第十章二元一次方程组单元提升训练2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 人教版七年级下册数学第十章二元一次方程组单元提升训练，通过基础巩固、能力提升及创新题型，覆盖方程组解法、实际应用等核心内容，培养抽象能力、运算能力与模型意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|解方程组、方程的解、消元法|含《九章算术》古算题，渗透文化传承| |填空题|6|同解方程组、相反数解、象限坐标|结合数学节活动，体现情境时代性| |解答题|8|错解问题、销售利润、“船山方程”创新题|分层设计，从基础解法到跨学科应用，培养推理意识与应用能力|

人教版七年级下册数学第十章二元一次方程组单元提升训练 一、单选题 1．方程组的解是（　　） A． B． C． D． 2．若是二元一次方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知：，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（    ） A．1、2 B．7、3 C．3、7 D．2、4 5．利用加减消元法解方程组时，利用消去，则、的值可以分别是（   ） A．3，2 B．3， C．2，3 D．2， 6．用代入消元法解二元一次方程组时，将变形为（    ） A． B． C． D． 7．已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 8．关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 9．如图1，左侧秤盘中布袋里装有大小质量相同的玻璃球若干，右侧秤盘中有2个圆柱体和3个正方体（相同形状的几何体大小、质量都相等），此时天平处于平衡状态．从左侧袋中拿出3颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘中的1个圆柱体和1个正方体，如图2，天平仍处于平衡状态．现从图2右侧秤盘中拿掉玻璃球、圆柱体、正方体各1个，要使天平保持平衡，则需从左侧袋中再次拿出的玻璃球颗数为（   ） A．3颗 B．4颗 C．6颗 D．7颗 10．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：有几个人一起去买物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元问人数、物价各是多少？设人数为人，物价为元，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知是二元一次方程的一个解，则的值为____． 12．以二元一次方程组的解为坐标的点在第______象限． 13．已知关于的方程组和的解相同，则_____． 14．已知关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则m的值为_________． 15．已知方程组的解为，则方程组的解为________． 16．3月14日，我校举办“以数学之正，启万物之泽”的数学节活动，某个活动环节共设置有20道有趣味的题目，答对一题得10分，不答得0分，答错扣5分，小泽有一道题没答，最后得分为85分．设他答对了道题，答错了道，则根据题意可列出方程组为________． 三、解答题 17．解方程组 (1)； (2)． 18．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得． (1)求正确的的值； (2)求原方程组的正确解． 19．下面是小明同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题． 解：得：③第一步 得：第二步 将代入②得：第三步 所以该方程的解是第四步 (1)第______步开始出现了错误； (2)请你帮小明同学写出正确的解题步骤． 20．已知关于x，y的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． 21．已知关于x，y的二元一次方程，每取一个a的值，就得到一个方程． (1)若，判断是不是该方程的解； (2)是否存在方程的一组解使得这个方程的解与a的取值无关，若存在，请求出这组解；若不存在，请说明理由． 22．嘉淇准备完成题目：解二元一次方程组时，发现系数“■”不清楚． (1)他把“■”猜成3、请你解二元一次方程组． (2)妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果x，y是一对相反数．”通过计算求原题中“■”是几？ 23．阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于，的二元一次方程（其中），若将其的系数与常数互换，得到的新方程称为原方程的“船山方程”，例如方程的“船山方程”为． (1)写出的“船山方程”__________，以及它们组成的方程组的解为__________； (2)若关于，的二元一次方程与其“船山方程”组成的方程组的解为，求的值； (3)若关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“船山方程”组成的方程组的解恰是关于，的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 24．湖南省足球联赛（简称“湘超”）点燃了球迷的热情，联赛吉祥物“湘湘”和“超超”也深受人们的喜爱．某商店第一次用3600元从批发市场购进“湘湘”挂件和“超超”摆件共100件进行销售．“湘湘”挂件和“超超”摆件的进价和售价如下表所示． 价格 “湘湘”挂件 “超超”摆件 进价/（元/件） 30 40 售价/（元/件） 35 50 (1)该商店第一次购进的“湘湘”挂件、“超超”摆件的数量分别是多少件? (2)该商店第二次以第一次的进价又购进“湘湘”挂件、“超超”摆件两种商品，其中“湘湘”挂件的数量不变，“超超”摆件的数量是第一次购进数量的2倍，“湘湘”挂件按原价销售，“超超”摆件打折销售，第二次两种商品销售完后获得的总利润为800元，求第二次销售时“超超”摆件是按原价打几折销售? 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A B A D C D D C 1．A 【分析】方程组运用加减法求解即可． 【详解】解： 得，， 解得， 把代入①得：， 解得， 所以，方程组的解为． 2．B 【分析】先根据方程的解得到的值，再代入代数式即可求解． 【详解】解：∵ 是二元一次方程 的一个解， ∴ 将， 代入， 得 ， ∴ ． 3．A 【分析】本题利用非负数的性质求解，几个非负数的和为时 每个非负数都为，据此列出二元一次方程组求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意可知原式应为， ∵绝对值和平方数都是非负数，两个非负数的和为， ∴每个非负数均为，可得方程组， ， 将两个方程相加，得， 解得， 把代入，得， 解得， 将代入得：． 4．B 【分析】先将已知的代入，求出第二个被遮盖的的值，再将和的值代入，求出第一个被遮盖的数，即可得到结果． 【详解】解：∵方程组的解为， 将代入，得， 解得，即第二个被遮盖的数为， 再将，代入，得，即第一个被遮盖的数为， 因此被遮盖的前后两个数分别为、． 5．A 【分析】通过给方程同乘系数，使目标未知数的系数绝对值相等、符号相反，再通过加减消元． 【详解】解：∵方程组中y的系数分别为和，要消去y，需使y的系数互为相反数， 又∵和的最小公倍数是， ∴给①乘，得到y的系数为，给②乘，得到y的系数为，满足互为相反数，两式相加即可消去y， ∴两个数分别是和． 6．D 【分析】利用等式的基本性质，将方程整理为用含的式子表示的形式即可． 【详解】解：需要将方程变形，用含的式子表示， 等式两边同时减去， 可得 ． 7．C 【分析】甲看错方程①中的，因此甲得到的解满足正确的方程②；乙看错方程②中的，因此乙得到的解满足正确的方程①，先联立求出正确的的值，再设乙看错的为，代入乙的解即可求出的值. 【详解】∵ 甲看错方程①中的a，甲得到的解满足正确的方程②， ∴ 代入②得 ③， ∵ 乙看错方程②中的b，乙得到的解满足正确的方程①， ∴ 代入①得 ④， 联立③④，③+④得 ， 设乙把②中的b看成了，将，代入看错的方程② ， 得 ， 整理得 ， 解得 ， 则乙把②中的b看成的数是． 8．D 【分析】根据已知方程组的解，将所求方程组变形后仿照解的规律求出x与y的值即可． 【详解】解：方程组可变形为， ∵方程组的解为， ∴方程组的解为， 解得． 9．D 【分析】设1颗玻璃球的质量为，1个圆柱体的质量为，1个正方体的质量为，根据图1天平变化后的平衡状态，得出，表示1个圆柱体和1个正方体等于6颗玻璃球的质量，即可得解． 【详解】解：设1颗玻璃球的质量为，1个圆柱体的质量为，1个正方体的质量为， 由题意可知，， ， ， 即玻璃球、圆柱体、正方体各1个的质量等于7颗玻璃球的质量． 10．C 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，只需找准两种出钱方案对应的等量关系，分别列出方程后联立即可得到正确方程组. 【详解】解：设人数为人，物价为元， ∵每人出8元时，总钱数比物价多3元， ∴； ∵每人出7元时，总钱数比物价少4元， ∴； 联立可得方程组， 故选：C. 11．6 【分析】把代入方程，进行求解即可. 【详解】解：把代入得， 解得. 12．四 【分析】先求出二元一次方程组的解得到点的坐标，再根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征判断即可． 【详解】解：， 把①代入②，得，解得， 将代入①，得， ∴原方程组的解为， ∴点的横坐标为正数，纵坐标为负数，符合第四象限内点的坐标特征， ∴该点在第四象限． 13． 【分析】因为方程组有相同的解，所以只需求出一组解代入另一组，即可求出未知数的值． 【详解】∵关于的方程组和的解相同， 方程和的解相同， 联立方程组可得：， 得：， 解得：， ， 解得：， 方程组的解为， 根据题意可得，方程和方程的解也是， ， 化简得：， 解得：， ． 14．2 【分析】根据相反数的性质得到，代入方程组得到关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：方程组为， ∵x与y互为相反数， ∴， 将代入①得， 可得③， 将代入②得， 可得④， 联立③④得，解得． 15． 【分析】根据方程组解的定义，先利用已知的原方程组的解求出m和n的值，再将m，n代入所求方程组，解二元一次方程组即可得到结果． 【详解】解：将代入原方程组， 解得， 将代入所求方程组，得 ， 整理，得 ，， 解得， 将代入①，得， ∴方程组的解是． 16． 【分析】从题干中提取两个等量关系，再根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：已知总题量为道，小泽有道题未答， 因此答对题目数量与答错题目数量之和等于总题量减去未答题量，可得：，整理得． 根据得分规则，答对题得分，答错题扣分，最终得分为分，总得分等于答对得分减去答错扣分， 可得： ． 联立两个方程可得方程组． 17．(1) (2) 【分析】（1）先将原方程组化简整理为标准形式，再用代入消元法求解即可； （2）先将原方程组化简整理为标准形式，再用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：整理原方程组，得 ， 把①代入②，得 ， 解得， 把代入②，得 ， ∴原方程组的解为； （2）解：整理原方程组，得 ， 由①②，得 ， 解得， 把代入②，得 ， 解得， ∴原方程组的解为． 18．(1) (2) 【分析】（1）将代入方程①可得的值，将代入方程②可得的值； （2）利用代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入方程得：， 解得； 将代入方程得：， 解得． （2）解：由（1）得：原方程组为，即， 将③代入①得：， 解得， 将代入③得：， 则原方程组的正确解为． 19．(1)二 (2)见解析 【分析】（1）在第二步计算中，合并的系数时出错，结果应为； （2）在第二步中求出，再将其代入②即可求出． 【详解】（1）解：第二步合并的系数时出错，第二步应为； （2）解：正确解题步骤如下： 得：③， 得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， 因此原方程组的解是． 20．(1)，，； (2) 【分析】（1）根据正整数解的定义进行解答即可； （2）求出方程组的解，再代入进行计算即可． 【详解】解：（1）方程， 当时，， 当时，， 当时，， 则方程的正整数解有，，； （2）方程组的解为， 把代入得，， 解得． 21．(1)不是 (2)存在，， 【分析】（1）将代入原方程整理得：，再将代入方程判断即可； （2）将原方程整理得，若解与a取值无关，则需要同时满足： ，解答即可 【详解】（1）解：当时，代入原方程整理得：， 将代入方程得：，因此该组不是方程的解； （2）解：将原方程按含的项整理：， 若解与a取值无关，即不论a取何值等式恒成立， 因此需要同时满足： ， 解方程得，，因此存在这组固定解． 22．(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）根据相反数的定义可得，求出方程组的解，再把该方程组的解代入方程中计算求解即可． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入②得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解：∵x，y是一对相反数， ∴， 联立 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为， ∴ ∴． 23．(1) ， (2) (3) 【分析】（1）根据“船山方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （2）根据“船山方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出，的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：由题意得：的“船山方程”为：； ， 得：，解得：， 把代入①得：， ∴； （2）解：由题意得：方程与其“船山方程”为：， ∵的解为：， ∴， 得， ∵即：， ∴， ∴， 将代入②得：， ∴； （3）解：∵方程的“船山方程”是， ∴联立得方程组得：， 当时解不唯一（舍）， 当时， 得，， ∵，∴， ∵，∴， ∴把代入得，即， ∴， 即：， 把代入方程得：， ∴ . 24．(1)该商店第一次购进“湘湘”挂件40件，“超超”摆件60件 (2)9折 【分析】（1）设该商店第一次购进“湘湘”挂件件，“超超”摆件件．根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． （2）设第二次销售时“超超”摆件是按原价打折销售的，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设该商店第一次购进“湘湘”挂件件，“超超”摆件件． 依题意得， 解得 答：该商店第一次购进“湘湘”挂件40件，“超超”摆件60件． （2）解：设第二次销售时“超超”摆件是按原价打折销售的，则 ， 解得， 答：第二次销售时“超超”摆件是按原价打9折销售的． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $