7.5 正态分布 导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布学案 7.5正态分布 导学案 【学习目标】 （1）通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量； （2）通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特点； （3）了解正态分布的均值、方差及其含义； （4）了解3σ原则,会求随机变量在特殊区间内的概率. 【问题导学】 问题1：现实中, 除了前面已经研究过的离散型随机变量外, 还有大量问题中的随机变量不是离散的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴 , 但取一点的概率为0 , 我们称这类随机变量为连续性随机变量，生活中有哪些随机变量是离散型随机变量呢？ 问题2：自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g.由于各种不可控的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用X表示这种误差，则X是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差X(单位：g)的观测值如下： (1)如何描述这100个样本误差数据的分布? (2)如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布? 【知识构建】 知识点一：正态分布的定义 1. 正态曲线的定义 其中μ∈R，σ>0为参数.对任意的x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方，可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为 . 我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称 ， 2. 正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从 ，记为 特别地，当μ=0, σ=1时，称随机变量X服从 . 知识点二：正态曲线的特点 1.正态曲线的性质： (1) 曲线在x轴的 方，与x轴不相交； (2) 曲线是 的，它关于直线 对称，且曲线在x=μ处取得最 值； (3) 曲线与x轴之间的面积为 ； (4) 当μ一定时，σ越大，曲线越“ ”，表示总体的分布越 ；σ越小，曲线越“ ”，表示总体的分布越 . (5) 参数μ反映了正态分布的 ，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的 . 在实际问题中，参数μ，σ可以分别用样本均值和样本标准差来估计，故有 2. 知识点三 3σ原则： 假定X~N(μ，σ^2)，可以证明：对给定的k∈N^∗，P(μ−kσ≤X≤μ+kσ)是一个与k有关的定值.特别地， 上述结果可用图表示. 由此看到，尽管正态变量的取值范围是(−∞，+∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ−3σ，μ+3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ^2)的随机变量X只取[μ−3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学中称为 . 【应用举例】 【例1】李明上学有时坐公交车, 有时骑自行车. 他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间, 经数据分析得到:坐公交车平均用时30min, 样本方差为36; 骑自行车平均用时34min, 样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布． (1)估计X，Y 的分布中的参数； (2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X与 Y的分布密度曲线； (3)如果某天有38min可用, 李明应选择哪种交通工具?如果某天只有34min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由． 【变式训练】 1.在某项测量中，测量结果服从正态分布，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.5 2.已知随机变量，且，则的值为（　　） A．0.2 B．0.4 C．0.7 D．0.35 3.若随机变量，且，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 4.设随机变量服从正态分布，若，则________________. 【例2】某市共30000人参加一次数学测试，满分150分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（　　） 若，则 A．4077 B．5436 C．1359 D．2718 【变式训练】 某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（   ） 参考数据：，，. A．790 B．2720 C．430 D．1360 【随堂检测】 1.两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则（   ） A．， B．， C．， D．， 2.已知随机变量，若，则（   ） A．0.8 B．0.7 C．0.3 D．0.2 3.已知随机变量，若，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.7 4.已知随机变量X服从正态分布，若，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 5.学校有1000名学生生参加了“希望杯”数学竞赛，此次竞赛成绩服从正态分布，估计竞赛成绩在分到分之间的人数约为（    ）人. （参考数据，，） A． B． C．954 D．477 【小结反思】本节课你有哪些收获？还有哪些疑问？ - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布学案 7.5正态分布 导学案 【学习目标】 （1）通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量； （2）通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特点； （3）了解正态分布的均值、方差及其含义； （4）了解3σ原则,会求随机变量在特殊区间内的概率. 【问题导学】 问题1：现实中, 除了前面已经研究过的离散型随机变量外, 还有大量问题中的随机变量不是离散的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴 , 但取一点的概率为0 , 我们称这类随机变量为连续性随机变量，生活中有哪些随机变量是离散型随机变量呢？ 问题2：自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g.由于各种不可控的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用X表示这种误差，则X是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差X(单位：g)的观测值如下： (1)如何描述这100个样本误差数据的分布? (2)如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布? 【知识构建】 知识点一：正态分布的定义 1. 正态曲线的定义 其中μ∈R，σ>0为参数.对任意的x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方，可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1. 我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线， 2. 正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ, σ2). 特别地，当μ=0, σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布. 知识点二：正态曲线的特点 1.正态曲线的性质： (1) 曲线在x轴的上方，与x轴不相交； (2) 曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称，且曲线在x=μ处取得最大值； (3) 曲线与x轴之间的面积为1； (4) 当μ一定时，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. (5) 参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度. 在实际问题中，参数μ，σ可以分别用样本均值和样本标准差来估计，故有 2. 知识点三 3σ原则： 假定X~N(μ，σ^2)，可以证明：对给定的k∈N^∗，P(μ−kσ≤X≤μ+kσ)是一个与k有关的定值.特别地， 上述结果可用图表示. 由此看到，尽管正态变量的取值范围是(−∞，+∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ−3σ，μ+3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ^2)的随机变量X只取[μ−3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 【应用举例】 【例1】李明上学有时坐公交车, 有时骑自行车. 他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间, 经数据分析得到:坐公交车平均用时30min, 样本方差为36; 骑自行车平均用时34min, 样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布． (1)估计X，Y 的分布中的参数； (2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X与 Y的分布密度曲线； (3)如果某天有38min可用, 李明应选择哪种交通工具?如果某天只有34min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由． 分析：师生共同分析：对于第（1）问，正态分布由参数μ和σ完全确定，根据正态分布参数的意义，可以分别用样本均值和样本标准差来估计，对于第（3）问，这是一个概率决策问题，首先要明确决策的准则，在给定的时间内选择不迟到概率大的交通工具；然后结合图形，根据概率的表示，比较概率的大小，作出判断． 解析：(1)随机变量X的样本均值为30 , 样本标准差为6; 随机变量Y的样本均值为34, 样本标准差为2. 用样本均值估计参数μ. 用样本标准差估计参数σ, 可以得到：X~N(30 , 62) , Y~N(34 , 22) (2)X和Y的分布密度曲线如图所示, （3）应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具. 由图可知, P(X≤38)<P(Y ≤ 38),P(X ≤ 34)>P(Y ≤ 34). 所以 , 如果有38min可用 , 那么骑自行车不迟到的概率大, 应选择骑自行车; 如果只有34min可用, 那么坐公交车不迟到的概率大, 应选择坐公交车. 【变式训练】 1.在某项测量中，测量结果服从正态分布，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.5 【答案】D 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【详解】服从正态分布，所以由正态分布的对称性知． 2.已知随机变量，且，则的值为（　　） A．0.2 B．0.4 C．0.7 D．0.35 【答案】B 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】利用正态分布曲线的对称性，即可求值. 【详解】因为随机变量，则正态分布曲线的对称轴为， 所以，即， 故选：B 3.若随机变量，且，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】D 【知识点】特殊区间的概率 【分析】由对称性先得出，进而得出. 【详解】因为，所以，所以. 故选：D 4.设随机变量服从正态分布，若，则________________. 【答案】4 【知识点】正态曲线的性质、正态分布的实际应用、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】由对称性求出答案. 【详解】因为正态分布曲线以为对称轴，又， 由正态分布的对称性可知. 故答案为：4 【例2】某市共30000人参加一次数学测试，满分150分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（　　） 若，则 A．4077 B．5436 C．1359 D．2718 【答案】A 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】利用正态分布的性质，结合区间概率，即可求解. 【详解】学生的抽测成绩服从正态分布， 则 ， 由于总人数为30000，则抽测成绩在内的学生人数大约为， 故选：A． 【变式训练】 某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（   ） 参考数据：，，. A．790 B．2720 C．430 D．1360 【答案】C 【知识点】3δ原则、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于的人数. 【详解】由题意可知，， 则数学成绩位于的人数约为. 故选：C. 【随堂检测】 1.两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】正态曲线的性质 【分析】由正态曲线和均值、标准差的意义判断即可. 【详解】由正态分布和的密度函数图象， 的对称轴在的对称轴的左侧， 故， 由图象可得的数据的集中程度相比更加分散， 根据方差的意义可得， 故选：C . 2.已知随机变量，若，则（   ） A．0.8 B．0.7 C．0.3 D．0.2 【答案】D 【知识点】指定区间的概率 【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 3.已知随机变量，若，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.7 【答案】A 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】由正态分布的对称性求解即可. 【详解】因为，所以， 若，则，所以. 故选：A. 4.已知随机变量X服从正态分布，若，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 【答案】B 【知识点】指定区间的概率 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式求解. 【详解】随机变量X服从正态分布，由，得， 所以. 5.学校有1000名学生生参加了“希望杯”数学竞赛，此次竞赛成绩服从正态分布，估计竞赛成绩在分到分之间的人数约为（    ）人. （参考数据，，） A． B． C．954 D．477 【答案】A 【知识点】3δ原则、正态分布的实际应用 【分析】由正态分布概率模型求出竞赛成绩在分到分的概率，然后估计人数即可. 【详解】由于竞赛成绩服从正态分布， 所以，， 所以， 故该校1000名学生竞赛成绩在分到分之间的人数约为：， 故选：A 【小结反思】本节课你有哪些收获？还有哪些疑问？ - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $