组中两个未知数的系数均不成整数倍时，一般选择系数较为简单的未知数消元，将两个方程分别乘以某个数，使该未知数的系数的绝对值相等，再加减消元求解． 1．审题：明确已知量、未知量及等量关系． 2．设未知数：直接设或间接设未知数． 3．列方程组：根据等量关系列出两个方程． 4．解方程组：用代入法或加减法求解． 5．检验：验证解是否符合实际意义． 6．作答：写出答案． 列方程组解应用题步骤 知识点三：实际问题与二元一次方程组 1．和差倍分问题（如：两数和为10，差为2）． 2．配套问题（如：螺母数量 = 2×螺栓数量）． 3．行程问题（相遇、追及、顺流/逆流）． 4．工程问题（工作量 = 效率 × 时间）． 5．几何问题（周长、面积公式）． 6．浓度问题（溶质 = 溶液 × 浓度）． 7．利润问题（利润 = 售价 - 进价）． 常见问题类型 知识点三：实际问题与二元一次方程组 1．三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组． 2．解三元一次方程组的步骤： （1）通过“代入”或“加减”进行消元． （2）把 “三元”化为 “二元”． （3）使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组． （4）进而再转化为解一元一次方程． 知识点四：三元一次方程组的解法 知识梳理 知识点1 二元一次方程组的相关概念 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程. 二元一次方程必须满足的3个条件： ❶有且只有2个未知数； ❷含有未知数的项的次数都是1； ❸整式方程. 1.二元一次方程 使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值. 2.二元一次方程的解 二元一次方程有无数个解(不考虑实际意义). 含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组. 3.二元一次方程组 二元一次方程组的识别： ❶看组成方程组的每个方程是不是整式方程； ❷看方程组是否含有两个未知数，但两个一次方程不一定都是二元一次方程； ❸看含未知数的项的次数是不是一次. 二元一次方程组的两个方程的公共解. 4.二元一次方程组的解 一般情况下，二元一次方程组的解是唯一的. 典型例题 二元一次方程组的相关概念 考点1 例1 若是二元一次方程,则. 解：若是二元一次方程，则可得，解得故答案为. 解析 1.二元一次方程有三个特征： ①每个方程都有两个未知数；②未知数项的次数都是1；③是整式方程. 2.二元一次方程组的判断方法： ①含有两个未知数；②含有未知数的式子都是整式； ③未知数的次数都是1. 3.注意：方程组的解必须满足使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等. 解题通法 当k-1=0时原式为一元一次方程 典型例题 二元一次方程组的相关概念 考点1 例2 下列属于二元一次方程组的是( ) A. B. C. D. 解：选项B中，方程不是整式方程，选项C、D中，方程，含未知数的项的次数是2，故选A. 解析 例3 二元一次方程组的解是( ) A. B. C. D. 解：将A、B、C、D四个选项的数值分别代入二元一次方程组的两个方程中计算即可，答案选C. 解析 知识梳理 知识点2 二元一次方程组的解法 把二元一次方程组的一个方程的一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解. 1.代入消元法 当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程两边分别相加或相减，消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解. 2.加减消元法 基本思想：消元 二元→一元 技巧：❶当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可直接用代入法求解； ❷若方程组中有未知数的系数为1(或1)的方程，则选择系数为1(或1)的方程进行变形； ❸若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1(或1)，选系数较简单的方程和系数较简单的未知数变形比较简便. 技巧：当方程组中两个方程的 ❶同一个未知数的系数的绝对值相等时，可直接用加减法消元； ❷同一个未知数的系数成整数倍时，可把其中一个方程的两边乘以倍数，使这个未知数的系数相同或相反，然后运用加减法求解； ❸两个未知数的系数均不成整数倍时，选择系数较简单的未知数消元，将两个方程分别乘以某数，使该未知数系数的绝对值相等，再用加减消元. 解析 典型例题 二元一次方程组的解法 考点2 解方程组 方法1：代入消元法 解：由得①, 把，解得: , 把代入到中解得:， 即原方程组的解为： 例4 ❶方程组中有一个方程未知数的系数是1或－1时，选择代入消元法较简单. ❷方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数时，选择加减消元法比较简单. ❸当同一未知数的系数不相反也不相同时，通过找系数的最小公倍数将系数变成相反或相同的数，用加减消元法较为合适. 解题通法 方法2：加减消元法 解：由得,得. 解得: , 把代入到中得.解得:. 即原方程组的解为 方程①中，未知数的系数为，可直接用代入法 解析 典型例题 二元一次方程组的解法 考点2 解方程组 解：由②得③ ①×3得, -③得: ， 解得 把代入到①中，解得, 即原方程组的解为： 例5 解析 已知二元一次关于方程组的解满足，则的值为( ) A . 0 B. 1 C. 3 D. 4 解：，得， 所以 因为, 所以,所以.故选B. 例6 去分母，整理化简 整体思想的运用 知识梳理 知识点3 二元一次方程组的应用 ①审题，弄清题中的数量关系. ②设两个未知数，并用含未知数的式子表示相关的量. ③根据题中的等量关系列方程组. ④解方程组，求出未知数的值. ⑤检验解的正确性和合理性. ⑥写出答案. 1.二元一次方程组解应用题的一般步骤 常见列方程组解应用题的类型： 配套问题：若m个A和n个B配成1套，则，即 行程问题：速度×时间=路程； 顺水速度静水速度水流速度； 逆水速度静水速度水流速度； 工程问题：一般情况下，把总工作量设为1，工作量工作效率工作时间 利润问题：利润售价进价；售价标价折扣 解析 典型例题 二元一次方程组的应用 考点3 例7 《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程为( ) A. ；B.； C. ；D. . 解：依据题意得：，故选：A. 解析 例8 中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是:现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺;若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长?该问题中的竿子长为______尺. 解：设绳索长x尺，竿长y尺， 由题意得，解得：， 故答案为. 解析 典型例题 二元一次方程组的应用 考点3 例9 某蔬菜公司 收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市. 该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨. 现计划用15天完成加工任务. (1)该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能完成按期完成任务？ (2)如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么照此安排，该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？ 解：(1)设安排x天精加工，y天粗加工. 根据题意得 解这个方程组得 答：应安排10天精加工，5天粗加工，加工后出售可获利200000元. (2)出售这些加工后的蔬菜一共可获利 （元） 经检验，符合题意． $