福建厦门市同安实验中学2024-2025学年第二学期高二年级期中质量检测数学试题

厦门市同安实验中学2024—2025学年第二学期高二年级期中质量检测 数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 书架上有5本不同的理科类书籍，4本不同的文科类书籍，现从书架上取一本书，不同的取法总数有（ ） A. 9种 B. 45种 C. 种 D. 20种 2. 设随机变量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下表是离散型随机变量的概率分布，则（ ） 1 2 3 4 P A. B. C. D. 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. 为的极小值点 B. 为的极大值 C. 在区间上，是增函数 D. 在区间上，是减函数 5. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 6. 某校新闻社团负责报道采访本校田径运动会，社团派出甲、乙、丙、丁四名成员到跳高、跳远、短跑三个比赛场地进行现场报道，且每个场地至少安排一人，则甲不在短跑场地的不同安排的方法数为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 32 7. 在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为 A. 30 B. 36 C. 60 D. 72 8. 甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则5次传球后球在甲手中的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，不正确的命题是（ ） A. 在刻画回归模型的拟合效果时，的值越大，说明拟合的效果越好 B. 样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱 C. 在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均增加个单位 D. 若关于的经验回归方程为，则样本点的残差为 10. 已知二项式的展开式中各项系数之和为，则（ ） A. 展开式中共有6项 B. 展开式中二项式系数的和为64 C. 展开式中常数项为 D. 展开式中二项式系数最大的项是第3项 11. 为了研究青少年长时间玩手机与近视率的关系，现从某校随机抽查600名学生，经调查，其中有的学生近视，有的学生每天玩手机超过1小时，玩手机超过1小时的学生的近视率为．用频率估计概率，则（ ） （附：，其中．） 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 如果抽查的一名学生近视，则他每天玩手机超过1小时的概率为 B. 如果抽查的一名学生玩手机不超过1小时，则他近视的概率为 C. 根据小概率值的独立性检验，可认为每天玩手机超过1小时会影响视力 D. 从该校抽查10位学生，每天玩手机超过1小时且近视的人数的期望为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，则______． 13. 已知，则__________． 14. 已知函数．若在处有极值，则的值为__________；若当时， ，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的图象过点，且． （1）求函数在点处的切线方程 （2）求函数在上的值域． 16. 某市航空公司为了解每年航班正点率 对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2017年～2024年）每年航班正点率 和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值． （1）求关于的经验回归方程； （2）该市航空公司预计2026年航班正点率为 ，利用（1）中的回归方程，估算2026年顾客对该市航空公司投诉的次数； （3）根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为，现从该市所有顾客中随机抽取3人，记这3人中选择乘坐该航空公司航班的人数为 ，求 的分布列和数学期望． 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 17. 为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同.参与者每一轮从口袋中一次性取出4个球，将其中的白球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中.当参与者完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为3n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏.若第3轮后仍未过关，则游戏也结束，参与者不能获得纪念品，每位参与者只能参加一次游戏. （1）求随机变量X的分布列； （2）若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率. 18. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）讨论函数的单调性； （3）函数有两个零点，求证：． 19. 对，若函数在有不等式，则称函数是在上的“凹函数”，反之，若不等式，则称函数是在上的“凸函数”，当且仅当时等号成立．也可理解为若函数在上可导，为在上的导函数，为在上的导函数，当时，函数是在上的“凹函数”，反之，当时，则称函数是在上的“凸函数”． （1）判断函数的凹凸性； （2）若，令，求的最小值； （3）为（2）问所得结果，证明不等式：． 厦门市同安实验中学2024—2025学年第二学期高二年级期中质量检测 数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】5 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）20 （3） X 0 1 2 3 P 【17题答案】 【答案】（1） X 2 3 4 P （2） 【18题答案】 【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是 （2）当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （3）， 因为函数有两个零点，，不妨设， 则， 所以， 整理可得，即， 要证，即证， 即证， 令，即证， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数，则， 即，即，故原不等式得证． 【19题答案】 【答案】（1）为的凸函数 （2） （3）证明：即证， 两边取对数，即证：， 的导数为， 当时，恒成立，所以在上为单调递增函数， 所以， 令，所以， 所以， 累加可得：，证得不等式成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $