2025年广东省广州市中考数学二轮高频错题训练：等腰三角形的性质

2025年广东省广州市中考数学二轮高频错题训练：等腰三角形的性质 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若一个等腰三角形的底边长为，则它的腰长的取值范围是(    ) A.    B. C. D. 2.如图，内接于，，连接，则(    ) A. B. C. D. 3.我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为，图中圆内接正六边形的周长，则再利用图圆的内接正十二边形计算圆周率，首先要计算它的周长，下列结果正确的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，平面直角坐标系中，已知矩形，为原点，点、分别在轴、轴上，点的坐标为，连接，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的值是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在中，，，，则(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 6.如图，是的直径，是弦，且，，则与的长度的比值为________． 7.如图，是的直径，是弦，且，，则与的长度的比值为          ． 8.如图，在等腰直角三角形中，，，的值为          ． 9.如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点给出以下结论：为等腰三角形为的中点其中正确结论是          填序号 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 10.本小题分 抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知，． 求抛物线的表达式 在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形如果存在，直接写出点的坐标如果不存在，请说明理由 点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大求出四边形的最大面积及此时点的坐标． 11.本小题分 如图，点是边上的一点，，，交于点． 求证：； 若，是否可以为直角，如果可以，求出此时的值；如果不能请说明理由； 已知且，点在线段上运动时，为的中点，探究的长度是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由． 12.本小题分 如图，一次函数为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象在第一象限交于点，与轴交于点． 求一次函数和反比例函数的解析式． 点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 13.本小题分 如图，在矩形中，点为边上一点，以点为圆心，为半径的与对角线相交于点，连接，． 求证：为的切线； 若当点为的中点时，的半径为，求矩形的面积． 14.本小题分 如图，已知中，，，，，为边上的中线． 求的长； 求的面积． 15.本小题分 如图，在等腰中，，，沿射线折叠，使点恰好落在的延长线上的点处，射线与腰交于点． 尺规作图：作出射线保留作图痕迹，不写作法； 在所作的图形中，连接，若，求线段的长． 16.本小题分 如图，为的直径，，点在直线的下方且将平分，动点在上且位于直线上方，连接，作点关于直线的对称点，连接． 当与点重合时，则________； 当时，求的长度； 能否等腰三角形？如果能，求出此时的长度；如果不能，请说明理由． 17.本小题分 小聪与小慧、小明一起研究尺规作图问题： 如图，在锐角三角形中，，现要在所在的平面内找一点，使，小聪、小慧、小明的作图思路分别如下： 小聪：只要作其中两条边的中垂线，其交点即为； 小慧：只要作其中两个内角的平分线，其交点即为； 小明：可以在内作，使交边于点即可． 填空：判断三位同学的作图思路是否正确填“正确”或“错误” 小聪的作图思路______；小慧的作图思路______；小明的作图思路______． 请你选择一个正确的思路进行尺规作图，并证明． 18.本小题分 如图，在菱形中，对角线与相交于点，点，分别在，上，，连接，并延长交的延长线于点． 求证：； 若，，求菱形的面积． 19.本小题分 我们在探究三角形中位线定理时，可以通过将三角形转化为平行四边形的方式来证明． 如图，已知在中，、分别为、的中点． 请按要求完成下面作图和填空： 请在图中完成尺规作图：在线段右侧作射线，使得，射线交的延长线于点不要求写作法，保留作图痕迹； 在所作的图形中，求证：，． 证明：点为边中点， ______． 在和中， ， ≌， ______，且． 点为边上的中点， ， ． ， ______ 四边形是平行四边形， ，， ，． 在梯形中也有类似的结论，如图，在四边形中，，点，分别为和中点类比三角形中位线定理，可得，线段，和的数量关系为______． 20.本小题分 已知：如图，在梯形中，，，点是腰上的点，，点是线段上的点，联结交于点． 求证：； 当时，求证：． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：等腰三角形的底边长为，等腰三角形的两腰相等，且三角形中任意两边之和大于第三边， ， ． 故选：． 根据等腰三角形两腰相等和三角形中任意两边之和大于第三边列不等式，求解即可． 本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，比较简单． 2.【答案】  【解析】解：如图，连接， ， ， ， ． 故选：． 根据圆周角定理可得的度数，再进一步根据等腰三角形和三角形的内角和定理可求解． 此题综合运用了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及圆周角定理．一条弧所对的圆周角等于 它所对的圆心角的一半． 3.【答案】  【解析】解：十二边形是圆内接正十二边形， ， ，， ，， 在中，， ， ， 圆内接正十二边形的周长， 故选：． 先求出圆内接正十二边形的中心角，然后利用等腰三角形的性质可得，，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出，进而求出，最后进行计算即可解答． 本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的应用，以及等腰三角形的性质是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：作轴于，轴于，交于． 在与中， ， ，  ， 设， 则， 于是在中，； 解得． ； 轴，轴， ， ， ， ， ； 又， ． ． 故选：． 5.【答案】  【解析】解：在中，，，， ， ， 故选：． 首先利用勾股定理求得的长度，再根据正弦的定义即可求得答案． 本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握其定义是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：如图，设与的交点为点 是的直径，是弦，且， ， ， ， ， ， 即， ． 7.【答案】  【解析】解：连接，， ，， ， ， ， ， 设圆的半径是， 的长，的长， ，长度的比值是． 故答案为． 8.【答案】  【解析】解：过点 作 ， 等腰直角三角形中， ， ，  ，  ， ， ，  ，  ， ． 9.【答案】  【解析】解：如图所示， 为的中点， 设正方形的边长为， 则 折叠， ， 是等腰三角形，故正确； 设， 又 四边形是平行四边形， ， ，即是的中点，故正确； ， 在中，， 设，则， ，， ，故正确； 连接，如图所示， ，， 又 又 又 在中， ，故不正确 故答案为：． 10.【答案】解：，在抛物线上， 则 解得 抛物线解析式为； 存在， 理由： ， 抛物线对称轴为直线， ，且， ， 点在对称轴上， 可设， ，， 如图， 当时，则有，解得与重合，舍去或， 此时点坐标为； 当时，则有，解得，此时点坐标为或； 综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或； 当时，即，解得或， ，， ， ， 当的面积最大时，四边形的面积最大， 设直线解析式为，由题意可得，解得， 直线解析式为， 点是线段上的一个动点， 可设，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为，此时， ，即为的中点， 当运动到的中点时，的面积最大，即四边形的面积最大，最大面积为，此时点坐标为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 11.【答案】【小题】 证明：过点作， 则，， 又， ， ， ． 【小题】 解：在的延长线上截取，连接． ， 由知， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ． 【小题】 解：延长到，使得，延长到，使得． 由中方法可得， ， ， 所以点在上运动时，点在与所在直线成角的线上运动． 即点在与平行的线上运动为的中点，把绕点旋转度得到，点为的中点．点在上运动， 过点作， ， ，， ， ， ， 与重合，即， ， 过作于点， 点到线段的最小值等于点到线段垂线段的长， ， ， ，即的最小值为．   【解析】  过点作，由平行线的性质可得，易得，再根据求证即可；   构建一线三等角全等模型，在的延长线上截取，连接，易证，进而可得是等腰三角形，再利用建立方程求解即可；   延长到，使得，延长到，使得易证，，所以，所以点在上运动时，点在与所在直线成角的线上运动．进而得到点的运动轨迹，据此求解即可． 12.【答案】解：将、分别代入一次函数，得 ． 解得． 故A． 将其代入反比例函数，得 ． 解得． 故一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； 由知，、，则． 设， 当时，． 解得舍去或． 故； 当时，． 解得或． 故或． 综上所述，符合条件的点的坐标为：或或．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 13.【答案】解：连接， 四边形为矩形， ， ，， ，， ， ， 为的切线； 为的中点，， ， 为等边三角形， ， ， 又，且， ， ，， ．  【解析】本题主要考查的是切线的判定，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，等腰三角形的性质， 连接，根据，，可得，，根据直角三角形两锐角互余结合等量代换可得，即，可得结论； 根据直角三角形斜边上中线的性质可证为等边三角形，，，在中求得，勾股定理求得的长，可得的长，再得的长，可求矩形面积． 14.【答案】解：，，， ， 在中，由勾股定理得， ， 即的长为； 如图，连接，过点作的垂线，垂足， ，为边上的中线，即为的中点， ， 在中，由勾股定理得，， ， 为等腰三角形，， ， 在中，， ．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 15.【答案】解：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接，过点作的垂线，交于点， 则射线即为所求． 过点作于点， 由折叠得，． ， ， ． 在中，， ． 在中，， ， ．  【解析】结合折叠的性质，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接，过点作的垂线，交于点，则射线即为所求． 过点作于点，由折叠可得由题意得，则在中，可得在中，得，再根据可得答案． 本题考查作图复杂作图、等腰三角形的性质、含度角的直角三角形、翻折变换折叠问题、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 16.【答案】解：； 连接，  点与点关于直线对称， 垂直平分， 为的直径，， ， 点在上，， 当与点重合时，， ， 如图，，则， ， ， 连接，则， ， 是等边三角形， ， ， ， 的长为． 能， 点在直线的下方且将平分， ， ， 分三种情况讨论， 如图，是等腰三角形，且，点在的上方，则， ， 在上截取，连接， ， ， ， ， ， ， 解得或不符合题意，舍去； 当时， 如图，是等腰三角形，且，则， ， 、、三点在同一条直线上， 垂直平分， ， ； 如图，是等腰三角形，且，点在的下方，则， 作于点，则， ，， ， ， ， 综上所述，的长是或或．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.【答案】正确  错误  正确  【解析】小聪的作图思路正确；小慧的作图思路错误；小明的作图思路正确． 故答案为：正确，错误，正确； 小聪的作法如图所示： 理由：点是线段，的垂直平分线的交点， ， 点是的外接圆的圆心， ； 小明的作法如图所示： 利用：作线段的垂直平分线，则， ， ． 根据他们一直一一判断即可； 根据小聪与小明的方法，作出图形，再利用相关知识证明即可． 本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 18.【答案】证明：四边形是菱形， ，平分， ， ， ， ； 由得：， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 菱形的面积．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】        【解析】解：如图，射线即为所求． 证明：点为边中点， ． 在和中， ， ≌， ，且． 点为边上的中点， ， ． ， ， 四边形是平行四边形， ，， ，． 如图，在四边形中，，点，分别为和中点．类比三角形中位线定理，可得，线段，和的数量关系为． 故答案为：；；；． 根据作一个角等于已知角的方法作图即可． 根据全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理填空即可． 本题考查作图复杂作图、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20.【答案】见解析；   见解析．  【解析】证明：， ． ，即， ∽， ． 证明：，． ． ， ∽， ， ， ， ， ． 又， ∽， ， 由∽可得， 从而可得． 证明∽，即可利用性质证得结论； 因为，所以证明∽，可得，又，则，，又，可证明∽，从而，由∽可得，从而． 本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握以上内容是解题关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$