7.5 正态分布导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修三导学案 第七章 随机变量及其分布 7.5 正态分布 【学习目标】 1. 通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量，理解正态密度函数及其图象的特征. 1. 借助频率分布直方图，了解正态分布的特征（对称性、集中与分散等），提升直观想象素养. 1. 了解正态分布的均值、方差及其含义，掌握 原则，能利用正态分布解决简单的实际问题. 【学习重点】 1. 正态密度函数及正态曲线的特征. 2. 正态分布中参数 和 的意义（ 决定位置， 决定形状）. 3. 原则及其应用. 【学习难点】 1. 理解正态曲线下面积表示概率的思想. 2. 利用正态分布的对称性进行概率计算. 学习任务一 正态分布的概念与正态曲线的特征 【合作探究】 1. 问题引入： · 自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为 400 g.由于各种不可控因素，实际质量与标准质量之间存在误差 （实际质量减去标准质量）.检测人员随机抽取 100 袋，获得误差数据. (1) 如何描述这 100 个样本误差数据的分布？ (2) 观察频率分布直方图，误差的分布有什么特点？ · 答：误差有正有负，大致对称分布在 两侧，且小误差比大误差出现得更频繁. 1. 正态曲线的形成： · 随着样本数据量增大，分组变多、组距变小，频率分布直方图的轮廓越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线.这条曲线称为 正态密度曲线（正态曲线），其函数表达式为 · 其中 ， 为参数.若随机变量 的概率密度函数为 ，则称 服从正态分布，记作 .特别地，当 时，称为 标准正态分布. 1. 正态曲线的特点： (1) 曲线是单峰的，关于直线 对称； (2) 曲线在 处达到峰值； (3) 当 无限增大时，曲线无限接近 轴； (4) 轴与曲线之间的面积为 1. 1. 参数 和 的意义： (1) 决定曲线的位置：固定 ， 变化时曲线沿 轴平移， 是正态分布的 均值，即 . (2) 决定曲线的形状： 越大，曲线越“矮胖”，分布越分散； 越小，曲线越“瘦高”，分布越集中. 是正态分布的 标准差，. 【自主梳理】 1. 正态密度函数：. 1. 正态分布：，均值 ，方差 . 1. 正态曲线的性质：对称轴 ，单峰，两侧无限趋近于 轴，总面积 1. 学习任务二 正态分布的概率计算与 原则 【合作探究】 1. 概率的几何意义： · 等于正态曲线下从 到 的阴影面积； 等于区间 上的曲边梯形面积. 1. 原则： · 对于正态分布 ，有 · 通常认为正态变量 的取值几乎全部落在 内，在此区间外取值的概率只有约 0.0027，视为几乎不可能发生. 1. 利用对称性求概率： · 例如，，则 ，， 等. 【自主梳理】 常用数据（标准正态分布）： 学习任务三 正态分布的实际应用 【合作探究】 1. 例（交通工具选择）： · 李明上学坐公交车用时 ，骑自行车用时 （单位：分钟）. · (1) 估计参数：；. · (2) 画出密度曲线（想象：公交曲线矮胖，中心在30；骑车曲线瘦高，中心在34）. · (3) 某天有38分钟可用，应选哪种？若只有34分钟呢？ · 解：决策准则：在给定时间内不迟到的概率大者优. 1　 38分钟时： 与 比较.因为 ，38距均值 ；，38距均值 .由正态曲线下面积知， 对应更小的尾部，故 ，选骑车. 2　 34分钟时： 对应 ， 对应 即0.5.易知 ，所以坐公交更优. 1. 总结：解决正态分布应用题的步骤： (1) 确定正态分布的参数 和 ； (2) 将问题转化为求正态变量在某个区间内的概率； (3) 利用 原则或对称性进行计算； (4) 作出决策. 【自主梳理】 正态分布应用注意事项： · 注意区分 和 ，标准差和方差. · 利用对称性时，. · 对于非标准正态分布，可转化为标准正态分布（通过 ）再查表或利用已知数据. 【自查自纠】（正误判断） 1. 正态密度曲线与 轴之间的面积等于 1. （ ） 1. 正态分布中， 越大，曲线越“矮胖”. （ ） 1. 若 ，则 . （ ） 1. 对于任意正态分布，. （ ） 1. 若 ，则 的标准差为 9. （ ） 答案：1.√ 2.×（ 影响位置， 影响形状） 3.√ 4.√ 5.×（标准差为 3） 【典例分析】 例1：设随机变量 ，求： (1) ； (2) ； (3) . 解： (1) 由对称性，. (2) . (3) . 例2：某市高三数学成绩 ，求成绩在 内的概率. 解：，区间 ，故 . 【习题巩固】 1. 设随机变量 ，则 的密度函数为（ ） · A.  B. · C.  D. 1. 已知 ，则 的值为（ ）（参考数据：） · A. 0.34135 B. 0.47725 C. 0.6827 D. 0.5 1. 若 ，则 约等于（ ） · A. 0.6827 B. 0.9545 C. 0.9973 D. 0.5 1. 某种零件的尺寸 （单位：mm）服从正态分布 ，现随机抽取一件，其尺寸在 内的概率为______. 1. （选做）某厂生产的零件质量 ，已知 ，求 . 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. A（ 即 ，代入公式得 ） 1. A（，其中 ） 1. B（，，故概率约 0.9545） 1. 0.9545（，） 1. 解：，故 ，. 学科网（北京）股份有限公司 $