福建省厦门第一中学2025-2026学年度第二学期期中考试高二年级数学试卷

福建省厦门第一中学2025-2026学年度 第二学期期中考试 高二年数学试卷 命题教师 方颖 审核教师 周翔 吴卫军 刘明钦 2026.4 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知数列是等差数列，且，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 3. 设随机变量的分布列如表所示，且，则（ ） 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A. 0.2 B. 0.1 C. 0.15 D. 0.4 4. 的展开式中的系数是（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 5. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 6. 无重复数字的三位偶数的个数为（ ） A. 136 B. 328 C. 360 D. 720 7. 已知是双曲线的右焦点，直线与双曲线交于，两点，其中在第一象限，，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为（ ）． A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 记圆：，圆：，则（ ） A. B. 若坐标原点在圆上，则点在圆上 C. 若圆与圆内切，则 D. 当时，圆与圆的相交弦方程为 10. 我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的说法正确的是（ ） A. 第6行从左到右第4个数是15 B. 第2026行的第1014个数最大 C. D. 记第n行的第i个数为，则 11. 已知棱长为4的正方体中，点为棱的中点，动点满足，其中，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则点到平面的距离为 C. 若，则直线与直线所成角的最小值为 D. 若与夹角为，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则t=________. 13. 城区某中学安排5位老师到A，B，C三所乡村中学任教，要求每个乡村中学至少安排1位老师，每位老师只能去1个中学支教，则不同的安排方式有________种. 14. 已知，，若对任意，都存在，使得，则实数a的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为数列的前n项和，且. （1）求该数列的通项； （2）若，求数列的前n项和. 16. 已知函数在处取得极值. （1）求，； （2）证明：时，. 17. 平面直角坐标系中，动点P到点的距离与它到直线的距离之比为． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）过点M的直线l与轨迹C交于A，B两点，且点A在第一象限，点，与的面积之比为，求的内切圆半径． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在存在单调递减区间，求实数的取值范围； （3）当时，证明：函数有且仅有两个零点． 19. 1907年物理学家Tatiana和Paul Ehrenfest为了解释热力学第二定律提出了一个分子扩散模型，编号为A和B的两个容器相互连通，当中仅用薄膜分割（允许分子在两容器间穿梭），当一个分子从一个容器转移到另一个容器，则称发生一次转移.发生n次转移后，容器A中的分子数记为，容器A的分子数从到的概率记为，即.初始状态时，容器A内有2个分子，容器B内有8个分子.假设每个分子发生转移的可能性相同，均为. （1）求，； （2）求2次转移后，容器A中的分子数的分布列与期望； （3）求出与的关系式，并解释当时的含义. 福建省厦门第一中学2025-2026学年度 第二学期期中考试 高二年数学试卷 命题教师 方颖 审核教师 周翔 吴卫军 刘明钦 2026.4 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】1 【13题答案】 【答案】150 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1），. （2） 【16题答案】 【答案】（1）， （2） 时，， 令，， 则， 由；由. 故在上单调递增，在上单调递减， 则，所以在上恒成立. 所以时，. 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）由题意得，则， 令，则， 令可得，（舍）或， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 又，，， 所以存在，使得，即， 所以当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 因为时，，， 所以存在，使得， 又， 所以存在，使得， 所以函数有且仅有两个零点． 【19题答案】 【答案】（1）， （2） X2 0 2 4 P . （3）， 解释：充分混合后，最终两容器分子数相等. *注：期望递推关系为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $